專(zhuān)題11 利用數(shù)學(xué)思想方法解決線段與角的計(jì)算問(wèn)題（2大基礎(chǔ)題+2大提升題）七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末真題分類(lèi)匯編（人教版2024）

PAGE1專(zhuān)題11利用數(shù)學(xué)思想方法解決線段與角的計(jì)算問(wèn)題分類(lèi)討論思想求解線段長(zhǎng)問(wèn)題的多解題1．（23-24七年級(jí)上·甘肅武威·期末）已知點(diǎn)A、B、C在一條直線上，，則的長(zhǎng)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差【分析】本題考查線段的和與差，分點(diǎn)在線段上，和在線段的延長(zhǎng)線上，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，；故答案為：或．2．（23-24七年級(jí)上·云南紅河·期末）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)為．【答案】5或【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)的概念，線段的和差，正確地畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．分類(lèi)討論，即點(diǎn)在點(diǎn)左邊或者右邊兩種情況，畫(huà)出圖形，按照線段的和差即可解答．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，如圖所示：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，如圖所示：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，；故答案為：5或．3．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知、、、四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，，為的中點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)是．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差【分析】本題考查線段的和差，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再分點(diǎn)在、之間與點(diǎn)在點(diǎn)的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論．熟練掌握線段等分點(diǎn)的性質(zhì)和線段的和差計(jì)算及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖1，∵為的中點(diǎn)，且，∴，∵，∴，∴；如圖2，∵為的中點(diǎn)，且，∴，∵，∴，∴；綜上所述：的長(zhǎng)是或．4．（23-24七年級(jí)上·云南紅河·期末）已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AB上，且，，若，則線段CE的長(zhǎng)為cm．【答案】4或20【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，分點(diǎn)E在線段CB之間時(shí)，和點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，，∴，∵點(diǎn)E在直線AB上，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段CB之間時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，，故答案為：4或20．5．（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）在直線m上取P，Q兩點(diǎn)，使，再在直線m上取一點(diǎn)R，使，M，N分別是，的中點(diǎn)，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是分情況討論點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段外兩種情況．分情況討論點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上，即可求解．【詳解】解：由題意知點(diǎn)的位置有兩種情況，①點(diǎn)在線段上，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，②點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，由①得，，或．故答案為：或．6．（23-24六年級(jí)下·山東威?！て谀┮阎€段，點(diǎn)C，D是線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)D是線段的三等分點(diǎn)，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了線段的計(jì)算，由題意可知或，再結(jié)合線段和差關(guān)系即可求解，明確線段三等分點(diǎn)的意義，正確分類(lèi)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，則，∵點(diǎn)D是線段的三等分點(diǎn)，∴或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，或，故答案為：或．分類(lèi)討論思想求解角的度數(shù)問(wèn)題的多解題1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知，射線平分，則的度數(shù)為【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，正確求得的度數(shù)是關(guān)鍵，因考慮不周，容易漏掉一種情況的解．分兩種情況在內(nèi)或外），分別首先求得的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)在內(nèi)時(shí)，如圖1，則，射線平分，；當(dāng)在外時(shí)，如圖2，則，射線平分，．綜上，或．故答案為：或．2．（23-24七年級(jí)下·湖北恩施·期末）已知和互為鄰補(bǔ)角，平分，射線在內(nèi)部，且，，，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度、垂線的定義理解、角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題主要考查了垂線，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，根據(jù)等量關(guān)系，利用方程思想求得的度數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．分兩種情況進(jìn)行討論：在上方，或在下方，先依據(jù)已知條件求得的度數(shù)，再根據(jù)，即可得到結(jié)果．【詳解】解：分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1所示，若在上方，平分，，，，即，設(shè)，則，，為平角，，即，解得，，又，，；②如圖2所示，若在下方，同理可得，，又，，，綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或．3．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）如圖，已知線段與直線的夾角，點(diǎn)是直線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平移線段，使點(diǎn)移到點(diǎn)的位置，得到線段，連接，再將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若平分，則度．【答案】50或70【知識(shí)點(diǎn)】折疊問(wèn)題、利用平移的性質(zhì)求解、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查角平分線的定義、平移的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，正確地進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論，一是點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，由平分，得，由折疊得，則，而，所以；二是點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，則，，所以，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：如圖1，點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，∵平分，∴，∵將沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，∴，∵，∴，∵平移線段AB，得到線段DE，∴，∴；如圖2，點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，∵平分，∴，∵將沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：50或70．4．（23-24七年級(jí)下·河南商丘·期末）一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，其中，．若固定三角板，改變?nèi)前宓奈恢茫ㄆ渲悬c(diǎn)的位置始終不變），當(dāng)時(shí)，．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、平行公理推論的應(yīng)用、三角板中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了三角板的角度運(yùn)算問(wèn)題，平行線的性質(zhì)，分兩種情況畫(huà)出圖形解答即可求解，正確畫(huà)出圖形運(yùn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，，∴，，∴；故答案為：或．5．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·期末）在同一平面內(nèi)，將兩副直角三角板的兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，并擺成如圖所示的形狀．已知，，，若保持三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問(wèn)題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了三角板中角度計(jì)算問(wèn)題及三角形內(nèi)角和，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)角之間的關(guān)系結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，分以下兩種情況：如圖1所示，，；如圖2所示，，綜上所述，的度數(shù)為或根據(jù)答案為：或．6．（22-23七年級(jí)上·廣東茂名·期末）如圖，已知是內(nèi)部的一條射線，圖中有三個(gè)角：，和，當(dāng)其中一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，稱(chēng)射線為的“巧分線”．如果，是的“巧分線”，則度．【答案】或或【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題主要考查角的計(jì)算和理解能力．分種情況，根據(jù)“巧分線”定義即可求解．【詳解】解：若，是的“巧分線”，則由“巧分線”的定義可知有三種情況符合題意：，此時(shí)；，此時(shí)；，此時(shí)；故答案為：或或．整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問(wèn)題1．（23-24六年級(jí)下·山東東營(yíng)·期末）如圖，點(diǎn)M在線段上，線段與的長(zhǎng)度之比為，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)．(2)在線段上作出一點(diǎn)E，滿足，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．【答案】(1)；(2)【知識(shí)點(diǎn)】列代數(shù)式、兩點(diǎn)間的距離、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離、列代數(shù)式，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義，線段之間的數(shù)量轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)，設(shè)，，根據(jù)線段和的關(guān)系列方程求出，再根據(jù)線段中點(diǎn)定義求出，進(jìn)而得到的長(zhǎng)；（2）根據(jù)，推得，再根據(jù)已知條件，等量代換后得出，進(jìn)而得出用含t的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：由題知：，設(shè)，，∴，∵，且，∴，∴，∴，.

∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，∴．2．（22-23七年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，已知線段，，線段在線段上運(yùn)動(dòng)，，分別是，的中點(diǎn)．(1)若，則________；(2)小張同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長(zhǎng)度始終不變，你認(rèn)為小張同學(xué)說(shuō)的對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)7(2)小張同學(xué)說(shuō)的正確，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差【分析】本題考查了兩點(diǎn)間距離，線段中點(diǎn)相關(guān)的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．（1）先求出線段，然后再利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出，即可；（2）利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)證明的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變．【詳解】（1）解：∵，，，，、N分別是、的中點(diǎn)，，，；故答案為：7；（2）解：小張同學(xué)說(shuō)的正確，的長(zhǎng)度始終不變，理由：∵，，，、N分別是、的中點(diǎn)，，，，．即小張同學(xué)說(shuō)的正確，的長(zhǎng)度為，始終不變．3．（23-24七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，已知點(diǎn)在線段上，且．(1)比較線段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”）(2)如果是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．(3)在（2）中，如果，其他條件不變，那么_____．（用含的式子表示）【答案】(1)=；(2)；(3)．【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差【分析】本題考查線段的和與差，與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算．理清線段之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段的和的關(guān)系，進(jìn)行比較即可；（2）先求出的長(zhǎng)，中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)，求出的長(zhǎng)即可；（3）同法（2），進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，即：；故答案為：；（2）∵∴，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，∴，∴；（3）∵∴，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．故答案為：．4．（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·期末）【問(wèn)題情境】已知A，，，四點(diǎn)在同一直線上，線段，點(diǎn)在線段上．【初步應(yīng)用】（1）如圖1，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，求線段的長(zhǎng)度；【遷移應(yīng)用】（2）若點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且滿足，，求線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）10；（2）或【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離、線段的和與差【分析】本題主要考查線段中點(diǎn)的定義、兩點(diǎn)間的距離，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論思想是解題關(guān)鍵．（1）由線段中點(diǎn)的定義可得，再由求得，于是；（2）分三種情況討論：點(diǎn)在線段上，分別求得，，則；點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，分別求得，，則；點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，此種情況不滿足題意．【詳解】解：（1）因?yàn)椋c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)?，，所以，，所以．?）①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，因?yàn)?，，所以，所以；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，因?yàn)?，，所以，所以，所以；③?dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，此時(shí)不存在符合題意的點(diǎn)，舍去．綜上所述，線段的長(zhǎng)度為或．5．（23-24七年級(jí)上·北京西城·期末）A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，且．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t）．

