專題08 反比例函數(shù)（6大考點(diǎn)）（解析版）

第三部分函數(shù)

專題08反比例函數(shù)（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一反比例函數(shù)的定義

核心考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

核心考點(diǎn)三反比例函數(shù)的解析式

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

核心考點(diǎn)五反比例函數(shù)與幾何圖形綜合

核心考點(diǎn)六反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

新題速遞

核心考點(diǎn)一反比例函數(shù)的定義

5

例1（2021·貴州黔西·中考真題）對(duì)于反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法錯(cuò)誤的是（）

x

A．圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣5）

B．圖象位于第二、第四象限

C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小

D．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大

【答案】C

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確，從而可以

解答本題．

5

【詳解】解：反比例函數(shù)y＝﹣，

x

5

A、當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣＝﹣5，圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，-5），故選項(xiàng)A不符合題意；

1

B、∵k＝﹣5＜0，故該函數(shù)圖象位于第二、四象限，故選項(xiàng)B不符合題意；

C、當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C符合題意；

D、當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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6

例2（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)4,a，則a的值為

x

___________．

3

【答案】

2

【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出a的值即可．

6

【詳解】解：把點(diǎn)4,a代入y得：

x

63

a．

42

3

故答案為：．

2

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，明確函數(shù)圖像經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就符合函

數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．

k

例3（2021·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）背景：點(diǎn)A在反比例函數(shù)yk0的圖象上，ABx軸于點(diǎn)B，

x

ACy軸于點(diǎn)C，分別在射線AC,BO上取點(diǎn)D,E，使得四邊形ABED為正方形．如圖1，點(diǎn)A在第一象

限內(nèi)，當(dāng)AC4時(shí)，小李測得CD3．

探究：通過改變點(diǎn)A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D，A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)幫助小李解決下列問題．

（1）求k的值．

（2）設(shè)點(diǎn)A,D的橫坐標(biāo)分別為x,z，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”．如圖2，小李畫出了x0時(shí)“Z函數(shù)”

的圖象．

①求這個(gè)“Z函數(shù)”的表達(dá)式．

②補(bǔ)畫x0時(shí)“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）．

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③過點(diǎn)3,2作一直線，與這個(gè)“Z函數(shù)”圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

4

【答案】（1）4；（2）①zx；②圖見解析，性質(zhì)如下（答案不唯一）：函數(shù)的圖象是兩個(gè)分支組成的曲

x

線；函數(shù)的圖象關(guān)于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)成中心對(duì)稱；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值z(mì)隨自變量x的增大而增大，當(dāng)x0

時(shí)，函數(shù)值z(mì)隨自變量x的增大面增大；③2，3，4，6．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解題；

14

（2）①設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為x,，繼而解得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為zx，根據(jù)題意解題即可；②根據(jù)解析式在網(wǎng)

xx

格中描點(diǎn)，連線即可畫出圖象，根據(jù)圖象的性質(zhì)解題；③分兩種種情況討論，當(dāng)過點(diǎn)（3,2）的直線與x軸垂

直時(shí)，或當(dāng)過點(diǎn)（3,2）的直線與x軸不垂直時(shí)，結(jié)合一元二次方程解題即可．

【詳解】解：（1）由題意得，ABAD1，

點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,1)，所以k414；

14

（2）①設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為x,，所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為zx，

xx

4

所以這個(gè)“Z函數(shù)”表達(dá)式為zx；

x

②畫出的圖象如圖：

性質(zhì)如下（答案不唯一）；

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（a）函數(shù)的圖象是兩個(gè)分支組成的，是兩條曲線

（b）函數(shù)的圖象關(guān)于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)成中心對(duì)稱．

（c）當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值z(mì)隨自變量x的增大而增大，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值z(mì)隨自變量x的增大面增大．

③第一種情況，當(dāng)過點(diǎn)（3,2）的直線與x軸垂直時(shí)，x3；

第二種情況，當(dāng)過點(diǎn)（3,2）的直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)該直線的函數(shù)表達(dá)式為z'mxb(m0)，

23mb，即b3m2，

z'mx3m2，

4

由題意得，xmx3m2

x

x24mx23mx2x，

(m1)x2(23m)x40

（a）當(dāng)m1時(shí)，x40，解得x4；

（b）當(dāng)m1時(shí)，b24ac(23m)24(m1)49m228m200，

10

解得m2,m，

129

22

當(dāng)m12時(shí)，x4x40，x20．解得x1x22；

10142

當(dāng)m時(shí)，x2x40,x212x360,x60，解xx6

299312

所以x的值為2,3,4,6．

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求一次函數(shù)的解析式、解一元二次方程等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，

