人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第五章5-3-1第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性課件

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.1函數(shù)的單調(diào)性整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)，能求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(教師用書)如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖：

(1)觀察這個(gè)氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況．(2)怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時(shí)間的推移，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？問題：觀察圖形，你能得到什么信息？[討論交流]

問題1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？問題2．函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性探究問題1已知函數(shù)：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它們的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與它們的單調(diào)性之間有怎樣的關(guān)系？[提示]

(1)y′＝2＞0，y＝2x－1是增函數(shù)．(2)y′＝－3＜0，y＝－3x是減函數(shù)．(3)y′＝2xln2＞0，y＝2x是增函數(shù)．探究問題2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足f′(x)＞0，能認(rèn)為f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增嗎？[提示]

不能，無數(shù)不代表任意，所以有可能在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為負(fù)．[新知生成]函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f′(x)＞0單調(diào)遞____f′(x)＜0單調(diào)遞____【教用·微提醒】

(1)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數(shù)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分條件．(2)f′(x)＝0在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí)，該區(qū)間內(nèi)f(x)為常函數(shù)．增減

[解]

(1)因?yàn)閒(x)＝x3＋3x，所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0.所以，函數(shù)f(x)＝x3＋3x在R上單調(diào)遞增，如圖5.3-4(1)所示．

圖5.3-4

圖5.3-4

反思領(lǐng)悟

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)確定函數(shù)的定義域．(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)．(3)確定f′(x)在定義域內(nèi)的符號(hào)，在此過程中，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行通分、因式分解等變形．(4)得出結(jié)論．[學(xué)以致用]

1．下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(

)A．y＝xex

B．y＝x3－3x2C．y＝lnx－x D．y＝x－ex

√

探究2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

表5.3-1x(－∞，－1)－1(－1，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1，2)內(nèi)單調(diào)遞減，如圖5.3-6所示．

[典例講評(píng)]

2．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.[思路導(dǎo)引]根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間．

(2)f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)．令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2，x＝－3和x＝2把函數(shù)的定義域劃分為三個(gè)區(qū)間，f′(x)在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)以及f(x)的單調(diào)性如表，x(－∞，－3)－3(－3，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增f(－3)單調(diào)遞減f(2)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－3)，(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－3，2)．【教用·備選題】求函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋x－1的單調(diào)區(qū)間．

反思領(lǐng)悟

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域．(2)求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)．(3)用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間．

[解]

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定義域，如表所示：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)單調(diào)遞減f(0)單調(diào)遞增f(2)單調(diào)遞減

x(－∞，－1)－1(－1，0)(0，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)單調(diào)遞增f(－1)單調(diào)遞減單調(diào)遞減f(1)單調(diào)遞增∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0)和(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)．探究3導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)聯(lián)圖象【鏈接·教材例題】例2已知導(dǎo)函數(shù)f′(x)的下列信息：當(dāng)1＜x＜4時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x＜1，或x＞4時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＝1，或x＝4時(shí)，f′(x)＝0.試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀．[解]

當(dāng)1＜x＜4時(shí)，f′(x)＞0，可知f(x)在區(qū)間(1，4)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x＜1，或x＞4時(shí)，f′(x)＜0，可知f(x)在區(qū)間(－∞，1)和(4，＋∞)上都單調(diào)遞減；當(dāng)x＝1，或x＝4時(shí)，f′(x)＝0，這兩點(diǎn)比較特殊，我們稱它們?yōu)椤胺€(wěn)定點(diǎn)”．綜上，函數(shù)f(x)圖象的大致形狀如圖5.3-5所示．

所以，f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)．在區(qū)間(0，1)內(nèi)，g(x)的圖象比f(x)的圖象要“陡峭”；在區(qū)間(1，＋∞)上，g(x)的圖象比f(x)的圖象要“平緩”．所以，f(x)，g(x)的圖象依次是圖5.3-8中的C2，C1.[典例講評(píng)]

3．(1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能是(

)A

B

C

D√(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可能為(

)A

BC

D√(1)A

(2)C

[(1)當(dāng)x＜－2時(shí)，f′(x)＜0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減．則符合上述條件的只有選項(xiàng)A.故選A.(2)由f(x)的圖象知，當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，4)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，f′(x)＜0.由選項(xiàng)各圖知，選項(xiàng)C符合題意．故選C.]反思領(lǐng)悟

(1)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)看原函數(shù)的增減．①觀察原函數(shù)的圖象，重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點(diǎn)，分析函數(shù)值的變化趨勢(shì)；②觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，重在找出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．(2)導(dǎo)函數(shù)的絕對(duì)值大小決定原函數(shù)增減快慢．某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較快，這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”．(3)解決問題時(shí)，要分清是原函數(shù)圖象還是導(dǎo)函數(shù)圖象．[學(xué)以致用]

3．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為(

)√A

BC

DD

[由題中函數(shù)f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上先增后減，所以其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)先正后負(fù)，在y軸左側(cè)導(dǎo)函數(shù)的圖象由左上到右下穿過x軸；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，所以x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，只有D選項(xiàng)符合條件．故選D.]243題號(hào)1應(yīng)用遷移√1．f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是(

)A

BC

D243題號(hào)1A

[由f′(x)圖象可知f′(0)＝0，f′(2)＝0，f(x)在區(qū)間[0，2]上的增長速度先快后慢，A選項(xiàng)符合．故選A.]23題號(hào)142．命題甲：對(duì)任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0；命題乙：f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的，則甲是乙的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√A

[例如，f(x)＝x3在(－1，1)內(nèi)是單調(diào)遞增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要條件．故選A.]23題號(hào)41√3．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增的是(

)A．y＝sinx B．y＝xe2C．y＝x3－x D．y＝lnx－xB

[對(duì)于B，y＝xe2，則y′＝e2，∴y＝xe2在R上為增函數(shù)，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．其他選項(xiàng)可同理逐一求導(dǎo)排除．故選B.]243題號(hào)14．函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為______________．

(－∞，－1)1．知識(shí)鏈：(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(4)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系．2．方法鏈：方程思想、分類討論．3．警示牌：忽略定義域的限制而出錯(cuò)．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的思路是怎樣的？[提示]

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性一般通過解不等式的方法完成，其步驟為：①