人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章2.1.1傾斜角與斜率課件

2.1.1傾斜角與斜率第二章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)2．理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程．(數(shù)學(xué)抽象)3．掌握過兩點的直線斜率的計算公式．(數(shù)學(xué)運算)(教師用書)由初中的平面幾何知識，我們知道兩點確定一條直線；由必修教材中的平面向量知識，我們知道一個點與一個方向也可以確定一條直線．那么，怎樣用代數(shù)方法刻畫直線呢？[討論交流]

問題1．直線的傾斜角是如何定義的？它的取值范圍如何？問題2．直線的斜率是如何定義的？直線的斜率一定存在嗎？問題3．若直線沒有斜率，那么這條直線的傾斜角為多少？所有的直線都有傾斜角嗎？[自我感知]

經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1直線的傾斜角探究問題1在平面中，怎樣才能確定一條直線？[提示]

兩點確定一條直線，一點和一個方向也可以確定一條直線．探究問題2在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點、與x軸正方向的夾角為60°的直線有幾條？[提示]

有且僅有一條．[新知生成]1．當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸____與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為___．2．直線的傾斜角α的取值范圍為_____________．正向0°0°≤α＜180°【教用·微提醒】

(1)從運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x軸繞一定點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所得到的最小正角(未作旋轉(zhuǎn)時傾斜角為0°)．(2)傾斜角從“形”的方面體現(xiàn)了直線對x軸的傾斜程度，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等．(3)一條直線的傾斜角存在且唯一．[典例講評]

1．(1)若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(

)A．30°

B．60°C．30°或150°

D．60°或120°(2)(多選)設(shè)直線l過坐標(biāo)原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為(

)A．α＋45°

B．α－135°C．135°－α

D．α－45°√√√(1)D

(2)AB

[(1)如圖，直線l有兩種情況，故直線l的傾斜角為60°或120°．(2)根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示．通過圖象可知：當(dāng)0°≤α<135°時，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°．]反思領(lǐng)悟

求直線的傾斜角的方法及兩點注意1．方法：結(jié)合圖形，利用定義求角．2．兩點注意：(1)當(dāng)直線與x軸平行或重合時，直線的傾斜角為0°；當(dāng)直線與x軸垂直時，直線的傾斜角為90°．(2)注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．有時要根據(jù)題意把傾斜角α分為以下四種情況討論：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°．[學(xué)以致用]

1．(多選)下列命題中，正確的是(

)A．任意一條直線都有唯一的傾斜角B．一條直線的傾斜角可以為－30°C．傾斜角為0°的直線有無數(shù)條D．若直線的傾斜角為α，則sinα∈(0，1)AC

[任意一條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角不可能為負，傾斜角為0°的直線有無數(shù)條，它們都垂直于y軸，因此A正確，B錯誤，C正確．D中，當(dāng)α＝0°時，sinα＝0；當(dāng)α＝90°時，sinα＝1，故D錯誤．]√√2．已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角α2＝_____．135°

[設(shè)直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．]135°

正切值tanα

(1，k)

【教用·微提醒】

(1)當(dāng)x1＝x2時，直線的斜率不存在，傾斜角為90°．(2)斜率公式中k的值與P1，P2兩點在該直線上的位置無關(guān)．(3)斜率公式中兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的順序可以同時調(diào)換．(4)若直線與x軸平行或重合，則k＝0．【鏈接·教材例題】例1如圖2.1-6，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．

[典例講評]

2．(1)求經(jīng)過兩點A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直線l的斜率；(2)過原點且斜率為1的直線l繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，求所得直線的斜率；(3)若三點A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一條直線上，求k的值；(4)已知點A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，試判斷這三點是否共線．

3．判斷三點共線的方法對于給定坐標(biāo)的三點，要判斷三點是否共線，先判斷任意兩點連線的斜率是否存在．(1)若斜率都不存在，則三點共線．(2)若斜率存在，則任意兩點連線的斜率相等時，三點才共線．[學(xué)以致用]

3．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，則A，B，C共線嗎？A，B，D呢？

4．求經(jīng)過兩點A(a，2)，B(3，6)的直線的斜率．

探究3傾斜角和斜率的綜合應(yīng)用探究問題4當(dāng)直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°，其斜率如何變化？[提示]

