2024-2025學(xué)年重慶市梁平區(qū)高三上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市梁平區(qū)高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移單位：與時(shí)間單位：之間的關(guān)系為，則質(zhì)點(diǎn)A在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入計(jì)算可得答案．【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，即質(zhì)點(diǎn)A在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：C2.已知命題p：，，命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【正確答案】B【分析】先判斷出命題，的真假，再結(jié)合命題的否定的概念可得結(jié)論．【詳解】對(duì)于p而言，，故p是假命題，是真命題.對(duì)于q而言，，，故q是真命題，是假命題.綜上，和q都是真命題.故選：B.3.已知直線與，若，則，之間的距離是（）A B. C. D.【正確答案】C【分析】利用兩直線平行可得，即可根據(jù)平行線間距離公式求解.【詳解】由于，故，解得，故與，故兩直線間距離為，故選：C4.若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，然后計(jì)算求解即可．【詳解】若1，a1，a2，4成等差數(shù)列，4＝1+3d，d＝1，∴a1﹣a2＝﹣1．又1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同）．∴故答案為A．本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題，對(duì)于等比等差數(shù)列的小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項(xiàng)和公比或者公差，其二是觀察各項(xiàng)間的腳碼關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).5.現(xiàn)從環(huán)保公益演講團(tuán)的6名教師中選出3名，分別到三所學(xué)校參加公益演講活動(dòng)，則甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合排列組合知識(shí)，以及古典概型概率公式即可求得解【詳解】6名教師選出3人分別到三所學(xué)校的方法共有種.甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的：第一種情況：若丙去校，有種選法；第二種情況，若丙不去校，則校有種選法，校有種選法，校有種選法，共有種，所以一共有種.所以由古典概型可得，所求概率.故選：D.6.已知銳角，角的對(duì)邊分別，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此求得的值，進(jìn)而求得B的大小.再利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)知，，由正弦定理得，即,又，所以，所以，得，所以，又，即，又銳角，所以，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故選：A7.已知是直線上一點(diǎn)，M，N分別是圓和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A.7 B.8 C.9 D.10【正確答案】D【分析】先由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，然后判斷兩圓與直線的位置關(guān)系，求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則當(dāng)，，三點(diǎn)共線且經(jīng)過兩圓圓心時(shí)，取最小值，求解即可．【詳解】圓，則圓心，圓，則圓心，兩圓心在直線的同側(cè).又圓心到直線的距離，圓心到直線l的距離，則兩圓在直線l的同側(cè)且與直線相離，如圖所示，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立；即的最小值為．故選：D.8.北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球……依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層，由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個(gè)數(shù)為若由小球堆成的某個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積共8層，小球總個(gè)數(shù)為240，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】轉(zhuǎn)化題給條件為，再由皆為正整數(shù)分類討論即可求解.【詳解】由題意知，，于是得最底層小球的數(shù)量為，即，.從而有，整理得，，，，，由于皆為正整數(shù)，所以（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（iii）當(dāng)時(shí)，，（iv）當(dāng)時(shí)，只有符合題意，即的值為2.故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查新文化背景下的數(shù)列問題，確定是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的的6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列對(duì)二項(xiàng)式展開式的說法正確的是：（）.A.第3項(xiàng)的系數(shù)為40 B.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為10 C.不含常數(shù)項(xiàng) D.系數(shù)和為32【正確答案】BC【分析】寫成展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)判斷A、B、C；令判斷D.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，，所以第3項(xiàng)的系數(shù)為，故A錯(cuò)誤；第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故B正確；令，解得，又，所以展開式不含常數(shù)項(xiàng)，故C正確；令可得系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.使為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為0 D.的最小值為【正確答案】ACD【分析】化簡(jiǎn)已知等式由函數(shù)的單調(diào)性可得A正確；取反例結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得B錯(cuò)誤；化簡(jiǎn)已知等式可得C正確；結(jié)合等差數(shù)列的求和公式判斷為遞增數(shù)列，再討論的取值可得D正確；【詳解】對(duì)于A，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，若，則，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可知無整數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楹褪堑炔顢?shù)列，且前n項(xiàng)和分別為和，所以，所以遞增，所以最小值為時(shí)，為，故D正確；故選：ACD.11.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽到的樂音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動(dòng)，產(chǎn)生頻率為的基音的同時(shí)，其各部分，如二分之一?三分之一?四分之一部分也在振動(dòng)，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動(dòng)頻率的倍數(shù)，如等.這些音叫諧音，因?yàn)槠湔穹^小，我們一般不易單獨(dú)聽出來，所以我們聽到的聲音函數(shù)是.記，則下列結(jié)論中正確的是（）A.為的一條對(duì)稱軸 B.的最小正周期為C.的最大值為 D.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【正確答案】BCD【分析】根據(jù)可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)可判斷選項(xiàng)B；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的方法及三角恒等變換即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，，所以，則不為的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)A不正確；因?yàn)?