人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第一章1.2空間向量基本定理課件

1.2空間向量基本定理第一章空間向量與立體幾何整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．了解空間向量基本定理及其意義．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握空間向量的正交分解．(直觀想象)3．掌握在簡單問題中運(yùn)用空間三個(gè)不共面的向量作為基底表示其他向量的方法．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書)在平面內(nèi)，任意給定兩個(gè)不共線的向量a，b，根據(jù)平面向量基本定理，對于該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得p＝xa＋yb.特別地，當(dāng)a，b為直角坐標(biāo)平面內(nèi)的向量時(shí)，向量p就與坐標(biāo)(x，y)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從而將向量運(yùn)算用坐標(biāo)表示，簡化了向量運(yùn)算，為研究問題帶來了極大的方便．那么，對于空間向量，有沒有類似平面向量基本定理的結(jié)論呢？如圖所示，設(shè)a，b，c是空間三個(gè)不共面的向量，p是空間任意一個(gè)向量，是否可以用向量a，b，c來表示向量p？[討論交流]

問題1．類比平面向量基本定理，怎么推廣得到空間向量基本定理？問題2．空間基底的構(gòu)成條件是什么？單位正交基底的構(gòu)成條件是什么？問題3．類比平面向量的分解，如何分解空間向量？問題4．用向量解決幾何問題的一般步驟是什么？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)

探究問題2你能證明x，y，z的唯一性嗎？

[新知生成]1．空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝____________．2．基底：把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．xa＋yb＋zc3．空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量________，且長度都為_，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)________的向量，叫做把空間向量進(jìn)行________．兩兩垂直1兩兩垂直正交分解【教用·微提醒】

(1)基底中不能有零向量．因?yàn)榱阆蛄颗c任意一個(gè)非零向量都為共線向量，與任意兩個(gè)非零向量都共面．(2)空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(3)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達(dá)式也有可能不同．

反思領(lǐng)悟

基底的判斷思路和注意問題1．基本思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為空間的一個(gè)基底．(2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對應(yīng)的方向向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷．2．注意問題對于三個(gè)向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為基底；若其中存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．[學(xué)以致用]

1．若{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則t＝(

)A．－1

B．1

C．0

D．－2

√探究2用基底表示空間向量

反思領(lǐng)悟

用基底表示向量時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．(2)若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時(shí)要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是保證基向量的模及其夾角已知或易求．

探究3空間向量基本定理的初步應(yīng)用考向1

證明空間位置關(guān)系【鏈接·教材例題】例2如圖1.2-3，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．求證：MN⊥AC1.

[典例講評]

3．如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點(diǎn)，請選擇恰當(dāng)?shù)幕鬃C明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C．

又FG?平面AB′C，AB′?平面AB′C，所以FG∥平面AB′C．又由(1)知EG∥AC，EG?平面AB′C，AC?平面AB′C，可得EG∥平面AB′C．又FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG.所以平面EFG∥平面AB′C．反思領(lǐng)悟

(1)要證兩直線垂直，只需證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0即可．(2)要證兩直線平行，只需證明兩直線的方向向量a＝λb即可．

考向2

求空間角【鏈接·教材例題】例3如圖1.2-4，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C′D′，A′D′，D′D的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值．

√

反思領(lǐng)悟

基向量法求空間角的基本思路將空間角轉(zhuǎn)化為兩條直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)，再用基向量表示兩方向向量，并借助向量的運(yùn)算求出角．

反思領(lǐng)悟

求空間距離(長度)問題的步驟(1)選取空間基向量，將待求線段對應(yīng)的向量用基向量線性表示．(2)求該向量的模，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求得線段的長度．

(1)證明：EF⊥B1C；(2)求EF與C1G所成角的余弦值．

應(yīng)用遷移23題號411．若p：a，b，c是三個(gè)非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則p是q的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√B

[空間不共面的三個(gè)向量可以作為空間的一個(gè)基底，若a，b，c是三個(gè)共面的非零向量，則{a，b，c}不能作為空間的一個(gè)基底；但若{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則a，b，c不共面，且a，b，c是三個(gè)非零向量，所以p是q的必要不充分條件．故選B．]23題號4123題號41

√23題號41

23題號41

√23題號41

23題號41

23題號41

1．知識(shí)鏈：(1)空間向量基本定理．(2)空間向量基本定理的應(yīng)用．2．方法鏈：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、類比．3．警示牌：(1)基向量理解錯(cuò)誤，忽視基向量的條件．(2)利用基向量表示向量時(shí)，沒有轉(zhuǎn)化目標(biāo)．(3)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c滿足什么條件？[提示]

a，b，c不共面．2．?dāng)⑹隹臻g向量基本定理的內(nèi)容．[提示]

如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.3．如何證明兩種位置關(guān)系(垂直與平行)?[提示]

(1)要證兩直線垂直，由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b＝0可知，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．(2)要證兩直線平行，可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量滿足a＝λb即可．課時(shí)分層作業(yè)(四)空間向量基本定理題號135246879101112131415

√

題號135246879101112131415題號135246879101112131415

√題號135246879101112131415B

[如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接A1F，則A1D1∥EF，且A1D1＝EF，∴四邊形A1D1EF為平行四邊形，則A1F∥D1E且A1F＝D1E，

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號3524687910111213141515．(多選)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，平行六面體的各棱長均相等，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1√√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號3524687910111213141518．正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點(diǎn)，則異面直線DM與CN所成角的余弦值為________．

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√√√

題號352468791011121314151

題號352468791011121314151題號35246879101112131415111．(多選)在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點(diǎn)，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，則下列說法正確的是(

)A．EG⊥PG

B．EG⊥BCC．FG∥BC

D．FG⊥EF√√√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

題號35246879101112131415112．化學(xué)中，將構(gòu)成粒子(原子、離子或分子)在空間按一定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為晶體．在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個(gè)個(gè)包含等同內(nèi)容的基本單位，這個(gè)基本單位叫做晶胞．已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn))．則圖中原子連線BF與B1E