2024-2025學(xué)年上海交大附中高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）（2024.11）

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.②③④12．若是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則下列說法正確的是________．①存在實(shí)數(shù)，使得不存在實(shí)數(shù)，滿足數(shù)列是常數(shù)列；②存在實(shí)數(shù)，使得對任意實(shí)數(shù)，滿足數(shù)列都是常數(shù)列；③存在實(shí)數(shù)，使得不存在實(shí)數(shù)，0，滿足數(shù)列是常數(shù)列；④存在實(shí)數(shù)，使得有無窮多個(gè)實(shí)數(shù)，0，滿足數(shù)列是常數(shù)列．【答案】②③④【解析】,則對任意恒成立,故①錯(cuò)②對.

取,任取.則恒成立.故④正確.

(更強(qiáng)的命題,,則均存在無數(shù)個(gè),使得為常數(shù),取即可）

只證明③.取,假設(shè)為常數(shù)列，則或

取,則或,則或

情況一：則,這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程,但這是不可能的（是超越數(shù)）其他情況同理.所以這樣的等比數(shù)列不存在.二、選擇題13.B14.C15.B16.C15．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）.（1）若空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；（2）若空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；（3）若空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面；（4）若空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】對于①，空間四點(diǎn)共面,如平面四邊形,其中任何三點(diǎn)不共線，故①錯(cuò)誤；

對于②，空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，根據(jù)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,得到此四點(diǎn)必共面;故②正確;

對于③,空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線,則此四點(diǎn)可能共面，如平面四邊形；故③錯(cuò)誤；

對于④,空間四點(diǎn)不共面,如果任意三點(diǎn)有共線的,那么此四個(gè)點(diǎn)就共面，與已知矛盾.故④正確;故答案為:②④三、解答題17.（1）（2）18.（1）證明略（2）最大項(xiàng)是，最小項(xiàng)是19.（1）；（2）此時(shí)20．（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．（1）求的周長；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在線段上．若求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)直線不垂直于坐標(biāo)軸，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)．直線與軸交于點(diǎn)．求面積的最大值．【答案】（1）8（2）（3）.【解析】（1）橢圓的長軸長為4.由橢圓定義知，的周長為8；

（2）由橢圓方程得,設(shè)，由,得①，點(diǎn)線段上，所以滿足方程為②，

將①式代入②，得，代入橢圓方程，得，

因?yàn)?所以.（3）設(shè)，直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為,

將直線方程代入橢圓方程得：

則,所以，所以面積的最大值為.21．（本題滿分18分.第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)滿足，都是整數(shù)，則稱點(diǎn)為格點(diǎn)．（1）指出橢圓上的所有格點(diǎn)；（2）設(shè)、是拋物線上的兩個(gè)不同的格點(diǎn)，且線段的長度是正整數(shù)，求直線的斜率的所有可能值組成的集合；（3）設(shè)（且）項(xiàng)的數(shù)列滿足：點(diǎn)是函數(shù)的圖像上的格點(diǎn)，則是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列；若存在，請求出正整數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）;

（2）設(shè)且,則為正整數(shù),記為,所以.

由于都是整數(shù),所以與都是完全平方數(shù),故只能有,因此,直線的斜率的所有可能值組成的集合是.

（3）存在正實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列,記公差為

則且,

所以是方程的實(shí)數(shù)解.

①時(shí),則有正整數(shù)解.

所以必有是整數(shù),所以正整數(shù)只可能使得,逐一驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)都不符合題意,所以時(shí)不存在正整數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.②時(shí),則有至少兩個(gè)不相等的整數(shù)解,而方程至多有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,所以只能,且恰有兩個(gè)不相等的整數(shù)解,則直線與雙曲線的上半部分必有兩個(gè)公共點(diǎn),

（i）時(shí),有,而是正整數(shù),是整數(shù),所以只可能,,代回驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)不符題意,

（ii）時(shí),不存在,

（iii）時(shí),有,且是方程的兩根,所以,而,所以有:,得,

由于是整數(shù),所以是整數(shù),故,此不等式無實(shí)數(shù)解,所以也不存在正整數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.

綜上,不存在正整數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.

解二:由題意得,且與與都是整數(shù),

所以是有理數(shù),而也是整數(shù),所以是完全平方數(shù),記為,故,得,而與的奇偶性相同,所以只可能有,因此必有,則,不存在,即不存在正整數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列.【附加題】（共10分）世界上除了圓形的輪子之外，還有一些好事之徒制作了不少形狀的多邊形輪子．（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一個(gè)邊長為的點(diǎn)方形，其初始位置為，，，．①將整個(gè)正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)首次旋轉(zhuǎn)到軸正半軸上停止；②再將整個(gè)正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)首次選擇到軸正半軸上停止；③再將整個(gè)正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)首次選擇到軸正半軸上停止；④再將整個(gè)正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)首次選擇到軸正半軸上停止．我們將上述四個(gè)步驟依次操作一遍，稱為將正方形“滾動(dòng)”一周。為任點(diǎn)向軸正方向移動(dòng)100個(gè)單位長度，需要將正方形“滾動(dòng)”_______周，在這個(gè)過程中，點(diǎn)經(jīng)過的路徑總長度為________個(gè)單位長度；（2）如果制造一個(gè)正邊形的“輪子”。該正邊形的中心到任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離為1．共將該正邊形的"輪子"振動(dòng)一周，求點(diǎn)經(jīng)過的路徑總長度；