難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)的概念

k

定義：一般地，函數(shù)y（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫

x

成ykx1或xyk的形式．自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一

切非零實(shí)數(shù)．

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【變式1】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）某氣球內(nèi)充滿一定質(zhì)量的氣體，溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)pkPa

與氣體的體積Vm3的關(guān)系是如圖所示的反比例函數(shù)．當(dāng)氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)大于200kPa，氣球就會(huì)爆炸．為

了不讓氣球爆炸，則氣球內(nèi)氣體的體積V需滿足的取值范圍是（）

A．V0.5B．V＞0.5C．V≤0.5D．V≥0.5

【答案】D

100

【分析】由圖可求出壓強(qiáng)pkPa與氣體的體積Vm3的關(guān)系式為p，為了不讓氣球爆炸，則需要

V

p≤200，結(jié)合圖象可知：若p≤200，則V≥0.5．

【詳解】解：由圖可知函數(shù)為反比例函數(shù)，且過125,0.8，

k

設(shè)氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)pkPa與氣體的體積Vm3的關(guān)系為p，

V

100

則kpV100，即p，

V

為了不讓氣球爆炸，則需要p≤200，

當(dāng)p=200時(shí)，V0.5，如圖：

結(jié)合圖象可知：若p≤200，則V≥0.5，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象求出壓強(qiáng)pkPa與氣體的體積Vm3的關(guān)系，

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并根據(jù)pkPa的取值求出Vm3的取值．

【變式2】（2021·廣東廣州·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0無實(shí)數(shù)根，則反比例函數(shù)

m1

y的圖象可能經(jīng)過點(diǎn)（）

x

A．（3，1）B．（0，3）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，1）

【答案】D

【分析】由方程根的情況可求得m的取值范圍，則可求得反比例函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，可求得答案．

【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0無實(shí)數(shù)根，

∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m＜0，

解得m＜﹣1，

∴m+1＜0，

m1

∴反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過二、四象限，

x

m1

∴反比例函數(shù)y的圖象可能經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1），

x

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式求得m

的取值范圍是解題的關(guān)鍵．

1

【變式3】（2021·北京石景山·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Aa,b在雙曲線y上．若a<0，

x

則點(diǎn)A在第________象限．

【答案】二

1

【分析】由點(diǎn)A（a，b）在雙曲線y上，可得ab=-1，由a<0可得到點(diǎn)b0的坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案．

x

1

【詳解】解：∵點(diǎn)Aa,b在雙曲線y上，

x

∴ab=-1，

∵a<0

∴b0

∴點(diǎn)A在第二象限．

故答案為：二．

【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)的特征，求出b0是解答此題的關(guān)鍵．

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【變式4】（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在x軸上方有①～⑥六個(gè)臺(tái)階，它們的拐角T1～T6處均為90°，

1210

每個(gè)臺(tái)階的高、寬分別是1和2個(gè)單位長度，若反比例函數(shù)y＝﹣的圖象經(jīng)過T，則反比例函數(shù)y＝的

x1x

圖象經(jīng)過兩個(gè)工臺(tái)階的橫面（與x軸平行的面，包括橫面的兩端點(diǎn)），這兩個(gè)臺(tái)階是_____和_____．

【答案】④

⑤

～

【分析】先根據(jù)題意求出T1的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出T2T6的橫坐標(biāo)，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：由題意得T1的縱坐標(biāo)為6，

12

∵反比例函數(shù)y經(jīng)過T，

x1

1212

∴當(dāng)y=6時(shí)，對(duì)于反比例函數(shù)y，x2，

x6

∴點(diǎn)T1的橫坐標(biāo)為-2，

∴點(diǎn)T2的橫坐標(biāo)為0，T3的橫坐標(biāo)為2，T4的橫坐標(biāo)為4，T5的橫坐標(biāo)為6，T6的橫坐標(biāo)為8，

