專題16 難點(diǎn)探究專題：幾何圖形中動(dòng)角問題壓軸題三種模型全攻略（原卷版）

專題16難點(diǎn)探究專題：幾何圖形中動(dòng)角問題壓軸題三種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................................................................................1

【考點(diǎn)一幾何圖形中動(dòng)角定值問題】......................................................................................................................1

【考點(diǎn)二幾何圖形中動(dòng)角數(shù)量關(guān)系問題】..............................................................................................................3

【考點(diǎn)三幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題】..........................................................................................................4

【過關(guān)檢測】...............................................................................................................................................7

【典型例題】

【考點(diǎn)一幾何圖形中動(dòng)角定值問題】

例題：（2023秋·湖南懷化·七年級統(tǒng)考期末）已知如圖ON是BOC的平分線，OM是AOC的平分線，

AOC28，COB42

(1)求MON的度數(shù).

(2)當(dāng)射線OC在AOB的內(nèi)部線繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，射線OM、ON的位置是否發(fā)生變化？說明理由.

(3)在（2）的條件下，MON的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求其度數(shù)；如果變化，說出其變化范圍.

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【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）將一副三角板中含有60°角的三角板的頂點(diǎn)和另一塊含有45°角的

三角板的頂點(diǎn)重合于一點(diǎn)O，繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)含有60°角的三角板，拼成如圖的情況，請回答問題：

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在射線OC上時(shí)，直接寫出AOD的度數(shù)是____________度；

(2)①如圖2，當(dāng)OB為COD的角平分線時(shí)，求出此時(shí)AOC的度數(shù)；

②如圖3，當(dāng)OB為AOD的角平分線時(shí)，求出此時(shí)AOC的度數(shù)；

(3)若OB只在COD內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，作AOC平分線OE交AB于點(diǎn)E，再作BOD的平分線OF交CD于點(diǎn)F，

在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中EOF的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個(gè)值；若變化，請說明理由．

2．（2023秋·湖北武漢·七年級?？计谀┤鐖D，AOB100，COD40，射線OE平分AOC，射線OF

平分BOD（本題中的角均為大于0且小于180的角）．

(1)如圖，當(dāng)OB，OC重合時(shí)，求EOF的度數(shù)；

(2)當(dāng)COD從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度0n40時(shí)，AOEBOF的值是否為定值？若是

定值，求出AOEBOF的值，若不是，請說明理由．

(3)當(dāng)COD從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度0n220時(shí)，AOE與BOF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

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【考點(diǎn)二幾何圖形中動(dòng)角數(shù)量關(guān)系問題】

例題：（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知O為直線AB上一點(diǎn)，射線OD、OC、OE位于直線AB上

方，OD在OE的左側(cè)，AOC120，DOE80．

(1)如圖1，當(dāng)OD平分AOC時(shí)，求EOB的度數(shù)；

(2)點(diǎn)F在射線OB上，若射線OF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n（0n180且n60），F(xiàn)OA3AOD．當(dāng)DOE

在AOC內(nèi)部（圖2）和DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)（圖3）時(shí)，F(xiàn)OE和EOC的數(shù)量關(guān)系是否改變，

若改變，說明理由，若不變，求出其關(guān)系．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)O在直線AB上，COD在直線AB上方，且COD60，

射線OE在COD內(nèi)部，AOE2DOE．

(1)如圖1，若OD是BOC的平分線，求COE的度數(shù)；

(2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)BOD的大小發(fā)生變化時(shí)，COE與BOD的數(shù)量關(guān)系保持不變．請你用等式表

示出COE與BOD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

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2．（2023秋·湖北武漢·七年級校考期末）如圖，AOB100，COD40，射線OE平分AOC，射線OF

平分BOD（本題中的角均為大于0且小于180的角）．

(1)如圖，當(dāng)OB，OC重合時(shí)，求EOF的度數(shù)；

(2)當(dāng)COD從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度0n40時(shí)，AOEBOF的值是否為定值？若是

定值，求出AOEBOF的值，若不是，請說明理由．

(3)當(dāng)COD從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度0n220時(shí)，AOE與BOF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【考點(diǎn)三幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題】

例題：（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，A，O，B三點(diǎn)在一條直線上，且AOC24°，BOD78，

射線OM，ON分別平分AOD和BOD．如圖2，將射線OA以每秒8的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同

時(shí)將COD以每秒6的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OB重合時(shí)，COD停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)射線OA

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)運(yùn)動(dòng)開始前，如圖1，DON______，AOM______；

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(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，射線OD平分BOM?

