湖南省衡陽縣創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析_第1頁
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湖南省衡陽縣創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則()A.12 B.11 C.6 D.32.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.A.1 B. C. D.23.袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)小球,從袋子中一次性摸出兩個(gè)球,記下號(hào)碼并放回,如果兩個(gè)號(hào)碼的和是3的倍數(shù),則獲獎(jiǎng),若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎(jiǎng)的概率是()A. B. C. D.4.已知點(diǎn)P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點(diǎn)P在第一象限,點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A,點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個(gè)交點(diǎn)為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.若,,,則()A. B.C. D.7.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則等于()A.3 B.C.2 D.8.已知直線y=k(x﹣1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),直線y=2k(x﹣2)與拋物線D:y2=8x交于M,N兩點(diǎn),設(shè)λ=|AB|﹣2|MN|,則()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣129.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),焦點(diǎn)為,則直線的斜率為()A. B. C. D.10.高三珠海一模中,經(jīng)抽樣分析,全市理科數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,且.從中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名,估計(jì)理科數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A.40 B.60 C.80 D.10011.已知向量,,若,則()A. B. C. D.12.某三棱錐的三視圖如圖所示,那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線(,)的離心率為,則該雙曲線的漸近線方程為________.14.如圖,在一個(gè)倒置的高為2的圓錐形容器中,裝有深度為的水,再放入一個(gè)半徑為1的不銹鋼制的實(shí)心半球后,半球的大圓面、水面均與容器口相平,則的值為____________.15.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.16.若一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為等邊三角形,平面平面ABCD,M,N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).(1)求直線CM與平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系,并給出證明.18.(12分)如圖是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(diǎn)(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點(diǎn),為上的動(dòng)點(diǎn)(不與重合)求二面角的正切值的最小值19.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉):若分?jǐn)?shù)不低于95分,則稱該員工的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)如圖,在直角梯形中,,,,為的中點(diǎn),沿將折起,使得點(diǎn)到點(diǎn)位置,且,為的中點(diǎn),是上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn),不重合).(Ⅰ)證明:平面平面垂直;(Ⅱ)是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值?若存在,確定點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.21.(12分)已知(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)記,若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn),求證:.22.(10分)近幾年一種新奇水果深受廣大消費(fèi)者的喜愛,一位農(nóng)戶發(fā)揮聰明才智,把這種露天種植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的經(jīng)濟(jì)效益.根據(jù)資料顯示,產(chǎn)出的新奇水果的箱數(shù)x(單位:十箱)與成本y(單位:千元)的關(guān)系如下:x13412y51.522.58y與x可用回歸方程(其中,為常數(shù))進(jìn)行模擬.(Ⅰ)若該農(nóng)戶產(chǎn)出的該新奇水果的價(jià)格為150元/箱,試預(yù)測(cè)該新奇水果100箱的利潤(rùn)是多少元.|.(Ⅱ)據(jù)統(tǒng)計(jì),10月份的連續(xù)11天中該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.(i)若從箱數(shù)在內(nèi)的天數(shù)中隨機(jī)抽取2天,估計(jì)恰有1天的水果箱數(shù)在內(nèi)的概率;(ⅱ)求這11天該農(nóng)戶每天為甲地配送的該新奇水果的箱數(shù)的平均值.(每組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)參考數(shù)據(jù)與公式:設(shè),則0.541.81.530.45線性回歸直線中,,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),然后轉(zhuǎn)化求解,即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,令,由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)(時(shí)有三個(gè),時(shí)有兩個(gè)),所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根(若有兩個(gè)根,則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根),由,可得的值分別為,則故選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于??碱}型.2、C【解析】

由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.3、C【解析】

先確定摸一次中獎(jiǎng)的概率,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個(gè)球中摸出2個(gè),共有種結(jié)果,兩個(gè)球的號(hào)碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎(jiǎng)的概率是,5個(gè)人摸獎(jiǎng),相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn),且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎(jiǎng),恰好有2人獲獎(jiǎng)的概率是,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率,考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率,解題時(shí)主要是看清摸獎(jiǎng)5次,相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.4、C【解析】