10

當(dāng)x2時(shí)，對(duì)于反比例函數(shù)y，y5，

x

105

當(dāng)x4時(shí)，對(duì)于反比例函數(shù)y，y

x2

105

當(dāng)x6時(shí)，對(duì)于反比例函數(shù)y，y

x3

105

當(dāng)x8時(shí)，對(duì)于反比例函數(shù)y，y

x4

又∵點(diǎn)T2的縱坐標(biāo)為5，T3的縱坐標(biāo)為4，T4的縱坐標(biāo)為3，T5的縱坐標(biāo)為2，T6的縱坐標(biāo)為1，

10

∴反比例函數(shù)y經(jīng)過的兩個(gè)臺(tái)階為④和⑤，

x

故答案為：④；⑤．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)函數(shù)值，正確求出點(diǎn)T1的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

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【變式5】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，進(jìn)一

2

步研究了函數(shù)y的圖像與性質(zhì)，其探究過程如下：

x

(1)繪制函數(shù)圖像

列表：下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中m_________．

11

x…321123…

22

2

y…124421m…

3

描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值x,y，在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，請(qǐng)你描出剩下的點(diǎn)；

連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，已經(jīng)畫出了部分圖像，請(qǐng)你把圖像補(bǔ)充完整；

(2)觀察函數(shù)圖像；下列關(guān)于該函數(shù)圖像的性質(zhì)表述正確的是：__________；（填寫代號(hào)）

①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；③函數(shù)值y都大于0．

(3)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)：若點(diǎn)0.5,y1,1.5,y2,2.5,y3，則y1、y2、y3大小關(guān)系是__________．

2

【答案】(1)，見解析；

3

(2)②③；

＞＞

(3)y1y2y3

2

【分析】（1）把x=3代入函數(shù)y，即可求得m的值，見解析；

x

（2）通過觀察函數(shù)圖像即可得到答案；

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2

（3）分別把x=-0.5、x=1.5、x=2.5代入函數(shù)y，求得y、y、y的值，即可判斷.

x123

（1）

2

解：）把x=3代入函數(shù)y，

x

2

得：my；

3

如圖

（2）

解：由函數(shù)圖像可知，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減??；

函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)值y都大于0，

∴下列關(guān)于該函數(shù)圖像的性質(zhì)表述正確的是②③；

（3）

2

解：分別把x=-0.5、x=1.5、x=2.5代入函數(shù)y，

x

44

得y=4，y=，y=，

12335

＞＞

∴y1y2y3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確識(shí)圖和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.

核心考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a21

例1（2021·山東德州·中考真題）已知點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函數(shù)y（a是

x

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xx

常數(shù)）的圖象上，且y1y20y3，則1，2，x3的大小關(guān)系為（）

A．x2x1x3B．x1x2x3C．x3x2x1D．x3x1x2

【答案】D

【分析】根據(jù)a210，判斷反比例函數(shù)的圖象所在位置，結(jié)合圖象分析函數(shù)增減性，利用函數(shù)增減性比

較自變量的大?。?/p>

【詳解】解：∵a210，

a21

∴反比例函數(shù)y（a是常數(shù)）的圖象在一、三象限，

x

如圖所示：

當(dāng)y1y20y3時(shí)，x30x1x2，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的自變量大小的比較，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性分

析自變量的大?。?/p>

k2

例2（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝圖象相交于A、B兩

x

點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是___．

【答案】（﹣3，﹣2）

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【分析】由于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出B點(diǎn)坐標(biāo)即可．

【詳解】解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∵A的坐標(biāo)為（3，2），

∴B的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2）．

故答案為：（﹣3，﹣2）．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

例3（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀

6

察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù)y|x|的圖象，并探究該函數(shù)性

|x|

質(zhì)．

(1)繪制函數(shù)圖象

①列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中a＝．

x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……

y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……

②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)（x，y），請(qǐng)補(bǔ)充描出點(diǎn)（2，a）；

③連線：請(qǐng)用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象；

6

(2)探究函數(shù)性質(zhì)，請(qǐng)寫出函數(shù)y＝-|x|的一條性質(zhì)：；

|x|

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(3)運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)

