四川省綿陽市綿陽中學2024-2025學年高三上學期12月月考數學試題

綿陽中學高2022級高三上期第三學月月考數學試題命題人：李五強審題人：游婷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，故.故選：B.2.已知，是兩個虛數，則“，均為純虛數”是“為實數”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據復數除法的運算法則，結合充分性、必要性、線虛數的定義進行判斷即可.【詳解】當，均為純虛數時，設，，則有，當時，顯然，但是，都不是純虛數”，因此“，均為純虛數”是“為實數”的充分不必要條件，故選：A3.已知是空間的一個基底，向量，，，若能作為基底，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據空間向量基底的定義，結合共面向量定理進行求解即可.【詳解】若共面，由共面向量定理知，存在實數x，y，使得，即．因為，，不共面，所以，，，解得，，，即當時，，此時不能作為基底，所以若能作為基底，則實數滿足的條件是．故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據條件，利用兩角和的正弦、余弦公式化簡可得，再根據二倍角余弦公式求解.【詳解】由，可得，即，即得，.故選：B.5.設是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則下列說法對的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據題意，結合線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，，，，只有直線與相交時，可得，所以A不正確；對于B中，由，，，則與平行、相交或異面，所以B錯誤；對于C中，由，，，則，所以C錯誤；對于D中，由，，可得，又因為，所以，所以D正確.故選：D.6.已知體積為的球與正四棱錐的底面和4個側面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為.則該正四棱錐體積值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設正四棱錐的內切球的半徑為，為底面中心，取的中點，設點在側面上的投影為點，則點在上，利用求出球心到四棱錐頂點的距離，再由棱錐的體積公式計算可得答案.【詳解】設正四棱錐的內切球的半徑為，為底面中心，由體積為得，連接，平面，球心在上，，取的中點，連接，設點在側面上的投影為點，則點在上，且，，球心到四棱錐頂點的距離為，所以，，解得，所以.故選：A.7.函數與函數有兩個不同的交點，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用參變分類可得和的圖象有兩個交點，結合導數討論后者的性質后可得參數的取值范圍.【詳解】由得，則問題轉化為和的圖象有兩個交點，而，令h′x>0，解得，令h′故hx在上單調遞增，在單調遞減，則，當時，的圖象有兩個交點；當時，的圖象有兩個交點；hx結合圖象可知，的取值范圍是，故選：D8.斐波那契數列因數學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數列”.這一數列如下定義：設為斐波那契數列，，，，其通項公式為，設是的正整數解，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用給定條件結合對數的性質將化為，結合，得到，根據遞增，得到也是遞增數列，得，即可求解.【詳解】由題知是的正整數解，故，取指數得，同除得，，故，即，根據是遞增數列可以得到也是遞增數列，于是原不等式轉化為.由斐波那契數列可得，，，，可以得到滿足要求的的最大值為，故A正確.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用對數的運算將，轉化為，結合的表達式得到，從而求解的最大值.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列函數中最小值為4的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】分析】由基本不等式及其使用條件，即可判斷各選項.【詳解】對于選項A：因為，當時，，故選項A錯誤；對于選項B：因為，所以，當且僅當即時取“=”，所以函數最小值為4，故選項B正確；對于選項C：因為，所以，所以，當且僅當即，即或時取“=”，所以函數最小值為4，故選項C正確；對于選項D：因為，當且僅當即時，取“=”，所以函數最小值為4，故選項D正確.故選：BCD.10.已知變量和變量的一組成對樣本數據的散點落在一條直線附近，，，相關系數為，線性回歸方程為，則（）參考公式：，A.當時，B.當越大時，成對樣本數據的線性相關程度越強C.，時，成對樣本數據的相關系數滿足D.