專題05 不等式（組）及不等式的應用（5大考點）（解析版）

第二部分方程（組）與不等式（組）

專題05不等式（組）及不等式的應用

核心考點一不等式的基本性質

核心考點二一元一次不等式（組）的解法

核心考點核心考點三含參不等式（組）問題

核心考點四不等式的實際應用

核心考點五方程與不等式結合的實際應用

新題速遞

核心考點一不等式的基本性質

例1（2022·內蒙古包頭·中考真題）若mn，則下列不等式中正確的是（）

11

A．m2n2B．mnC．nm0D．12m12n

22

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)，不等號的方向不變，不等式的兩邊都

乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的

方向改變，可得答案．

【詳解】解：A、∵m＞n，∴m2n2，故本選項不合題意；

11

B、∵m＞n，∴mn，故本選項不合題意；

22

C、∵m＞n，∴mn0，故本選項不合題意；

D、∵m＞n，∴12m12n，故本選項符合題意；

故選：D．

【點睛】本題考查了不等式的性質，不等式的基本性質是解不等式的主要依據(jù)，必須熟練地掌握．要認真

弄清不等式的基本性質與等式的基本性質的異同，特別是在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個數(shù)時，不

僅要考慮這個數(shù)不等于0，而且必須先確定這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，不等號的方向必須改變．

11

例2（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點A、B分別表示實數(shù)a、b，則______．（填“>”、

ab

“=”或“<”）

第1頁共49頁.

【答案】

【分析】由圖可得：1ab，再根據(jù)不等式的性質即可判斷．

【詳解】解：由圖可得：1ab，

11

由不等式的性質得：，

ab

故答案為：．

【點睛】本題考查了數(shù)軸，不等式的性質，解題的關鍵是掌握不等式的性質．

3x1

例3（2020·江蘇淮安·中考真題）解不等式2x1．

2

解：去分母，得2(2x1)3x1．

……

（1）請完成上述解不等式的余下步驟：

（2）解題回顧：本題“去分母”這一步的變形依據(jù)是（填“A”或“B”）

A．不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；

B．不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．

【答案】（1）余下步驟見解析；（2）A．

【分析】（1）按照去括號、移項、合并同類項的步驟進行補充即可；

（2）根據(jù)不等式的性質即可得．

3x1

【詳解】（1）2x1

2

去分母，得2(2x1)3x1

去括號，得4x23x1

移項，得4x3x12

合并同類項，得x1；

（2）不等式的性質：不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變

3x1

2x1兩邊同乘以正數(shù)2，不等號的方向不變，即可得到2(2x1)3x1

2

故選：A．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式、不等式的性質，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關鍵．

第2頁共49頁.

知識點：不等式及其基本性質

1、定義：用不等號（>,≥,<,≤或≠）表示不等關系的式子叫做不等式。

2、基本性質

性質1不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方

向不變，即如果ab，那么ac

性質2不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即

ab

如果ab，c0，那么acbc，

cc

性質3不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即

ab

如果ab，c0，那么acbc，

cc

性質4如果ab，那么ba

性質5如果ab，bc，那么ac

112

【變式1】．（2022·安徽·合肥市五十中學西校三模）已知實數(shù)a，b，c滿足ac2b，．則下列

acb

結論正確的是（）

A．若ab0，則cb0B．若ac1，則b1

C．a(chǎn)，b，c不可能同時相等D．若a2，則b28c

【答案】B

11112

【分析】A.根據(jù)a＞b＞0，則＜，根據(jù)，得出c＜b；

abacb

112

B.根據(jù)，得出2acbac，把ac2b代入得：b2ac1，即可得出答案；

acb

112

C.當abc時，可以使ac2b，，即可判斷出答案；

acb

D.根據(jù)解析B可知，b2ac2c，即可判斷．

【詳解】A.∵a＞b＞0，

11

∴＜，

ab

第3頁共49頁.