6

①寫出方程-|x|＝5的解；

|x|

6

②寫出不等式-|x|≤1的解集．

|x|

【答案】(1)①1；②見解析，③見解析

6

(2)y|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱軸（答案不唯一）

|x|

(3)①x1或x=1；②x2或x2

【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描點(diǎn)，連線即可；

（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；

（3）①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案．

6

【詳解】（1）①列表：當(dāng)x=2時(shí)，a|2|1，

|2|

故答案為：1；

②描點(diǎn)，③連線如下：

6

（2）觀察函數(shù)圖象可得：y|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

|x|

6

故答案為：y|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

|x|

（3）①觀察函數(shù)圖象可得：當(dāng)y=5時(shí)，x=1或x=-1，

6

x5的解是x=1或x=-1，

x

故答案為：x=1或x=-1，

②觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)x≤-2或x≥2時(shí)，y≤1，

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6

∴|x|1的解集是x≤-2或x≥2，

|x|

故答案為：x≤-2或x≥2．

【點(diǎn)睛】本題考查了列表描點(diǎn)畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象獲取信息

是解題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，

或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都

沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．

（2）性質(zhì)：

當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?/p>

當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．

k

表達(dá)式y(tǒng)（k是常數(shù)，k≠0）

x

kk>0k<0

大致圖象

所在象限第一、三象限第二、四象限

增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

1.反比例函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為直線y=x和y=-x；

對(duì)稱性2.反比例函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)．

反比例函數(shù)比例系數(shù)k越大，圖象離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。

注意：

（1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點(diǎn)，描點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時(shí)，要注意用平滑的曲

線連接各點(diǎn)．

第13頁共86頁.

k

（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y

x

中x≠0且y≠0．

（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)

的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地

說當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減?。瑯?，當(dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．

【變式1】（2022·江西吉安·統(tǒng)考二模）如圖，△ABO是等邊三角形，其中點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（6，0），點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)等邊△ABO進(jìn)行變換操作，得到如下結(jié)論：

①將等邊△ABO沿AO方向平移6個(gè)單位長度，恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；

②將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的

圖象上；

③將等邊△ABO以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1，得到的位似圖形恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象

上；

④將等邊△ABO以直線yx或直線yx為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．

其中正確的是（）

A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，通過畫出相應(yīng)圖形，可得出結(jié)論．

【詳解】解：過點(diǎn)A作AH⊥OB于點(diǎn)H，

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=OA=OB=6，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°

第14頁共86頁.

∴OH=3，AHOA2OH2623233

∴A的坐標(biāo)為（3，33）

93

∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y

x

①如圖所示，△ABO沿AO方向平移6個(gè)單位長度，點(diǎn)A恰好與O重合，點(diǎn)O平移到E點(diǎn)，此時(shí)OE=OA=6，

∴A、E關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，①正確．

②若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)A恰好落在y軸上（0，6），此時(shí)，點(diǎn)B恰好落在（33，

3），

∵33393

∴B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象上；

若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B恰好落在（3，33）處，在反比例函數(shù)圖象上；

若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)A恰好落在（-3，-33），

∵（33）（3）93

∴A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象上；

若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)210°，點(diǎn)A恰好落在y軸上（0，-6），此時(shí)，點(diǎn)B恰好落在（-33，

第15頁共86頁.

-3）處，

∵（33）（3）93

∴B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象上；

若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°，點(diǎn)B恰好落在（-3，-33）處，在反比例函數(shù)圖象上；

∴將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的

圖象上，②正確．

③將等邊△ABO以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1，相當(dāng)于將A繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在為

（-3，-33），在反比例函數(shù)圖象上，③正確．

④根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，將等邊△ABO以直線yx或直線yx為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，④正確．

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性質(zhì)，軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似、翻折等，靈活運(yùn)用反比例函數(shù)對(duì)稱

性是解題的關(guān)鍵．

1

【變式2】（2021·福建漳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)yx與函數(shù)y2的部分圖像如圖所示，

1x

有以下結(jié)論：

①當(dāng)x0時(shí)，y1，y2都隨x的增大而增大；

②當(dāng)x1時(shí)，y1y2；

③y1與y2的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離是2；

④函數(shù)yy1y2的最小值是2．則下列結(jié)論正確的是（）

A．①③B．②③C．③④D．②③④

【答案】D

【分析】補(bǔ)全函數(shù)圖像，根據(jù)圖像即可判斷．

第16頁共86頁.

