高考數(shù)學二輪復習函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件

2025高考數(shù)學二輪復習函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、函數(shù)的概念與性質(zhì)1.求函數(shù)定義域的方法是依據(jù)使含自變量x的代數(shù)式有意義列出相應的不等式(組)求解.(1)若f(x)的定義域為[m,n],則f[g(x)]的定義域是由m≤g(x)≤n,解得x的取值范圍;(2)若f[g(x)]的定義域為[m,n],則由m≤x≤n,得到g(x)的值域即為f(x)的定義域;(3)對于分段函數(shù)的定義域為每段x的取值范圍的并集,值域為每段y的取值范圍的并集.2.求函數(shù)的值域要優(yōu)先考慮定義域,常用方法:配方法、分離常數(shù)法、換元法、單調(diào)性法、基本不等式法、數(shù)形結合法.3.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(1)定義法.(2)圖象法.(3)性質(zhì)法,即f(x)與g(x)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上):簡記為↗+↗=↗;↘+↘=↘;↗-↘=↗;↘-↗=↘.(4)導數(shù)法復合函數(shù)的單調(diào)性對于復合函數(shù)y=f[g(x)],若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù),且y=f(t)在區(qū)間(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是單調(diào)函數(shù),若t=g(x)與y=f(t)的單調(diào)性相同,則y=f[g(x)]為增函數(shù),若t=g(x)與y=f(t)的單調(diào)性相反,則y=f[g(x)]為減函數(shù).簡稱“同增異減”4.函數(shù)的奇偶性

奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)性質(zhì)圖象關于y軸對稱圖象關于原點對稱如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且0在定義域內(nèi),那么f(0)=0偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù);偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);奇函數(shù)×(÷)奇函數(shù)=偶函數(shù);偶函數(shù)×(÷)偶函數(shù)=偶函數(shù);奇函數(shù)×(÷)偶函數(shù)=奇函數(shù);(兩個函數(shù)定義域的交集非空,除法時作分母的函數(shù)不等于0)5.函數(shù)的周期性與對稱性

二、基本初等函數(shù)、函數(shù)的應用1.基本初等函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)y=ax對數(shù)函數(shù)y=logax冪函數(shù)y=xα性質(zhì)a>1增函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù)α>0冪函數(shù)的圖象過原點,并且在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增名稱指數(shù)函數(shù)y=ax對數(shù)函數(shù)y=logax冪函數(shù)y=xα性質(zhì)0<a<1減函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)為減函數(shù)α<0冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減過定點過定點(0,1)過定點(1,0)過定點(1,1)對稱性指數(shù)函數(shù)y=ax與

的圖象關于y軸對稱函數(shù)y=logax與y=的圖象關于x軸對稱函數(shù)f(x)=kxα為冪函數(shù),則k=1指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),圖象關于直線y=x對稱2.函數(shù)的應用

函數(shù)的零點與方程解的關系方程F(x)=f(x)-g(x)的零點?f(x)=g(x)的根?函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象交點的橫坐標確定函數(shù)零點的方法(1)直接解方程法;(2)利用零點存在性定理;(3)數(shù)形結合,利用兩個函數(shù)圖象的交點求解三、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

導數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f'(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點P(x0,y0)處的切線的斜率,切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);(2)曲線在某點的切線與曲線過某點的切線不同;(3)切點既在曲線上,又在切線上利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性導數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求f'(x)(通分、合并、因式分解);(3)解不等式f'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;(4)解不等式f'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間利用導數(shù)研究函數(shù)的極值(1)導函數(shù)f'(x)的變號零點,即為函數(shù)f(x)的極值點;(2)函數(shù)的極大值不一定大于函數(shù)的極小值利用導數(shù)研究函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值;(2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.f(x)在[a,b]上的最值在極值點或端點處取得.常用不等式ex≥x+1,lnx≤x-1,x≥sinx(x≥0)鏈高考1.(2021全國乙,文8)下列函數(shù)中最小值為4的是(

)A.y=x2+2x+4C.y=2x+22-xC鏈高考2.(2024新高考Ⅰ,6)已知函數(shù)