(3)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時(shí)刻使得MON42？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·甘肅蘭州·七年級?？计谀┤鐖D，O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，AOC30，將

一直角三角板（M30）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB

的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒2的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，OM恰好平分

BOC．求t的值；并判斷此時(shí)ON是否平分AOC？說明理由；

(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，

那么經(jīng)過多長時(shí)間OC平分MON？請說明理由．

2．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，OC是AOB內(nèi)部的一條射線，且AOB3AOC．

(1)如圖1所示，若AOB120，OM平分AOC，ON平分AOB，求MON的度數(shù)；

(2)如圖2所示，AOB是直角，從點(diǎn)O出發(fā)在BOC內(nèi)引射線OD，滿足BOCAOCCOD，若OM

平分COD，求BOM的度數(shù)；

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(3)如圖3所示，AOBx，射線OP，射線OQ分別從OC，OB出發(fā)，并分別以每秒1和每秒2的速度繞

著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OP和OQ分別只在AOC和BOC內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①直接寫出AOP和COQ的數(shù)量關(guān)系；

2

②若AOB150，當(dāng)POQBOP，求t的值．

3

3．（2023秋·廣東惠州·七年級校考階段練習(xí)）解答下列問題．

(1)【探索新知】

如圖1，射線OC在AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：AOB，AOC和BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是AOB的“巧分線”．

①一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”．（填“是”或“不是”）

②如圖2，若MPN，且射線PQ是MPN的“巧分線”，則MPQ．（用含的代數(shù)式表示出所有可

能的結(jié)果）

(2)【深入研究】

如圖2，若MPN60，且射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒10的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與PQ與PN

成180時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t為何值時(shí)，射線PM是QPN的“巧分線”．

②若射線PM同時(shí)繞點(diǎn)P以每秒5的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．請直接寫出當(dāng)射線PQ是MPN

的“巧分線”時(shí)t的值．

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【過關(guān)檢測】

一、單選題

1．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)О在直線AB上，射線OC,OD分別在AB兩側(cè)，COD90，

OE，OF分別平分AOC和BOD，下列四個(gè)結(jié)論：①COEBOF45；②EOF為定值；

③2BOEAOD90；④AOFEOD315．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

2．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖1，點(diǎn)A，O，B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)

O沿順時(shí)針方向以每秒2的速度旋轉(zhuǎn)；同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向以每秒4的速度旋轉(zhuǎn)．如圖2，

設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（0t90）．下列說法正確的是（）

A．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，不存在AOB90的情況

B．當(dāng)AOB60時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間t一定為20秒

C．當(dāng)t值為36秒時(shí)，射線OB恰好平分MOA

D．當(dāng)AOB60時(shí)，兩射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間t一定為40秒

二、填空題

1

3．（2023秋·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，∠COD在∠AOB的內(nèi)部，且DCOD=DAOB，若將∠COD繞點(diǎn)O順

2

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠COD在∠AOB的外部，在運(yùn)動(dòng)過程中，OE平分∠BOC，則∠DOE與∠AOC之間滿足的數(shù)

量關(guān)系是．

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4．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，直線ED上有一點(diǎn)O，過點(diǎn)O在直線ED上方作射線OC，將一

直角三角板AOBOAB30的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線ED

上方，將直角三角板繞著點(diǎn)O按每秒10的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．若射線OC的位置保持

不變，且COE140．則在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)t秒時(shí)，射線OA，OC與OD中的某

一條射線恰好是另兩條射線所夾角的平分線．

三、解答題

5．（2023秋·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期末）已知O是直線AB上的一點(diǎn)，COD是直角，OE平分BOC．

(1)如圖①，若AOC30，求COE，DOB的度數(shù)．

(2)將圖①中的COD繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，探究AOC與DOE的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由．

6．（2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知AOB180，OM是AOC的平分線，ON是BOC

的平分線．

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(1)分別指出圖中AON和BOM的補(bǔ)角；

(2)若BOC68，求CON和COM的度數(shù)；

(3)CON和COM具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

7．（2022秋·陜西延安·七年級?？计谀┮阎狝OB110，COD40，OE平分AOC，OF平分BOD.

（1）如圖，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求AOEBOF的值；

（2）若COD從上圖所示位置繞點(diǎn)O以每秒3的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒（0t10），在旋轉(zhuǎn)過程中

AOEBOF的值是否會因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.

8．（2023春·湖北十堰·七年級校考開學(xué)考試）如圖，過點(diǎn)O在AOB內(nèi)部作射線OC．OE，OF分別平分

AOC和BOC，AOC與AOB互補(bǔ)，AOC．

(1)如圖1，若70，則AOB______°，AOF______°，EOF______°；

1

AOBCOD

(2)如圖2，若OD平分AOB．試探索：2是否為定值，若是，請求出這個(gè)定值；若不是，

DOE

請說明理由．

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9．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期中）問題情境：如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O．ON把AOD分成兩

個(gè)角，且AON:NOD2:3．

問題提出：

(1)若BOC75，求AON的度數(shù)．

(2)如果BOC75，OM平分BON，那么OB是COM的平分線嗎？試說明理由．

問題解決：

3

(3)若OMON，則AOCDOM是否為定值？若是，請求出定值：若不是，求說明理由．

5

10．（2023秋·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將斜邊為CD的直角三角板的直角

頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，OE平分BOC．

(1)如圖1，若AOC30，求DOE的度數(shù)；

(2)將直角三角板繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，探究AOC和DOE度數(shù)之間的關(guān)系，

寫出你的結(jié)論，并說明理由；

(3)在圖1中，AOC30，OP與OD的起始位置重合，再將三角板COD繞點(diǎn)O按每秒10的速度沿順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，射線OD恰好是銳角BOP的三等分線，則t的值為__________

秒（直接寫出結(jié)果）．

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11．（2023秋·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖1，已知AOB150，COE與EOD互余，OE平分AOD．

(1)在圖1中，若COE30，則DOE，BOD．

(2)在圖1中，設(shè)COE，B