新教材2023-2024學年高中數(shù)學第6章計數(shù)原理測評新人教A版選擇性

第六章測評一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.[2023天津期中]A43×CA.960 B.480 C.160 D.802.在(a+b)10的二項展開式中,第3項為()A.C102a8b2 B.C102a2b8 C.C103a7b33.3名志愿者,每人從4個不同的崗位中選擇1個,則不同的選擇方法共有()A.12種 B.64種 C.81種 D.24種4.[2023湖南長沙期中]在數(shù)學中,有一個被稱為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù)e≈2.71828.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時,打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進行某種排列得到密碼.如果排列時要求2不排第一個,兩個8相鄰,那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為()A.30 B.32 C.36 D.485.[2023貴州興義一模](ax+y)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為40,則實數(shù)a的值為()A.4 B.2 C.1 D.16.[2023浙江寧波月考]如圖,某城市的街區(qū)由12個全等的矩形組成(實線表示馬路),CD段馬路由于正在維修,暫時不通,則從A到B的最短路徑有()A.23條 B.24條 C.25條 D.26條7.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.某校國學社團開展“六藝”講座活動,每周安排一次講座,共講六次.講座次序要求“射”不在第一次,“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰,則“六藝”講座不同的次序共有()A.120種 B.240種 C.1092種 D.408種8.在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857,因為142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,…,所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.該組數(shù)字還有如下規(guī)律:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若從這組神秘數(shù)字中任選3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x,剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y,若x+y=999,則所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x,y)的個數(shù)為()A.48 B.60 C.96 D.120二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.[2023湖北隨州月考]下列四個關(guān)系式中,一定成立的是()A.AB.AnmC.3C832CD.C43+C5310.[2023山東滕州期中]某高一學生想在物理、化學、生物學、政治、歷史、地理這六門課程中選三門作為選科科目,則()A.若不選擇政治,選法總數(shù)為C5B.若物理和化學至少選一門,選法總數(shù)為CC.若物理和歷史不能同時選,選法總數(shù)為(C6D.若物理和化學至少選一門,且物理和歷史不同時選,選法總數(shù)為12種11.[2023湖北武漢期中]已知6名同學排成一排,下列說法正確的是()A.甲不站兩端,共有A4B.甲、乙必須相鄰,共有A4C.甲、乙之間恰有兩人,共有A4D.甲不排左端,乙不排右端,共有(A66212.若(1x2)2022=a0+a1x+a2x2+…+a4044x4044,則()A.a0=1B.∑i=02022a2C.∑i=14044(iai2i1)D.∑i=02022(1)i(C2022三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.用0,1,2,3,4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù),則在組成的五位數(shù)中,恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)有個.

14.[2023北京通州期中]已知(x2)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,則a0=,a5=.

15.[2023湖南懷化模擬]信息技術(shù)輔助教學已經(jīng)成為教學的主流趨勢,為了了解學生利用學習機學習的情況,某研究機構(gòu)在購物平臺上購買了6種主流的學習機,并安排4人進行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計,且每人至少統(tǒng)計1種學習機的相關(guān)數(shù)據(jù)(不重復統(tǒng)計),則不同的安排方法有種.

16.[2023重慶期中]如圖,某景區(qū)共有A,B,C,D,E五個景點,相鄰景點之間僅設(shè)置一個檢票口供出入,共有7個檢票口,工作人員為了檢測檢票設(shè)備是否正常,需要對每個檢票口的檢票設(shè)備進行檢測.若不重復經(jīng)過同一個檢票口,依次對所有檢票口進行檢測,則共有種不同的檢測順序.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)[2023甘肅古浪月考]解下列方程.(1)Am3=3(2)C22+C318.(12分)[2023北京通州期中]已知x2x7.(1)求x2x7的展開式的中間兩項;(2)求x2x7的展開式中x3項的系數(shù).19.(12分)[2023天津靜海期中]從1,2,3,4,5,6中任取5個數(shù)字,隨機填入如圖所示的5個空格中.ABCDE(1)若填入的5個數(shù)字中有1和2,且1和2不能相鄰,不同的填法有多少種?(2)若填入的5個數(shù)字中有1和3,且區(qū)域A,B,C中有奇數(shù),不同的填法有多少種?20.(12分)某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名,外科醫(yī)生8名,現(xiàn)選派5名參加研討會.(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加,共有多少種不同的選法?(2)甲、乙均不能參加,有多少種選法?(3)甲、乙2人至少有1人參加,有多少種選法?(4)醫(yī)療隊中至少有1名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生,有多少種選法?21.(12分)[2023浙江溫州期中]在①a1=35;②Cm0+Cm1+…+Cmm=32(m∈已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且.