【詳解】解：補(bǔ)全函數(shù)圖像，如圖所示：

①當(dāng)x0時(shí)，y1隨x的增大而減小，y2隨x的增大而增大，故①錯(cuò)誤；

②當(dāng)x1時(shí)，y1y2，故②正確；

③y1與y2的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離是2，故③正確；

2

④∵x10，

∴x212x，

1x21

∵yyyx2，

12xx

∴函數(shù)yy1y2的最小值是2，故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論是②③④，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，

數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┤酎c(diǎn)P(m1,7)與點(diǎn)Q(4,n)是正比例函數(shù)y=ax(a≠0)圖

k

象與反比例西數(shù)y(k0)圖象的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則mn__________．

x

【答案】12

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而求得m,n的值，

即可求解．

k

【詳解】解：∵點(diǎn)P(m1,7)與點(diǎn)Q(4,n)是正比例函數(shù)y=ax(a≠0)圖象與反比例西數(shù)y(k0)圖象的兩

x

個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴m14,n7，

解得m5,n7，

第17頁共86頁.

mn12，

故答案為：12．

【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵．

k

【變式4】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過二、四象限．

x

（1）點(diǎn)Pk,k在第______象限．

k

（2）若點(diǎn)Aab,3，Bac,5是反比例函數(shù)y圖象上兩點(diǎn)，則a,b,c的大小關(guān)系是______．（用符號(hào)“”

x

連結(jié)）

【答案】四b>c>a

k

【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過二、四象限可知k＜0，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即

x

可；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象在二四象限可得點(diǎn)A、B在第二象限，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得a-b與a-c

的大小，即可求解．

k

【詳解】解：（1）∵反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過二、四象限，

x

∴k＜0，

∴-k＞0，

∴點(diǎn)P（-k，k）在第四象限，

故答案為：四；

（2）∵k＜0，點(diǎn)A（a-b，3），B（a-c，5），

k

∴反比例函數(shù)y，y隨x的增大而增大，點(diǎn)A、B在第二象限，

x

∴a-b＜0，a-c＜0，a-b＜a-c，

∴a＜b，a＜c，b＞c，

∴b＞c＞a，

故答案為：b＞c＞a．

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象判斷出k的取值范圍是解答

此題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·河南濮陽·統(tǒng)考二模）研究函數(shù)圖象性質(zhì)，需要“列表、描點(diǎn)、用平滑的線依次連接各點(diǎn)“畫

第18頁共86頁.

出函數(shù)圖象，這個(gè)方法叫作描點(diǎn)法．為研究函數(shù)圖象性質(zhì)我們也可以利用它們的數(shù)學(xué)關(guān)系去理性分析，對(duì)

函數(shù)的圖象作合情推理，然后利用描點(diǎn)法畫出圖象進(jìn)行驗(yàn)證．

4

(1)在研究函數(shù)y的圖象前，老師預(yù)先給出了下面四個(gè)圖象．請(qǐng)你利用函數(shù)關(guān)系，分析下列圖象中可能

x

4

是函數(shù)y圖象的是（）

x

4

(2)結(jié)合分析的函數(shù)圖象，寫出函數(shù)y圖象的二條性質(zhì)；

x

①性質(zhì)一：；

②性質(zhì)二：．

4

(3)若yxb與函數(shù)y圖象的兩個(gè)分支都有交點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．

x

【答案】(1)C

(2)①關(guān)于y軸對(duì)稱，與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)；②在x0時(shí)，y隨x的增大而增大，x0時(shí)，y隨x的增大而減??；

(3)b4

【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，可知函數(shù)值都大于0，據(jù)此即可求解；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的無交點(diǎn)，對(duì)稱性，增減性分析即可求解．；

44

（3）根據(jù)題意分情況討論，當(dāng)x0時(shí)，y，當(dāng)x0時(shí)，y，聯(lián)立直線yxb，根據(jù)一元二次方

xx

程根的判別式的意義即可求解．

（1）

4

解：∵y0，

x

∴函數(shù)圖象在x軸上方，

故選C；

（2）

第19頁共86頁.

①關(guān)于y軸對(duì)稱，與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)；②在x0時(shí)，y隨x的增大而增大，x0時(shí)，y隨x的增大而減??；

故答案為：①關(guān)于y軸對(duì)稱，與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)；②在x0時(shí)，y隨x的增大而增大，x0時(shí)，y隨x的增

大而減??；

（3）

yxb

4

①當(dāng)x0時(shí)，y，根據(jù)題意可得：4，

xy

x

4

即xb，

x

即x2bx40，

b2160，

則b為全體實(shí)數(shù)，

4

②當(dāng)x0時(shí)，y，

x

4

即xb，

x

即x2bx40，

b2160，

b216，

當(dāng)b0時(shí)，b4，

當(dāng)b0時(shí)，b4，

4

結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)b4時(shí)，與yx0無交點(diǎn)，不符合題意，

x

b4

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一元二次方程根的判別式，數(shù)形結(jié)

合是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)三反比例函數(shù)的解析式

k

例1（2021·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y（k0，x0）的圖象上，ACx

x

2

軸于點(diǎn)C，BDx軸于點(diǎn)D，BE⊥y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AE．若OE1，OCOD，ACAE，則k的值為

3

第20頁共86頁.