112

∵，

acb

11

∴＞，

cb

∴c＜b，故A錯誤；

112ac2

B.∵，即，

acbacb

∴2acbac，

把ac2b代入得：2ac2b2，

b2ac1，

解得：b1，故B正確；

112

C.當abc時，可以使ac2b，，

acb

∴a，b，c可能同時相等，故C錯誤；

D.根據(jù)解析B可知，b2ac，把a2代入得：b22c，故D錯誤．

故選：B．

【點睛】本題主要考查了分式的化簡，等式基本性質和不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質和

等式的性質，是解題的關鍵．

【變式2】（2022·江蘇南通·一模）若關于x的不等式mx﹣n＞0的解集為x＜2，則關于x的不等式（m+n）

x＞m﹣n的解集是（）

A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式的性質，利用不等式mxn0的解集是x2得到m0，n2m，然后把n2m代入

不等式(mn)xmn中求解即可．

【詳解】解：∵不等式mxn0的解集是x2，

nn

∴x<（m0），2，

mm

∴n2m，

不等式(mn)xmn變形為(m2m)xm2m，

即3mxm，

∵m0，

1

∴x．

3

第4頁共49頁.

故選C．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式．解題的關鍵在于熟練掌握不等式的性質．

【變式3】（2022·江蘇宿遷·三模）若不等式mx3m，兩邊同除以m，得x3，則m的取值范圍為__________．

【答案】m0

【分析】由不等式的基本性質知m0，據(jù)此可得答案．

【詳解】解：若不等式mx3m，兩邊同除以m，得x3，

則m0．

故答案為：m0．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握不等式的基本性質．

2

【變式4】（2022·安徽·模擬預測）已知關于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集為x＜，化簡：|1﹣a|﹣a

1a

＝_____．

【答案】1

【分析】根據(jù)不等式的基本性質得出1﹣a＜0，再由絕對值的性質去絕對值符號、合并同類項即可．

2

【詳解】解：∵關于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集為x，

1a

∴1﹣a＜0，

解得a＞1，

即1a1aa1，

∴原式＝a﹣1﹣a＝﹣1，

故答案為：﹣1．

【點睛】本題主要考查了不等式的性質及絕對值的化簡求值，解題的關鍵是掌握不等式的基本性質和絕對

值的化簡．

【變式5】（2022·浙江杭州·一模）已知Mx22x4，Nx24x4，請比較M和N的大?。?/p>

以下是小明的解答：

22

∵Mx133，Nx20，

∴MN．

小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答．

【答案】有錯；x0時，MN；x0時，M=N；x0時，MN；

【分析】先求出M與N的差，根據(jù)不等式的性質對M與N的差進行分類討論即可求解．

第5頁共49頁.

【詳解】解：有錯，正確解答如下．

∵Mx22x4，Nx24x4，

∴MNx22x4x24x42x．

∴當x>0時，2x>0，即MN0，此時M>N；當x=0時，2x=0，即MN0，此時M=N；當x<0時，2x<0，

即MN0，此時M<N．

∴x0時，MN；x0時，M=N；x0時，MN．

【點睛】本題考查作差法比較大小，不等式的性質，正確應用分類討論思想是解題關鍵．

核心考點二一元一次不等式（組）的解法

例1（2022·遼寧大連·中考真題）不等式4x3x2的解集是（）

A．x2B．x<2C．x2D．x2

【答案】D

【分析】移項再合并同類項即可把未知數(shù)的系數(shù)化“1”，從而可得答案．

【詳解】解：4x3x2，

移項，合并同類項得：x2,

故選D

【點睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步驟”是解本題的關鍵．

例2（2022·北京·中考真題）若x8在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是___________．

【答案】x≥8

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得x-8≥0，然后進行計算即可解答．

【詳解】解：由題意得：

x-8≥0，

解得：x≥8．

故答案為：x≥8．

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式a(a0)是解題的關鍵．

第6頁共49頁.