(1)求m的值;(2)求a2+a4+a6的值(結(jié)果用數(shù)值表示,參考數(shù)據(jù):67=279936,47=16384).22.(12分)已知f(x)=(2x+3)n展開式的二項式系數(shù)和為512,且(2x+3)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n.(1)求a2的值;(2)求a1+a2+a3+…+an的值;(3)求f(20)20被6整除的余數(shù).

參考答案第六章測評1.BA43×C632.A在(a+b)10的二項展開式中,第3項為T3=C102a8b3.B由分步乘法計數(shù)原理,不同的選擇方法共有4×4×4=64種.4.C根據(jù)題意,分2種情況討論:①8排在第一位,則第二個數(shù)字也是8,再從剩下的4個位置中選出2個,安排兩個2,最后安排7和1,此時有C42②8不排在第一位,則第一位安排7或1,將兩個8看成一個整體,與兩個2和7或1中剩下的數(shù)排列,此時有12×C則一共有12+24=36個不同的密碼.5.C(2xy)5展開式的通項為Tr+1=C5r(2x)5r(y)r=C5r(1)r25rx5ryr,則其展開式中x2y3的系數(shù)為(1)3×C53×22=40,x3y2又(ax+y)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為40,故40a+80=40,則a=1.6.D先假設(shè)CD是實線,則從A到B,向上3次,向右4次,最短路徑有A77A33A44=35條,其中經(jīng)過CD段馬路的路徑,即先從A到C,然后C到D,最后D到B7.D根據(jù)題意,這六門課程全排列,共有A66=720種不同的次序,其中“射”排在第一次的次序有A55=120種,“數(shù)”和“樂”兩次相鄰有A22×A558.A根據(jù)題意,數(shù)字142857中,兩個數(shù)字之和為9的組合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3組,若x+y=999,對于x,其百位數(shù)字可以為6個數(shù)字中任意1個,假設(shè)為1,則y的百位數(shù)字必須為8,則x,y的百位數(shù)字有C61種選法,x的十位數(shù)字可以為剩下4個數(shù)字中任意1個,假設(shè)為2,則y的十位數(shù)字必須為7,則x,y的十位數(shù)字有C41種選法,x的個位數(shù)字可以為剩下2個數(shù)字中任意1個,y的個位數(shù)字為最后1個,則x,y的個位數(shù)字有C21種選法,則所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x,9.BCA選項,AnB選項,Anm=n!C選項,3C832C52=3×D選項,C43+C53+…+C103=C44+C43+C53+10.ACD對于A,原題意等價于六門課程中選三門選修科目,已知不選擇政治,則再從剩余的五門課程中選擇兩門不作為選修科目,可得選法總數(shù)為C5對于B,六門課程中選三門,選法種數(shù)為C63=20,若物理和化學均不選,選法種數(shù)為C43=4,若物理和化學至少選一門,選法種數(shù)為204=對于C,若物理和歷史同時選,選法種數(shù)為C41,若物理和歷史不能同時選,選法種數(shù)為對于D,在物理和歷史不同時選的前提下,排除物理和化學均不選,結(jié)合選項B,C可知,選法種數(shù)為C63-C4111.ACDA選項,甲不站兩端,先把甲安排在中間4個位置中的一個,再對剩下的五名同學全排列,共有A4B選項,甲、乙必須相鄰,先安排甲、乙,再將甲、乙看成一個元素與剩下的4名同學全排列,共有A2C選項,甲、乙之間恰有兩人,先選2人排在甲、乙中間,再排甲、乙,將這4人看成一個元素,與剩下的2名同學全排列,共有A4D選項,甲不排左端,乙不排右端,共有A662A12.ABDA選項,x=0時,1=a0,A正確;B選項,x=1時,0=a0+a1+a2+…+a4044,①x=1時,0=a0a1+a2a3+…+a4044,②①+②,得0=a0+a2+a4+…+a4044,B正確;C選項,(1x2)2022=a0+a1x+a2x2+…+a4044x4044,求導得,2022(2x)(1x2)2021=a1+2a2x+3a3x2+…+4044a4044x4043,x=2時,2022×(4)×(3)2021=a1+2a2·2+3a3·22+…+4044·a4044·24043,8088×32021=∑i=14044(iai2D選項,(1x2)2022=(1+x)2022·(1x)2022?