工科數(shù)學分析 上冊（第2版）課件：定積分與不定積分綜合例題

定積分與不定積分

綜合例題《工科數(shù)學分析》*不定積分習題課主要內(nèi)容典型例題積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾種特殊類型函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容1、原函數(shù)定義原函數(shù)存在定理即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．2、不定積分(1)定義(2)微分運算與求不定積分的運算是互逆的.(3)不定積分的性質(zhì)3、基本積分表是常數(shù))5、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法.常見類型:oooooooo6、第二類換元法第二類換元公式常用代換:oooo7、分部積分法分部積分公式8.選擇u的有效方法:LIATE選擇法L----對數(shù)函數(shù)；I----反三角函數(shù)；A----代數(shù)函數(shù)；T----三角函數(shù)；E----指數(shù)函數(shù)；

哪個在前哪個選作u.9、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為o（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為o將有理函數(shù)化為部分分式(簡單分式)之和.容易求得湊微分令（2）三角函數(shù)有理式的積分定義

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為（3）簡單無理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號．二、典型例題例1解例2解例3解例4解例5解(倒代換)例6解解得例7解例8解例9解例10解例11解*定積分習題課主要內(nèi)容典型例題問題1:曲邊梯形的面積問題2:變速直線運動的路程存在定理廣義積分定積分定積分的性質(zhì)定積分的計算法牛頓-萊布尼茨公式一、主要內(nèi)容1、問題的提出實例1

（求曲邊梯形的面積A）實例2

（求變速直線運動的路程）方法:分割、求和、取極限.2、定積分的定義定義記為可積的兩個充分條件：定理1定理23、存在定理4、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)5推論：（1）（2）性質(zhì)4性質(zhì)7(定積分中值定理)性質(zhì)6積分中值公式5、牛頓—萊布尼茨公式定理1定理2（原函數(shù)存在定理）補充定理3（微積分基本公式）也可寫成牛頓—萊布尼茨公式6、定積分的計算法換元公式（1）換元法（2）分部積分法分部積分公式７、廣義積分(1)無窮限的廣義積分(2)無界函數(shù)的廣義積分例1解二、典型例題例2解例3解例4解例5例5解例6解是偶函數(shù),例7解例8證例9證作輔助函數(shù)例10解(1)(2)*定積分的應(yīng)用習題課主要內(nèi)容典型例題微元法理論依據(jù)名稱釋譯所求量的特點解題步驟定積分應(yīng)用中的常用公式一、主要內(nèi)容1、理論依據(jù)2、名稱釋譯3、所求量的特點4、解題步驟5、定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標情形如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函數(shù)極坐標情形(2)體積xyo---薄片法xyo柱殼法實際計算時視具體情況來決定用哪種方法。xyo平行截面面積為已知的立體的體積(3)平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為C．曲線弧為弧長(4)變力所作的功(5)水壓力(6)引力二、典型例題例1解由對稱性,有由對稱性,有例2解如圖所示建立坐標系.于是對半圓上任一點,有故所求速度為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為例3解如圖建