3x12x2,①

例3（2022·山東菏澤·中考真題）解不等式組x3x2并將其解集在數(shù)軸上表示出來．

1,②

32

【答案】x≤1，圖見解析

【分析】先分別求出不等式組中每一個不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用數(shù)軸表示

出來即可．

【詳解】解：解①得：x≤1，

解②得：x<6，

∴x≤1，

解集在數(shù)軸上表示為：

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組：求解出兩個不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大

于小的小于大的取中間，小于小的大于大的無解”確定不等式組的解集．也考查了用數(shù)軸表示不等式的解集．

知識點：一元一次不等式及其解法

含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1、且不等號兩邊都是整式的不等

式叫做一元一次不等式。

定義一般地，能夠使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個不等式的解，所

有這些解的全體稱為這個不等式的解集。

求不等式解集的過程叫做解不等式。

一般步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為1。

解法步

一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法類似，不同的是當不等

驟

式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號方向要改變。

xa

解集在xa“兩定”

數(shù)軸上定邊界

表示xa定方向

xa

第7頁共49頁.

2x13x2

例題：解不等式1，并在數(shù)軸上表示解集。

34

解：42x133x212

8x49x612

8x9x6124

x2

x2

解集在數(shù)軸上表示為

知識點：一元一次不等式組及其解法

1、定義

由幾個含有同一個未知的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

這幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。

求一元一次不等式組解集的過程叫做解不等式組。

2、解法步驟

（1）分別求出每個不等式的解集；

（2）在同一數(shù)軸上表示出各個解集，找出所有解集的公共部分；

（3）寫出不等式組的解集。

3、解集表示（假設ab）

不等式組在數(shù)軸上的表示不等式組的解集口訣

xa

xb同大取大

xb

xa

xa同小取小

xb

xa大小小大，

axb

xb中間找.

xa大大小小，

無解

xb找不到.

第8頁共49頁.

【變式1】（2022·江蘇·建湖縣匯杰初級中學三模）若x3是關于x的不等式2xm4的一個整數(shù)解，而x2

不是其整數(shù)解，則m的取值范圍為（）

A．0m2B．0m2C．0m2D．0m2

【答案】C

m4

【分析】先解一元一次不等式可得x，再根據(jù)x2不是不等式2xm4的整數(shù)解，可得m0，然

2

后根據(jù)x3是關于x的不等式2xm4的一個整數(shù)解，可得m2，最后進行計算即可解答．

【詳解】解：∵2xm4，

m4

∴x．

2

∵x2不是不等式2xm4的整數(shù)解，

m4

∴2，

2

解得m0．

∵x3是關于x的不等式2xm4的一個整數(shù)解，

∴32m4，

∴m2，

∴0m2．

故選：C．

【點睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．

xa0

【變式2】（2021·河南·模擬預測）關于x的不等式組的整數(shù)解有4個，則a的取值范圍是（）

72x1

A．6＜a＜7B．6＜a7C．6a7D．6a＜7

【答案】B

【分析】首先解不等式組，利用a表示出不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組有4個整數(shù)解即可求得a的

范圍．

xa0①

【詳解】解：

72x1②

解①得x＜a，

解②得x≥3．

則不等式組的解集是3≤x＜a．

∵不等式組有4個整數(shù)解，

第9頁共49頁.