(a0+a1x+a2x2+…+a4044x4044)=(C20220+C20221x+C20222x2+…+C20222022x2022)(C20220-C20221x+C20222x2C20223x3+…+C20222022x2022),比較兩邊x2022的系數(shù)?a2022=(C20220)2(13.28符合要求的五位數(shù),分成兩類:1和3兩個夾著0時,有2A33=12個,1和3兩個夾著2或4時,0不能放在首位,共有C21×A綜上所述,恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)有12+16=28個.14.23由題意,令x=0,可得2×1=a0,即a0=2;由二項展開式得,(x+1)5=C50x5+C51x4+…+則a5=1×C51+(2)×C515.1560由題意可知6種主流的學習機安排給4人進行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計,每人至少統(tǒng)計1種學習機的相關(guān)數(shù)據(jù)(不重復統(tǒng)計),則學習機的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1兩類情況,則按3,1,1,1分組,再分配給4人,共有C63×A44=20×24=480種安排方法,按2,2,1,1分組,再分配給4人,共有C6216.32如圖,將5個景區(qū)抽象為5個點,將7個檢票口抽象為7條路線,將問題化歸為不重復走完7條路線,即一筆畫問題,從B或E處出發(fā)的路線是奇數(shù)條,其余是偶數(shù)條,可以判斷只能從B或E處出發(fā)才能不重復走完7條路線.由于對稱性,只列出從B處出發(fā)的路線情形即可.①走BA路線:3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426,共6種;②走BC路線:4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126,共6種;③走BE路線:7513426,7543126,7621345,7624315,共4種.綜上,共有2×(6+6+4)=32種檢測順序.17.解(1)因為Am3=3Cm+13,所以m(m1)(m2)=3×(m+1(2)因為C22+C32+C42+…+而C22+C32+即3+2x1=2024或3=2x1,所以x=1011或x=2.18.解(1)因為x2x7的展開式共有8項,所以x2x7的展開式的中間兩項為第4項和第5項.所以x2x7的展開式的第4項是T3+1=C73·x73·2x3=C73×(2)3x41x3=280x,第5項是T4+1=C74·x74·2x4=C74×(2)4(2)因為x2x7展開式的通項是Tk+1=C7k·x7k·2xk=(2)kC7kx72k根據(jù)題意,得72k=3,所以k=2.所以x2x7的展開式中x3的系數(shù)是(2)2×C72=19.解(1)第一步,在3,4,5,6這四個數(shù)中任選3個數(shù)排列,有A43=24種填法,第二步,3個數(shù)中共產(chǎn)生4個空,將1和2插空,有A42=(2)若填入的5個數(shù)字中有1和3,再從2,4,5,6中任取3個數(shù)字,有C43=4種不同的填法,將這5個數(shù)字全排列,有A55=若區(qū)域A,B,C中無奇數(shù),則只能為2,4,6,則有A33×A22=12種不同的填法,∴填入的5個數(shù)字中有1和3,且區(qū)域A,B20.解(1)只需從其他18人中選3人即可,共有C183=(2)只需從其他18人中選5人即可,共有C185=(3)分兩類:第一類,甲、乙中有1人參加,有C2第二類,甲、乙都參加,則有C183由分類加法計數(shù)原理,共有C21×(4)(方法一直接法)至少有1名內(nèi)科醫(yī)生和