當(dāng)傾斜角為銳角時，斜率為正，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大；當(dāng)傾斜角為鈍角時，斜率為負，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大．[新知生成]1．設(shè)直線的傾斜角為α，斜率為k．α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范圍k＝0k＞0不存在k＜0k的增減性

隨α的增大而____

隨α的增大而____增大增大2．下面特殊角的正切值要熟記：傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k01－1【教用·微提醒】

(1)根據(jù)正切函數(shù)在[0，π)上的圖象可知，傾斜角與斜率之間是一一對應(yīng)的，即可以用k的值判定傾斜角的情況．(2)正確分析斜率隨傾斜角的變化規(guī)律，注意90°傾斜角沒有斜率．

√

[母題探究]若將本例(1)中“B(－2，－2)”改為“B(2，2)”，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．[解]

∵P(1，1)，A(3，－3)，B(2，2)，∴kAP＝－2，kBP＝1，由圖可知，直線l的斜率的取值范圍為[－2，1]．反思領(lǐng)悟

傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者要相互聯(lián)系．(2)涉及直線與線段有交點問題常通過數(shù)形結(jié)合利用公式求解．[學(xué)以致用]

5．若直線l的傾斜角為α，且45°≤α≤135°，則直線l斜率的取值范圍為(

)A．[1，＋∞)

B．(－∞，－1]C．[－1，1]

D．[1，＋∞)∪(－∞，－1]

√

應(yīng)用遷移23題號411．(多選)設(shè)直線l與x軸交于點A，其傾斜角為α，直線l繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后得直線l1，則直線l1的傾斜角可能為(

)A．α＋60°

B．α＋120°C．α－60°

D．120°－α√BC

[直線l繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后得直線l1，當(dāng)α≥60°時，直線l1的傾斜角為α－60°，當(dāng)0°≤α<60°時，直線l1的傾斜角為α－60°＋180°＝120°＋α．]√23題號412．(多選)下列說法正確的有(

)A．每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應(yīng)B．傾斜角為135°的直線的斜率為1C．一條直線的傾斜角為α，則其斜率為k＝tanαD．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)√√23題號41

23題號41

√

23題號414．已知直線l過點M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，當(dāng)m＝________時，直線l的斜率是1．

1．知識鏈：(1)直線的傾斜角．(2)直線的斜率．(3)直線的方向向量與斜率的關(guān)系．(4)直線的傾斜角與斜率的綜合應(yīng)用．2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合、分類討論．3．警示牌：(1)對直線的斜率與傾斜角理解不透徹，忽略直線的斜率不存在致錯．(2)對直線的方向向量與斜率的關(guān)系搞不清楚．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．直線的傾斜角是如何定義的？其取值范圍是什么？[提示]

當(dāng)直線l與x軸相交時，以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°，因此，直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°．2．直線的斜率是如何定義的？直線經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？

3．直線的斜率k和直線的方向向量有怎樣的關(guān)系？

課時分層作業(yè)(十二)傾斜角與斜率題號1352468791011121314一、選擇題1．(多選)在下列四個命題中，正確的是(

)A．若直線的傾斜角α為銳角，則其斜率一定大于0B．任意直線都有傾斜角α，且當(dāng)α≠90°時，斜率為tanαC．若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為αD．直線的傾斜角越大，則其斜率越大√√AB

[當(dāng)0°＜α＜90°時，其斜率k＝tanα＞0，所以A正確；根據(jù)直線傾斜角的定義可得每一條直線都有確定的傾斜角，由斜率定義可得，當(dāng)直線的傾斜角α≠90°時，直線的斜率為tanα，所以B正確；若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為β＝α＋k×180°，k∈Z，且0°≤β＜180°，故C不正確；直線的傾斜角為銳角時斜率大于0，傾斜角為鈍角時斜率小于0，故D不正確．故選AB．]題號1352468791011121314題號1352468791011121314

√

題號3524687910111213141

√

題號3524687910111213141

√

題號3524687910111213141

√題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

題號3524687910111213141

題號35246879101112131418．已知直線l上一點向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后，仍在該直線上，則直線l的斜率k為________．

題號3524687910111213141三、解答題9．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點M(m＋3，3m＋5)，N(2m－1，1)．(1)當(dāng)直線MN的傾斜角θ為銳角時，求m的取值范圍；(2)若直線MN的方向向量為a＝(1，－2025)，求m的值．

題號