∴不等式組的整數(shù)解是3，4，5，6．

∴6＜a≤7．

故選B．

【點睛】本題考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，

同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．

2xb

【變式3】（2022·安徽·三模）若關于x的分式方程4的解是非負數(shù)，則b的取值范圍是______．

x3

【答案】b12且b6

【分析】先求得分式方程的解，利用已知條件列出不等式，解不等式即可求解．

2xbb

【詳解】解：關于x的分式方程4的解為：x＝6?，

x32

∵分式方程有可能產(chǎn)生增根3，

b

∴6?≠3，

2

∴b≠6，

2xb

∵關于x的分式方程4的解是非負數(shù)，

x3

b

∴6?≥0，

2

解得：b≤12，

綜上，b的取值范圍是：b≤12且b≠6．

故答案為：b12且b6．

【點睛】本題主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能產(chǎn)生增根的情

況，這是解題的關鍵．

2xa1

【變式4】（2020·河南·模擬預測）已知不等式組的解集為﹣1＜x＜1，則（a+b）（b﹣1）的值

x4b3

為_____．

【答案】0

【分析】解出不等式組，求出解集，然后和已知解集對應一致，即可求出a，b，代入代數(shù)式即可求解．

2xa1

【詳解】解不等式組

x4b3

a1

解得34bx

2

不等式組的解集為﹣1＜x＜1，

第10頁共49頁.

a1

∴3＋4b＝?1，1，

2

∴a＝1，b＝?1．

把a＝1，b＝?1代入得：

原式＝0．

故答案為：0．

【點睛】本題考查不等式組的計算求解集，關鍵是和已知解集對應相等，求出a，b的值．

【變式5】（2022·貴州·德江縣教育局教研室模擬預測）小明在學習一元二次不等式的解法時發(fā)現(xiàn)，可以應

用初中所學知識，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下：

解不等式：x240．

解：∵x24x2x2，

∴原不等式可化為x2x20．

∵兩數(shù)相乘，同號為正，

x20x20

∴①或②

x20x20

由①得x2，由②得x<2，

∴原不等式的解集為x2或x<2．

請用以上方法解下列不等式：

(1)x290；

x1

(2)0

x1

【答案】(1)x3或x3

(2)1x1

x30x30

【分析】（1）根據(jù)題意可得兩個不等式組:或，解不等式即可求解；

x30x30

（2）利用“兩數(shù)相除，同號得正，異號得負”結合題干的方法分類討論即可．

【詳解】（1）解：∵x29x3x3，

∴x3x30．

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，有

第11頁共49頁.

x30x30

①或②

x30x30

∴解不等式組①，得x3

解不等式組②，得x3，

故原不等式的解集為x3或x3，

即一元二次不等式x290的解集為x3或x3．

x1

（2）解：由題得不等式0，

x1

根據(jù)“兩數(shù)相除，同號得正，異號得負”

x10x10

得①，或②，

x10x10

∴解不等式組①得，1x1，

不等式組②無解，

∴原不等式的解集為1x1．

【點睛】此題考查一元一次不等式組的應用，分式不等式以及整式等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思

想思考問題，屬于中考常考題型.

核心考點三含參不等式（組）問題

例1（2020·甘肅天水·中考真題）若關于x的不等式3xa2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為()

A．7a4B．7a4C．7a4D．7a4

【答案】D

2a2a

【分析】先解不等式得出x?，根據(jù)不等式只有2個正整數(shù)解知其正整數(shù)解為1和2，據(jù)此得出2?3，

33

解之可得答案．

【詳解】解：3xa?2，

3x?2a，

2a

則x?，

3

不等式只有2個正整數(shù)解，

第12頁共49頁.

不等式的正整數(shù)解為1、2，

2a

則2?3，

3

解得：7a?4，

故選：D．

【點睛】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解，解題的關鍵是熟練掌握解不等式的基本步驟和依據(jù)，并