設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、A【解析】

設(shè),由得:,由復(fù)數(shù)相等可得的值,進(jìn)而求出,即可得解.【詳解】設(shè),由得:,即,由復(fù)數(shù)相等可得:,解之得:,則,所以,在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法,考查對(duì)復(fù)數(shù)相等的理解,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn),考查運(yùn)算能力,屬于??碱}.6、C【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系,進(jìn)而可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則,即;指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則;指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù),則.綜上所述,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的大小比較,一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來比較,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),從而求得,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】,所以,,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題目.8、D【解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程,利用韋達(dá)定理,可得,,然后計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】設(shè),聯(lián)立則,因?yàn)橹本€經(jīng)過C的焦點(diǎn),所以.同理可得,所以故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問題,運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù),屬基礎(chǔ)題。9、A【解析】

先求出,再求焦點(diǎn)坐標(biāo),最后求的斜率【詳解】解:拋物線經(jīng)過點(diǎn),,,,故選:A【點(diǎn)睛】考查拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)及斜率的運(yùn)算公式,基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì),根據(jù)題意,得到,求出概率,再由題中數(shù)據(jù),即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,求得,所以該市某校有500人中,估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的人數(shù)為人,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.11、A【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由三視圖還原原幾何體,借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,其中,,為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用,解出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】,且,,,該雙曲線的漸近線方程為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程,考查了雙曲線基本量的關(guān)系,考查了運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑,再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,體積為,半球的體積為,水(小圓錐)的體積為,如圖則,所以,,解得,所以,,,由,得,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計(jì)算,考查學(xué)生空間想象能力與計(jì)算能力,是一道中檔題.15、【解析】

對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域需滿足真數(shù)大于0,再由指數(shù)型不等式求解出解集即可.【詳解】對(duì)函數(shù)有意義,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,還考查了指數(shù)型不等式求解,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體,通過正方體的對(duì)角線與球的半徑的關(guān)系,得到球的半徑,利用球的表面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球,因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線,即,解得,所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的表面積的計(jì)算,其中巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng),得到球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)(3)直線平面,證明見解析【解析】

取中點(diǎn),連接,則,再由已知證明平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量.(1)求出的坐標(biāo),由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值;(2)求出平面的一個(gè)法向量,再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值;(3)求出的坐標(biāo),由,結(jié)合平面,可得直線平面.【詳解】底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為等邊三角形.取中點(diǎn),連接,則,為等邊三角形,,又平面平面,且平面平面,平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,,,.,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由,取,得.(1)證明:設(shè)直線與平面所成角為,,則,即直線與平面所成角的正弦值為;(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得二面角的余弦值為;(3),,又平面,直線平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)【解析】

(1)推導(dǎo)出,,從而平面,由面面垂直的判定定理即可得證.(2)過作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間坐標(biāo)系,設(shè),利用空間向量法表示出二面角的余弦值,當(dāng)余弦值取得最大時(shí),正切值求得最小值;【詳解】(1)因?yàn)椋?,,平面,平面,平面,又平面,平面平面;?)過作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間坐標(biāo)系,則,設(shè),則平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為則,即,令,如圖二面角的平面角為銳角,設(shè)二面角為,則,時(shí)取得最大值,最大值為,則最小值為【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.19、(1);(2)①82,②分布列見解析,【解析】

(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可;(2)①平均數(shù)的估計(jì)值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和;②要注意服從的是二項(xiàng)分布,不是超幾何分布,利用二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】(1)設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”為事件,則,所以,恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.(2)組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①,估計(jì)所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3,隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀”的概率為,∴;;;;∴的分布列為0123∵,∴數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算以及二項(xiàng)分布期望的問題,涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計(jì)值等知識(shí),是一道容易題.20、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)存在,此時(shí)為的中點(diǎn).【解析】

(Ⅰ)證明平面,得到平面平面,故平面平面,平面,得到答案.(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,過作于,平面,過作于,連接,則,過作于,連接,是二面角的平面角,設(shè),,計(jì)算得到答案.【詳解】(Ⅰ)∵,,,∴平面.又平面,∴平面平面,而平面,,∴平面平面,由,知,可知平面,又平面,∴平面平面.(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,過作于,由知,易證平面,所以平面,過作于,連接,則(三垂線定理),即是二面角的平面角,不妨設(shè),則,在中,設(shè)(),由得,即,得,∴,依題意知,即,解得,此時(shí)為的中點(diǎn).綜上知,存在點(diǎn),使得二面角的余弦值,此時(shí)為的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直,根據(jù)二面角確定點(diǎn)的位置,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力,也可以建立空間直角坐標(biāo)系解得答案.21、(1)沒有極值點(diǎn);(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)可得,再

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