(1)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為，點(diǎn)P表示的有理數(shù)為；(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；(3)M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)2，；(2)或；(3)【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要是考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，線段的和差運(yùn)算和線段的中點(diǎn)的定義，只要能夠畫(huà)出圖形就可以輕松解決，但是要注意考慮問(wèn)題要全面．（1）根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度，即可求出；（2）當(dāng)時(shí)，要分兩種情況討論，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)或是右側(cè)；（3）分兩種情況結(jié)合中點(diǎn)的定義可以求出線段的長(zhǎng)度不變．【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，所以當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為2，因?yàn)辄c(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，，所以點(diǎn)P表示的有理數(shù)為；（2）解：當(dāng)，要分兩種情況討論，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，因?yàn)椋?，所以；點(diǎn)P在點(diǎn)B的是右側(cè)時(shí)，，所以；（3）解：MN長(zhǎng)度不變且長(zhǎng)為5．理由如下：當(dāng)在線段上時(shí)，如圖，

∵M(jìn)為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴．當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

同理可得：；綜上：．6．（22-23七年級(jí)上·吉林·期末）如圖，在直線上順次取，，三點(diǎn)，已知，，點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)用含的式子表示線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_____；(2)當(dāng)為何值時(shí)，，兩點(diǎn)重合？(3)若點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．問(wèn)：是否存在時(shí)間，使長(zhǎng)度為5？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合(3)當(dāng)或時(shí)，【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差、幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)、列代數(shù)式【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式、線段的和與差，理解題意，正確得出表示線段的代數(shù)式，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想求解是解答的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)路程時(shí)間速度求解即可；（2）先用t表示出、，再根據(jù)題意列出方程求解即可；（3）先用t表示出，，再分點(diǎn)P在Q的左邊和點(diǎn)P在Q的右邊，利用列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴，故答案為：；（2）解：由題意，，，當(dāng)，兩點(diǎn)重合時(shí)，，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；（3）解：存在時(shí)間t，使．由題意得，，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．∴，，∴，當(dāng)點(diǎn)P在Q的左邊時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)P在Q的右邊時(shí)，，解得，∴當(dāng)或時(shí)，．整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題1．（24-25七年級(jí)上·遼寧·期末）如圖，已知、是內(nèi)的兩條射線，平分，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義：（1）先求出的度數(shù)，再由角平分線的定義推出的度數(shù)，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；（2）先求出的度數(shù)，再由角平分線的定義推出的度數(shù)，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴．2．（23-24七年級(jí)上·廣東梅州·期末）已知，射線在的內(nèi)部，按要求完成下列各小題．(1)嘗試探究：如圖1，已知，的度數(shù)為_(kāi)_______；(2)初步應(yīng)用：如圖2，若時(shí)，求的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)拓展提升：如圖3，若，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了角的和差，掌握角度之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)題意得到，然后利用角的和差求解即可；（2）首先根據(jù)題意得到，然后利用角的和差求解即可；（3）首先根據(jù)題意得到，然后利用角的和差求解即可【詳解】（1）∵∴；（2）∵∴；（3）∵∴；3．（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·期末）【問(wèn)題背景】已知是內(nèi)部的一條射線，且．【問(wèn)題再現(xiàn)】（1）如圖①，若，平分，平分，求的度數(shù)；【問(wèn)題推廣】（2）如圖②，，從點(diǎn)出發(fā)在內(nèi)引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；【拓展提升】（3）如圖③，在的內(nèi)部作射線，在的內(nèi)部作射線，若：：，求和的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）；（3）．【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角度和差的計(jì)算，角平分線的定義，（1）根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系和角平分線定義求出和的度數(shù)，再將兩個(gè)角的度數(shù)相加即可求解；（2）根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系和角平分線定義求出和的度數(shù)，再將兩個(gè)角的度數(shù)相減即可求解；（3）角含有的式子表示出，再計(jì)算出和的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1），，．又平分，平分，，，；，；（2），，；．．又平分，，；（3）設(shè)，則．，，．，，．4．（23-24七年級(jí)上·青海西寧·期末）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．（1）若，，，求的長(zhǎng)；（2）若，，則；（3）若，，則；（用含，的代數(shù)式表示）【類(lèi)比應(yīng)用】如圖②，射線，在內(nèi)部，，分別平分，．（4）若，，則；（5）若，，則．（用含，的代數(shù)式表示）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差【分析】（1）先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)的定義求出、的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)；（2）根據(jù)，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求出的長(zhǎng)，根據(jù)即可求出的長(zhǎng)；（3）根據(jù)，即可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)即可求出的長(zhǎng)；（4）先求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)；（5）先求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵是的中點(diǎn)，，∴，∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴；（2）∵，，∴，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，故答案為：20；（3）∵，，∴，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴，∴．故答案為：；（4）∵，，∴，∵，分別平分，，∴，，∴，∴．故答案為：85；（5）∵，，∴，∵，分別平分，，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差計(jì)算、角的和差計(jì)算、線段的中點(diǎn)的定義以及角平分線的定義等知識(shí)，根據(jù)幾何圖形得出線段之間的關(guān)系、角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)