根據(jù)不等式的整數(shù)解的情況得出關于某一字母的不等式組．

例2（2021·四川眉山·中考真題）若關于x的不等式xm1只有3個正整數(shù)解，則m的取值范圍是______．

【答案】3m2

【分析】首先解關于x的不等式，然后根據(jù)x只有3個正整數(shù)解，來確定關于m的不等式組的取值范圍，再

進行求解即可．

【詳解】解：解不等式xm1，

得：x1m，

由題意x只有3個正整數(shù)解，則分別為：1，2，3，

1m3

故：，

1m4

解得：3m2，

故答案是：3m2．

【點睛】本題考查了關于x不等式的正整數(shù)解及解一元一次不等式組的解集問題，解題的關鍵是：根據(jù)關于

x不等式的正整數(shù)解的情況來確定關于m的不等式組的取值范圍，其過程需要熟練掌解不等式的步驟．

例3（2021·湖北荊州·中考真題）已知：a是不等式5a286a17的最小整數(shù)解，請用配方法解

關于x的方程x22axa10．

【答案】x12+5，x22-5

【分析】先解不等式，結合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可

【詳解】解：∵5a286a17；

∴5a1086a67；

∴a3；

∴a＞-3；

∵a是不等式5a286a17的最小整數(shù)解，

第13頁共49頁.

∴a=-2；

∴關于x的方程x2-4x-10；

∴x2-4x+45；

2

∴x-25；

∴x-25；

∴x12+5，x22-5．

【點睛】本題考查了解不等式以及解一元二次方程，熟練掌握相關的運算方法是解題的關鍵．

1、給出不等式解的情況，求出參數(shù)取值范圍

總結：給出不等式組解集的情況，只能確定參數(shù)的取值范圍。記住大小小大有解，大大小小無解；端

點值格外考慮；

2、給出不等式解集，求參數(shù)的值

總結：給出不等式組確切的解集，可以求出參數(shù)的值。方法：先解出含參的不等式組中每個不等式的

解集，再利用解集與所求解集之間的對應關系，建立方程；

xa0,

【變式1】（2022·江蘇南通·二模）已知關于x的不等式組的解集中至少有5個整數(shù)解，則整數(shù)a

2x30

的最小值為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】首先解不等式組求得不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)從而確定a的范圍，進

而求得整數(shù)a最小值．

xa0①

【詳解】解：，

2x30②

第14頁共49頁.

解①得xa，

3

解②得x．

2

3

則不等式組的解集是xa．

2

∵解集中至少有5個整數(shù)解

∴整數(shù)解為：-1,0,1,2,3．

∴a＞3．

整數(shù)a的最小值是4．

故選C．

【點睛】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，確定a的范圍是本題的關鍵．

x1x1

【變式2】（2022·重慶八中三模）若數(shù)a使關于x的不等式組23有且只有四個整數(shù)解，且使關

5x2ax

ya2a

于y的方程2的解為非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)之和為（）

y11y

A．3B．1C．1D．2

【答案】C

【分析】表示出不等式組的解集，由不等式有且只有4個整數(shù)解確定出a的值，再由分式方程的解為非負

數(shù)以及分式有意義的條件求出滿足題意整數(shù)a的值．

x1x1x5

【詳解】解：不等式組23整理得：a2，

x

5x2ax4

a2

由不等式組有且只有四個整數(shù)解，即4，3，2，1，得到0＜≤1，

4

解得：-2＜a≤2，即整數(shù)a=-1，0，1，2，

ya2a

分式方程2去分母得：y+a-2a=2（y-1），

y11y

解得：y=2-a，

∵y≠1，

∴2-a≠1，

∴a≠1，

由分式方程的解為非負數(shù)得2-a≥0，即a≤2，

∴a為-1，0，2，其和為1．

故選：C．

第15頁共49頁.