（）

329

A．2B．C．D．22

24

【答案】B

223

【分析】設(shè)OD=m，則OC=m，設(shè)AC=n，根據(jù)mnm1求得n，在RtAEF中，運(yùn)用勾股定理可

332

32△

求出m=，故可得到結(jié)論．

2

【詳解】解：如圖，

設(shè)OD=m，

2

∵OCOD

3

2

∴OC=m

3

∵BDx軸于點(diǎn)D，BE⊥y軸于點(diǎn)E，

∴四邊形BEOD是矩形

∴BD=OE=1

∴B(m，1)

k

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y，

x

∴k=m×1=m

設(shè)AC=n

∵ACx軸

2

∴A（m，n）

3

第21頁共86頁.

233

∴mnkm，解得，n=，即AC=

322

∵AC=AE

3

∴AE=

2

231

在RtAEF中，EFOCm，AFACFC1

322

△321

由勾股定理得，()2(m)2()2

232

32

解得，m（負(fù)值舍去）

2

32

∴k

2

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合

思想與方程思想的應(yīng)用．

例2（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直角三角形ABO中，AO1，將ABO繞點(diǎn)O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至

k

△ABO的位置，且A在OB的中點(diǎn)，B在反比例函數(shù)y上，則k的值為________________．

x

【答案】3

【分析】連接AA，作BEx軸于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AOA是等邊

三角形，從而得出AOBAOB60，即可得出BOE60，解直角三角形求得B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得

k3．

【詳解】解：連接AA，作BEx軸于點(diǎn)E，

第22頁共86頁.

由題意知OAOA，A是OB中點(diǎn)，AOBAOB，OBOB，

1

AAOBOA，

2

AOA是等邊三角形，

AOB60，

OB2OA2，BOE60，

OB2，

1

OEOB1，

2

BE3OE3，

B(1,3)，

k

B在反比例函數(shù)y上，

x

k133．

故答案為：3．

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用

數(shù)形結(jié)合的思想解答．

m

例3（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=kx+b與雙曲線y=相交于A（1，2），B兩點(diǎn)，與x

x

軸相交于點(diǎn)C（4，0）．

第23頁共86頁.

(1)分別求直線AC和雙曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接OA，OB，求AOB的面積；

m

(3)直接寫出當(dāng)x＞0時(shí)△，關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集．

x

282

【答案】(1)y=x+，y=；

33x

8

(2)AOB的面積為；

3

(3)1△<x<3

m

【分析】（1）將點(diǎn)A(1，2)代入y=，求得m=2，再利用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式即可；

x

（2）解方程組求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)SAOBSAOCSBOC，利用三角形面積公式即可求解；

（3）觀察圖象，寫出直線的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方的自變量的取值范圍即可．

m

【詳解】（1）解：將點(diǎn)A(1，2)代入y=，得m=2，

x

2

∴雙曲線的表達(dá)式為：y=，

x

把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：

2

k

kb23

y=，解得：，

4kb08

b

3

28

∴直線的表達(dá)式為：y=x+；

33

2

y

x

（2）解：聯(lián)立，

28

yx

33

x3

x1

解得，或2，

y2y

3

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），

2

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），

3

11

∵SSSOC|y|OC|y|

AOBAOCBOC2A2B

112

424

223

第24頁共86頁.

8

=，

3

8

∴△AOB的面積為；

3

m

（3）解：觀察圖象可知：不等式kx+b>的解集是1<x<3．

x

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解

析式，學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會(huì)利用分割法求三角形面積．

知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)解析式的確定

1．待定系數(shù)法

k

確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)y中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因

x

此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．

2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟

k

（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y（k≠0）；

x

（2）把已知一對(duì)x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；

（3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k；

（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．

知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)中|k|的幾何意義

1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積

2．涉及三角形的面積型

當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解．

（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成