，所以，則的周期為，而的最小正周期為2π，故的最小正周期為2π，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗缘闹芷跒?故只考慮函數(shù)在上的最大值即可.令，得：或或或；令，得：或者或；所以函數(shù)在，，和上單調(diào)遞增；在，和上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，，，所以的最大值為，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)椋?，則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比q的值是__________．【正確答案】2【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義與性質(zhì)求解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，聯(lián)立，解得或，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，即．故213.已知，為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為__________．【正確答案】【分析】構(gòu)造代數(shù)式，利用基本不等式即可得到最小值.【詳解】，∵，且，為正實(shí)數(shù)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取“=”，∴，則.故14.定義一種運(yùn)算，若函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】根據(jù)新定義，求得，根據(jù)不等式成立，化簡(jiǎn)得到即，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，即可求解.【詳解】根據(jù)定義的一種運(yùn)算，可得，又由，即，即設(shè)，可得函數(shù)為單調(diào)的遞減函數(shù)，且，所以，可得，即，解得，又由，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案.本題考查了函數(shù)的新定義的計(jì)算與應(yīng)用，其中解答中涉及到指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查分析問題和解答問題的能力.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若在中，，求面積的最大值．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先化簡(jiǎn)的表達(dá)式成為的形式，從而求出單調(diào)增區(qū)間；（2）通過面積公式把變量統(tǒng)一到上，然后通過二次函數(shù)的知識(shí)求出答案即可．【詳解】（1）由可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因?yàn)樗裕ó?dāng)時(shí)取等號(hào)）．16.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【正確答案】（1），（2），【分析】（1）由等差等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系建立等式，求得公比和公差的值，從而寫出通項(xiàng)公式；（2）等差等比數(shù)列乘除得到的新數(shù)列利用錯(cuò)位相減即可得到新數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得，所以由，，又，可得，解得，從而的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，即，17.某人工智能研究實(shí)驗(yàn)室開發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對(duì)話．聊天機(jī)器人的開發(fā)主要采用（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，在測(cè)試它時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則它的回答被采納的概率為80%，當(dāng)出現(xiàn)語法錯(cuò)誤時(shí)，它的回答被采納的概率為40%．（1）在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問題，聊天機(jī)器人的回答有5個(gè)被采納，現(xiàn)從這8個(gè)問題中抽取4個(gè)，以X表示抽取的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為p，若聊天機(jī)器人的回答被采納的概率為70%，求p的值．【正確答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（2）【分析】（1）由題知X的所有取值為1，2，3，4，求出對(duì)應(yīng)的概率，可得其分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）利用全概率公式表示出回答被采納的概率，結(jié)合條件代入可得關(guān)于的方程，解方程即可.【小問1詳解】由題可知X的所有取值為1，2，3，4，，，，，故X的分布列為：X1234P則．【小問2詳解】記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯(cuò)誤”為事件B，記“回答被采納”為事件C，由已知得，，，，PB=p，PA=1?p所以由全概率公式得，解得．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求Fx在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求單調(diào)區(qū)間；（3）若曲線y=fx與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為（3）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)Fx的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）求導(dǎo)后，根據(jù)f′（3）將問題轉(zhuǎn)化為方程有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可作出Fx的圖象，進(jìn)而得到，結(jié)合單調(diào)性可得結(jié)果.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，其中，，則，所以，，，所以，F(xiàn)x在處的切線方程為.【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，且，由f′x<0，可得，解得；由f′x>0，可得，解得所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問3詳解】解：由題意知：且，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，即方程有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，即方程有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，令，則Fx定義域?yàn)?,+∞，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可得Fx令，則，有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根的充要條件為，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題根據(jù)曲線與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠首先將問題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而采用同構(gòu)的邏輯，通過構(gòu)造函數(shù)的方式進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)不同函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題.19.已知半圓，圓，作圓與半圓，圓，軸均相切，點(diǎn)，且．（1）求的周長(zhǎng)；（2）證明：為等比數(shù)列；（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)．【正確答案】（1）2（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)的定義以及相切的性質(zhì)即可求解；（2）由題意得遞推表達(dá)式，進(jìn)一步根據(jù)等比數(shù)列的定義驗(yàn)算即可證明；（3）由分析可知只需證明即可，而可以用基本不等式證