【點睛】此題考查了解分式方程，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵

2x1x

【變式3】（2022·山東菏澤·二模）滿足不等式組x5的最小整數(shù)解是______．

x1

2

【答案】0

【分析】先解出不等式組的解集，再求出其整數(shù)解即可解答．

2x1x①

【詳解】解：x5，

x1②

2

解①得：x＞－1，

解②得：x≤3，

∴該不等式組的解集為－1＜x≤3，

∴該不等式組的整數(shù)解為0、1、2、3，

∴最小整數(shù)解為0，

故答案為：0．

【點睛】本題考查解一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式組的解法步驟是解答的關鍵．

xa0,

【變式4】（2022·山東煙臺·一模）已知關于x的不等式組至少有兩個整數(shù)解，且存在以3，a，7

2x17

為邊的三角形，則a的整數(shù)解有______個．

【答案】4

【分析】依據(jù)不等式組至少有兩個整數(shù)解，即可得到a＞5，再根據(jù)存在以3，a，7為邊的三角形，可得4

＜a＜10，進而得出a的取值范圍是5＜a＜10，即可得到a的整數(shù)解有4個．

xa0①

【詳解】解：

2x17②

解不等式①，可得x＜a，

解不等式②，可得x≥4，

∵不等式組至少有兩個整數(shù)解，

∴a＞5，

又∵存在以3，a，7為邊的三角形，

∴4＜a＜10，

∴a的取值范圍是5＜a＜10，

∴a的整數(shù)解有4個，

第16頁共49頁.

故答案為：4．

【點睛】此題考查的是一元一次不等式組的解法和三角形的三邊關系的運用，求不等式組的解集應遵循以

下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．

21xx8

【變式5】（2022·山東聊城·一模）不等式組3x2x1

63

(1)解此不等式組；

(2)若m是此不等式組的最大整數(shù)解，求1mm2m2021m2022的值．

【答案】(1)2x0

(2)1

【分析】（1）先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集；

（2）求出最大整數(shù)解，代入求出即可．

（1）

21xx8①

解：{3x2x1，

②

63

由不等式①，得x2，

由不等式②，得x0，

所以不等式組的解集為：2x0；

（2）

解：∵m是此不等式組的最大整數(shù)解，

由（1）解集中最大的整數(shù)解為：x=1，

則m1，

1mm2m2021m2022

220212022

11111

111111

1．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解的應用，解題的關鍵是

求出不等式組的最大整數(shù)解，難度適中．

第17頁共49頁.

核心考點四不等式的實際應用

例1（2022·浙江麗水·中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為220V，通過燈泡的電流強度I(A)的最大

限度不得超過0.11A．設選用燈泡的電阻為R(Ω)，下列說法正確的是（）

A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω

【答案】A

【分析】根據(jù)U=IR，代入公式，列不等式計算即可．

【詳解】解：由題意，得

0.11R220，

解得R2000．

故選：A．

【點睛】本題結合物理知識，列不等式進而求解，解決問題的關鍵是理解題意，列出不等式．

例2（2022·北京·中考真題）甲工廠將生產(chǎn)的I號、II號兩種產(chǎn)品共打包成5個不同的包裹，編號分別為

A，B，C，D，E，每個包裹的重量及包裹中I號、II號產(chǎn)品的重量如下：

包裹編號I號產(chǎn)品重量/噸II號產(chǎn)品重量/噸包裹的重量/噸

A516

B325

C235

D437

E358

甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠．

（1）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運方案________（寫出要裝

運包裹的編號）；

（2）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的II號產(chǎn)品最多，寫出滿足條件的裝運

方案________（寫出要裝運包裹的編號）．

【答案】ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD）ACE

第18頁共49頁.

【分析】（1）從A，B，C，D，E中選出2個或3個，同時滿足I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，總

重不超過19.5噸即可；

（2）從（1）中符合條件的方案中選出裝運II號產(chǎn)品最多的方案即可．

【詳解】解：（1）根據(jù)題意，

選擇ABC時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：53210（噸），總重6551619.5（噸），符合要求；

選擇ABE時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：53311（噸），總重6581919.5（噸），符合要求；

選擇AD時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：549（噸），總重671319.5（噸），符合要求；

選擇ACD時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：52411（噸），總重6571819.5（噸），符合要求；

選擇BCD時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：3249（噸），總重5571719.5（噸），符合要求；

選擇DCE時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：4239（噸），總重7582019.5（噸），不符合要求；

選擇BDE時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：34310（噸），總重5782019.5（噸），不符合要求；

選擇ACE時，裝運的I號產(chǎn)品重量為：52310（噸），總重6581919.5（噸），符合要求；

綜上，滿足條件的裝運方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD．

故答案為：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）．

（2）選擇ABC時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：1236（噸）；

選擇ABE時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：1258（噸）；

選擇AD時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：134（噸）；

選擇ACD時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：1337（噸）；

選擇BCD時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：2338（噸）；

選擇ACE時，裝運的II號產(chǎn)品重量為：1359（噸）.