在R上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞)解析

當x≥0時,f(x)=ex+ln(x+1)單調(diào)遞增,當x<0時,f(x)=-x2-2ax-a,所以要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,需滿足

解得-1≤a≤0.故所求a的取值范圍為[-1,0].B鏈高考3.(2024天津,4)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(

)B微點撥

若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=a和x=b對稱,則函數(shù)f(x)的周期為2|a-b|;若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)和直線x=b對稱,則函數(shù)f(x)的周期為4|a-b|;若函數(shù)f(x)的圖象有兩個對稱中心(a,0),(b,0),則函數(shù)f(x)的周期為2|a-b|.A.b>c>a B.b>a>c

C.c>b>a D.c>a>bA鏈高考5.(2024北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函數(shù)y=2x圖象上不同的兩點,則下列正確的是(

)A鏈高考6.(2024新高考Ⅱ,6)設函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax(a為常數(shù)),當x∈(-1,1)時,曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個交點,則a=(

)D(方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos

x.又x∈(-1,1),h(x)為偶函數(shù),唯一零點只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故選D.鏈高考7.(2024全國甲,理6)設函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為(

)A鏈高考8.(多選題)(2024新高考Ⅱ,11)設函數(shù)f(x)=2x3-3ax2+1,則(

)A.當a>1時,f(x)有三個零點B.當a<0時,x=0是f(x)的極大值點C.存在a,b使得直線x=b為曲線y=f(x)的對稱軸D.存在a使得點(1,f(1))為曲線y=f(x)的對稱中心AD解析

由題得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).當a>1時,x∈(-∞,0),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,x∈(0,a),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,x∈(a,+∞),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.又極大值f(0)=1>0,極小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三個零點,A正確;當a<0時,x=0是f(x)的極小值點,B錯誤;任何三次函數(shù)不存在對稱軸,C錯誤;f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,當a=2時,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正確.故選AD.考點一函數(shù)的概念及表示A.(2,3) B.(2,3]C.(2,3)∪(3,6] D.(2,3)∪(3,4]AA.8 B.12 C.16 D.24D解析

由1<log23<2,得3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)==24.故選D.(3)(2023上海)已知函數(shù)

則函數(shù)f(x)的值域為

.

[1,+∞)解析

當x≤0時,f(x)=1,當x>0時,f(x)=2x>1,所以函數(shù)f(x)的值域為[1,+∞).[對點訓練1](1)若函數(shù)y=f(2x)的定義域為[-2,4],則y=f(x)-f(-x)的定義域為(

)A.[-2,2] B.[-2,4] C.[-4,4] D.[-8,8]C解析

因為函數(shù)y=f(2x)的定義域為[-2,4],則-2≤x≤4,可得-4≤2x≤8,所以函數(shù)y=f(x)的定義域為[-4,8],對于函數(shù)y=f(x)-f(-x),則有

解得-4≤x≤4,因此,函數(shù)y=f(x)-f(-x)的定義域為[-4,4].故選C.(2)(2024山東名校聯(lián)考模擬)高斯是德國著名的數(shù)學家,近代數(shù)學奠基者之一,享有“數(shù)學王子”的稱號,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù),則y=[x]稱為高斯函數(shù),例如[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)y=[f(x)]的值域為(

)A.(0,+∞) B.[0,+∞)C.N

D.N*C解析

因為f(x)=,所以x≥0,故

≥0,即f(x)≥0,而由題意可知,當x≥0時,函數(shù)y=[f(x)]的值域為N,故選C.(3)存在函數(shù)f(x)滿足:對任意x∈R都有(

)A.f(|x|)=x3

B.f(sinx)=x2C.f(x2+2x)=|x|

D.f(|x|)=x2+1D解析

對于A,當x=1時,f(|1|)=f(1)=1;當x=-1時,f(|-1|)=f(1)=-1,不符合函數(shù)定義,A錯誤;對于B,令x=0,則f(sin

0)=f(0)=0,令x=π,則f(sin

π)=f(0)=π2,不符合函數(shù)定義,B錯誤;對于C,令x=0,則f(0)=0,令x=-2,則f((-2)2+2×(-2))=f(0)=2,不符合函數(shù)定義,C錯誤;對于D,f(|x|)=x2+1=|x|2+1,x∈R,因為|x|≥0,則存在x≥0時,f(x)=x2+1,符合函數(shù)定義,D正確.考點二函數(shù)的圖象例2(1)(2023天津,4)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為(

