人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章3.2.1第1課時(shí)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件

第1課時(shí)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．理解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)2．掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書)雙曲線是一種很優(yōu)美的曲線，就好像人的身形一樣婉轉(zhuǎn)婀娜．在實(shí)際生活中，雙曲線也有著廣泛的應(yīng)用，例如很多工程建筑就是仿照雙曲線的外形特點(diǎn)而設(shè)計(jì)的，在兼具美學(xué)的情況下又保證了建筑物的堅(jiān)實(shí)程度．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的相關(guān)知識(shí)，那么雙曲線又有著怎樣的定義、方程與幾何性質(zhì)呢？讓我們慢慢揭開它的神秘面紗吧！[討論交流]

問題1．雙曲線的定義中有怎樣的限制條件？問題2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1雙曲線的定義探究問題1做下面一個(gè)試驗(yàn)．(1)取一條拉鏈，拉開一部分．(2)在拉開的兩邊各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上．(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線．試觀察這是一條什么樣的曲線？點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中滿足什么幾何條件？[提示]

雙曲線、曲線上的點(diǎn)滿足條件：||MF1|－|MF2||＝常數(shù)＜|F1F2|．[新知生成]文字語言平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的__________等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡符號(hào)語言||MF1|－|MF2||＝2a(常數(shù))(2a＜|F1F2|)焦點(diǎn)定點(diǎn)______焦距________的距離差的絕對(duì)值F1，F(xiàn)2兩焦點(diǎn)間【教用·微提醒】

(1)常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離．(2)如果沒有絕對(duì)值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn))．(4)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．(5)當(dāng)2a＝0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段F1F2的垂直平分線．[典例講評(píng)]

1．已知點(diǎn)F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a為3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別是(

)A．雙曲線和一條直線B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條直線D．雙曲線的一支和一條射線√D

[依題意得|F1F2|＝10，當(dāng)a＝3時(shí)，因?yàn)閨PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)a＝5時(shí)，2a＝10＝|F1F2|，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線．]反思領(lǐng)悟

在雙曲線的定義中，注意三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)在平面內(nèi)．(2)差的絕對(duì)值．(3)存在定值且定值小于兩定點(diǎn)間距離．在這三個(gè)條件中，缺少任何一個(gè)條件，動(dòng)點(diǎn)軌跡就不是雙曲線．[學(xué)以致用]

1．已知F1(－8，3)，F(xiàn)2(2，3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則點(diǎn)P的軌跡是(

)A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．直線

D．一條射線√D

[F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，且|F1F2|＝10，所以滿足條件|PF1|－|PF2|＝10的點(diǎn)P的軌跡為一條射線．]探究2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程探究問題2回顧求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，有哪些經(jīng)驗(yàn)值得借鑒？通過類比如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

探究問題3設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以經(jīng)過F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，此時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

[新知生成]雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程________________________________________焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)_____________________a，b，c的關(guān)系c2＝______

F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a2＋b2【教用·微提醒】

(1)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型．“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上，即x2，y2的系數(shù)異號(hào)．(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區(qū)別．其中c＞a，c＞b，而a，b無大小要求．【鏈接·教材例題】例1已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，雙曲線上一點(diǎn)P與F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

試總結(jié)用待定系數(shù)法求雙曲線方程的步驟．[提示]

(1)定型：確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸．(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，若不知道焦點(diǎn)的位置，則進(jìn)行討論，或設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)．(3)計(jì)算：利用題中條件列出方程組，求出相關(guān)值．(4)結(jié)論：寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【教用·備選題】已知圓C：(x＋3)2＋y2＝4及點(diǎn)A(3，0)，Q為圓周上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線交直線CQ于點(diǎn)M，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為_______________．

[學(xué)以致用]

2．(源自湘教版教材)已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0，－2)，F(xiàn)2(0，2)，并且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3，－2)，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________．

C

[由題意知(k－2)(5－k)＜0，即(k－2)(k－5)＞0，解得k＞5或k＜2．則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＞5或k＜2．故選C．]√[母題探究]若該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

√

應(yīng)用遷移23題號(hào)411．已知F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝4，則點(diǎn)P的軌跡是(

)A．雙曲線

B．雙曲線的一支C．不存在

D．一條射線√B

[F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝4．因?yàn)閨F1F2|＝6＞4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡滿足雙曲線的定義．|PF1|－|PF2|＝4＞0，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支．故選B．]23題號(hào)41

√

23題號(hào)41

√

23題號(hào)41

22

[由題意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝6，所以|PF2|＝22．]22

1．知識(shí)鏈：(1)雙曲線的定義．(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)．(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的識(shí)別．2．方法鏈：待定系數(shù)法、分類討論法．3．警示牌：(1)易忽略雙曲線的定義中的2a＜|F1F2|或把雙曲線的一支誤認(rèn)為雙曲線的兩支．(2)易忽略對(duì)雙曲線焦點(diǎn)位置的判斷．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．雙曲線是如何定義的？請(qǐng)寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

課時(shí)分層作業(yè)(二十八)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程題號(hào)135246879101112131415一、選擇題1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)M(1，0)，N(－1，0)的距離之差的絕對(duì)值為2，則點(diǎn)P的軌跡是(

)A．雙曲線

B．雙曲線的一支C．兩條射線

D．一條射線√C

[由題知||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，則點(diǎn)P的軌跡是兩條射線，故選C．]題號(hào)135246879101112131415

√

題號(hào)352468791011121314151

√

題號(hào)352468791011121314151

√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151二、填空題6．過點(diǎn)(3，2)且與橢圓3x2＋8y2＝24有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為____________．

題號(hào)352468791011121314151

±3

11題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151三、解答題9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實(shí)數(shù)，對(duì)于不同范圍的k值，分別指出方程所表示的曲線類型．

題號(hào)352468791011121314151

√√√

題號(hào)352468791011121314151題號(hào)35246879101112131415111．與圓x2＋y2＝4及圓x2＋y2－8x－6y＋24＝0都外切的圓的圓心在(

)A．一個(gè)橢圓上

B．雙曲線的一支上C．一條直線上

D．一個(gè)圓上√題號(hào)352468791011121314151B

[圓x2＋y2＝4的圓心F1(0，0)，半徑為2，圓x2＋y2－8x－6y＋24＝0可化為(x－4)2＋(y－3)2＝1，圓心F2(4，3)，半徑為1，設(shè)所求圓的圓心為P，半徑為r，由題意可知|PF1|＝r＋2，|PF2|＝r＋1，則|PF1|－|PF2|＝1＜|F1F2|，故由雙曲線的定義可知，所求圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支．故選B．]題號(hào)352468791011121314151

√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)3524687910111213