故答案為：ACE．

【點睛】本題考查方案的選擇，讀懂題意，嘗試不同組合時能否同時滿足題目要求的條件是解題的關鍵．

例3（2022·浙江衢州·中考真題）金師傅近期準備換車，看中了價格相同的兩款國產(chǎn)車．

(1)用含a的代數(shù)式表示新能源車的每千米行駛費用．

(2)若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元．

第19頁共49頁.

①分別求出這兩款車的每千米行駛費用．

②若燃油車和新能源車每年的其它費用分別為4800元和7500元．問：每年行駛里程為多少千米時，買新

能源車的年費用更低？（年費用=年行駛費用+年其它費用）

36

【答案】(1)元

a

(2)①燃油車的每千米行駛費用為0.6元，新能源車的每千米行駛費用為0.06元；②每年行駛里程超過5000

千米時，買新能源車的年費用更低

【分析】（1）利用電池電量乘以電價，再除以續(xù)航里程即可得；

（2）①根據(jù)燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元建立方程，解方程可得a的值，由此即可得；

②設每年行駛里程為x千米時，買新能源車的年費用更低，根據(jù)這兩款車的年費用建立不等式，解不等式即

可得．

600.636

【詳解】（1）解：新能源車的每千米行駛費用為元，

aa

36

答：新能源車的每千米行駛費用為元．

a

40936

（2）解：①由題意得：0.54，

aa

解得a600，

經(jīng)檢驗，a600是所列分式方程的解，

4094093636

則0.6，0.06，

a600a600

答：燃油車的每千米行駛費用為0.6元，新能源車的每千米行駛費用為0.06元；

②設每年行駛里程為x千米時，買新能源車的年費用更低，

由題意得：0.6x48000.06x7500，

解得x5000，

答：每年行駛里程超過5000千米時，買新能源車的年費用更低．

【點睛】本題考查了列代數(shù)式、分式方程的應用、一元一次不等式的應用，正確建立方程和不等式是解題

關鍵．

第20頁共49頁.

知識點：一元一次不等式的應用

1、列不等式解應用題的一般步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量。

設：設出未知數(shù)。

列：根據(jù)題目中的不等關系，列出不等式。

解：解不等式。

答：寫出符合題意的答案。

2、不等式的實際問題中，常見關鍵詞與不等號的關系

常見關鍵詞符號

大于，多于，超過，高于＞

小于，少于，不足，低于＜

至少，不低于，不小于，不少于≥

至多，不超過，不高于，不大于≤

【變式1】（2021·浙江·諸暨市暨陽初級中學一模）在某校舉行的冬季籃球賽中，選手王娜在第六、第七、

第八、第九場比賽中分別得了23分、14分、11分和20分．她的前九場的平均成績高于前五場的平均成績，

如果她的前十場的平均成績高于18分，那么她的第十場的成績至少為（）

A．27分B．29分C．31分D．33分

【答案】B

23＋14＋11＋20

【分析】首先求得第六場??第九場的平均成績=17（分）．根據(jù)她的前九場的平均成績高于

4

前五場的平均成績，說明前五場該選手的得的總分最多17×5?1＝84（分）．因而可知前九場的總分不會超

過68＋84．再根據(jù)她的前十場的平均成績高于18分，即至少為18×10＋1＝181．則她的第十場的成績至少

即可求出．

【詳解】解：設她的第十場的成績得分x（分）．

23＋14＋11＋20

第六場??第九場的平均成績?yōu)?17（分），超過了前五場的平均成績．

4

因此，前五場該選手得的總分最多17×5?1＝84（分），但是她的十場的平均成績高于18分，

由題意得x＋（23＋14＋11＋20）＋84≥18×10＋1，

第21頁共49頁.