)D(2)(多選題)(2024江西吉安模擬)已知函數(shù)

若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),則下列結論正確的是(

)A.x1+x2=-4 B.x3x4=1C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤4AB設f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,則0<t<4,則直線y=t與函數(shù)y=f(x)的圖象的4個交點橫坐標分別為x1,x2,x3,x4.對于A,函數(shù)y=-x2-4x的圖象關于直線x=-2對稱,則x1+x2=-4,故A正確;對于B,由圖象可知|log2x3|=|log2x4|,且0<x3<1<x4,所以-log2x3=log2x4,即log2(x3x4)=0,所以x3x4=1,故B正確;當x≤0時,f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4≤4,由圖象可知log2x4∈(0,4),則1<x4<16,故C錯誤;由圖象可知-4<x1<-2,所以x1x2x3x4=x1(-4-x1)=--4x1=-(x1+2)2+4∈(0,4),故D錯誤.故選AB.[對點訓練2](1)(2022全國甲,理5)函數(shù)y=(3x-3-x)cosx在區(qū)間

的圖象大致為(

)A解析

設f(x)=(3x-3-x)cos

x,則f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),排除B,D選項.又f(1)=(3-3-1)cos

1>0,排除C選項.故選A.(2)(多選題)已知函數(shù)

若關于x的方程f(x)-m=0恰有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是

.

[1,3)∪{0}解析

因為關于x的方程f(x)-m=0恰有兩個不同的實數(shù)解,所以函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m的圖象有兩個交點,作出函數(shù)圖象,如圖所示,所以當m∈[1,3)∪{0}時,函數(shù)y=f(x)與y=m的圖象有兩個交點,所以實數(shù)m的取值范圍是[1,3)∪{0}.考點三函數(shù)的性質(zhì)(多考向探究預測)考向1單調(diào)性與奇偶性例3(1)(2020山東,8)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]DA.a<b<c B.c<b<aC.a<c<b D.b<c<aC考向2奇偶性、周期性與對稱性例4(1)(多選題)(2024海南一模)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(2x-1)=f(3-2x),當x∈[0,1]時,f(x)=x,則下列結論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的周期為4B.函數(shù)f(x)在[2024,2025]上單調(diào)遞增D.方程f(x)=log5|x|有4個根ABC解析

因為f(2x-1)=f(3-2x),所以f(x-1)=f(3-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,故A正確;當x∈[0,1]時,f(x)=x,所以函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,因為函數(shù)f(x)的周期為4,所以函數(shù)f(x)在[2

024,2

025]上的單調(diào)性與在[0,1]上的單調(diào)性相同,故B正確;又因為f(0)=0,f(1)=1,當x=0時,則f(2)=-f(0)=0,當x=1時,則f(3)=-f(1)=-1,又f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又當x∈[0,1]時,f(x)=x,結合對稱性與周期性作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,作出y=log5|x|的圖象,由圖知兩函數(shù)共有5個交點,可得方程f(x)=log5|x|有5個根,則D錯誤.故選ABC.(2)(多選題)(2024河南鄭州二模)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意實數(shù)x,y,有f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2,f(1)=1,f(2x+1)為偶函數(shù),則(

)A.f(0)=0 B.f(x)為偶函數(shù)C.f(2+x)=-f(2-x) ACD解析

令x=y=0,得[f(0)]2=[f(0)]2-[f(0)]2=0,即f(0)=0,A正確;令x=0,得f(y)f(-y)=[f(0)]2-[f(y)]2,又f(0)=0,所以f(y)[f(-y)+f(y)]=0對任意y∈R恒成立.因為f(1)=1,所以f(y)不恒為0,所以f(-y)+f(y)=0,即f(-y)=-f(y),B錯誤;將f(x)的圖象向左平移1