解得x≥29．

故選：B．

【點睛】本題考查一元一次不等式的應用．解決問題的關鍵是讀懂題意，依題意列出不等式進行求解．

【變式2】（2021·浙江紹興·模擬預測）隨看科技的進步，我們可以通過手機APP實時查看公交車到站情況．小

明想乘公交車，可又不想靜靜地等在A站．他從A站往B站走了一段路，發(fā)現(xiàn)他與公交車的距離為720m

（如圖），此時有兩種選擇：

（1）與公交車相向而行，到A公交站去乘車；

（2）與公交車同向而行，到B公交站去乘車．

1

假設小明的速度是公交車速度的，若要保證小明不會錯過這輛公交車，則A、B兩公交站之間的距離最大

5

為（）

A．240mB．300mC．320mD．360m

【答案】B

【分析】設小明的速度為x，則公交車的速度為5x，分別計算小明往A走，以及往B走時，對應所需走的

路程的最大值，然后求和即可．

【詳解】設小明的速度為x，則公交車的速度為5x，

（1）若與公交車相向而行到達A站，設用時為t，

720tx

則要保證小明不會錯過這輛公交車，應滿足t，

5x

∴tx120；

（2）若與公交車同向而行到達B站，設用時為T，

720

則要保證小明不會錯過這輛公交車，應滿足T，

5xx

∴xT180；

∴txxT300，

∴AB兩地之間的距離最大為300米，

故選：B．

第22頁共49頁.

【點睛】本題考查不等式的實際應用，審清題意，建立合適的不等式，靈活利用整體思想求解是解題關鍵．

【變式3】（2022·北京北京·二模）某甜品店會員購買本店甜品可享受八折優(yōu)惠．“五一”期間該店又推出購

物滿200元減20元的“滿減”活動．

說明：①“滿減”是指購買的甜品標價總額達到或超過200元時減20元．“滿減”活動只享受一次；

②會員可按先享“滿減”優(yōu)惠再享八折優(yōu)惠的方式付款，也可按先享八折優(yōu)惠再享“滿減”優(yōu)惠的方式付款

小紅是該店會員．若購買標價總額為220元的甜品，則最少需支付_____________元；

若購買標價總額為x元的甜品，按先享八折優(yōu)惠再享“滿減”優(yōu)惠的方式付款最劃算，則x的取值范圍是

__________．

【答案】160x250

【分析】根據(jù)題意按參加“滿減”活動和享八折優(yōu)惠的方式付款分別求解再比較即可；根據(jù)題意設購買標價總

額為x元的甜品，按先享八折優(yōu)惠再享“滿減”優(yōu)惠的方式付款最劃算，列出不等式，解不等式即可求解．

【詳解】解：∵若購買標價總額為220元的甜品，

∴若先參加“滿減”活動再享八折優(yōu)惠的方式付款，則需付款220200.8160（元），

若按享八折優(yōu)惠的方式付款，則需付款2200.8176（元），176200，不再參加“滿減”活動，則實際付

款為176元；

160176

最少需支付160元；

設購買標價總額為x元的甜品，按先享八折優(yōu)惠再享“滿減”優(yōu)惠的方式付款，根據(jù)題意得，0.8x200，解

得x250，

故答案為：160；x250

【點睛】本題考查了有理數(shù)運算的應用，一元一次不等式的應用，理解題意是解題的關鍵．

【變式4】（2022·黑龍江·肇東市第十一中學校一模）某學校計劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎

品．已知購買2個A種獎品和4個B種獎品共需100元；購買5個A種獎品和2個B種獎品共需130元．學

2

校準備購買A,B兩種獎品共20個，且A種獎品的數(shù)量不小于B種獎品數(shù)量的，則在購買方案中最少費用

5

是_____元．

【答案】330

【分析】設A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，根據(jù)“購買2個A種獎品和4個B種獎品共需

100元；購買5