，時，成對樣本數據的線性回歸方程滿足【答案】ACD【解析】【分析】根據相關系數的正負、絕對值大小與變量相關性之間關系可知AB正誤；根據，，代入相關系數和最小二乘法公式中，可知CD正誤.【詳解】對于A，當時，變量和變量正相關，則，A正確；對于B，當越大時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當，時，對應的樣本數據的線性相關程度更強，B錯誤；對于C，當，時，不變且，，C正確；對于D，當，時，不變且，，D正確.故選：ACD.11.對任意，，函數，都滿足，則（）A. B.C.的極小值點為 D.是奇函數【答案】AC【解析】【分析】賦值法即可判斷選項A，根據題意，不妨設，求出，即可判斷選項BD，結合導數即可判斷選項C.【詳解】A中，令，，則有，故A正確；B中，因為，所以，對任意，均成立，設，則有，，令，則，解得，故B錯誤；C中，由B選項的分析，，所以，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點，故C正確；D中，由上述知，，所以不一定是奇函數，故D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，滿足，，且在上的投影向量為，則為______.【答案】【解析】【分析】表示出投影向量，即可求得，進而利用求得結果.【詳解】由題知，在上的投影向量為，即，則，，所以.故答案為：13.已知正實數滿足，則______.【答案】##【解析】【分析】對等式兩邊取對數后構造關于的方程，求出其解后可求的值.【詳解】因為，易知a>0且，故，故，即，故，故答案為：.14.在中，若，，三點分別在邊，，上（均不在端點上），則，，的外接圓交于一點O，稱為密克點.在梯形ABCD中，，，M為CD的中點，動點P在BC邊上（不包含端點），與的外接圓交于點Q（異于點P），則的最小值為______.【答案】##-1+7【解析】【分析】延長，交于點E得為正三角形，且得、、的外接圓有唯一公共點為密克點Q，接著由題給條件推出是直角三角形，進而得其外接圓半徑，再在中由余弦定理求出即可得的最小值.【詳解】延長，交于點E，則由題可知為正三角形，由題設結論，，的外接圓有唯一公共點，該公共點即為題中的點Q，故點Q在的外接圓上，如上圖，又由題，,所以，故，所以是直角三角形，故其外接圓半徑，在中，由余弦定理，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：解決本題得關鍵是正確作出輔助線，從而創(chuàng)造密克環(huán)境找到并明確點位置，從而結合已知條件得出是直角三角形且其外接圓半徑以及是點B與外接圓上點的距離，于是求出即可求出.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知遞增數列和分別為等差數列和等比數列，且，，，（1）求數列和的通項公式；（2）若，證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用基本量法可求數列的通項；（2）根據不等式的性質可得，累乘后可證原不等式.【小問1詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，其中，由題意得：，所以，所以（舍）或，代入原方程后可得，于是得到數列的通項公式為，數列的通項公式為.【小問2詳解】由題可得，由于時，，則（當且僅當時取等號），所以，則（當且僅當時取等號）.所以.16.已知函數，在銳角中，內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據二倍角公式以及輔助角公式可得，即可根據三角函數的性質求解，（2）根據余弦定理可得，，即可代入得，利用二次函數的性質即可求解.【小問1詳解】由可得，由得，故或，解得或，，結合為銳角，故【小問2詳解】，由于為銳角三角形，由余弦定理可得，即，故，令，則對稱軸為，故當時，取最小值，，故17.已知函數，（1）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線x=-1對稱，試求；（2）證明；（3）設是的根，則證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線.【答案】（1）.（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由，得，再利用換元法求；（2）分區(qū)間討論各因式的符號或利用導數證明；（3）取曲線上的一點，設在處的切線即是在處的切線，證明直線的斜率等于在處的切線斜率和在處的切線斜率即可.【小問1詳解】因為的圖象與的圖象關于直線x=-1對稱，所以.又因為，所以，令，則，所以，因此.【小問2詳解】證明：解法1：當時，且，此時；當時，且，此時，故綜上.解法2：，令，在上恒成立，故在上單調遞增，即在上單調遞增，因此當時，；當；因此在上單調遞減，在上單調遞增，故.【小問3詳解】證明：不妨取曲線上的一點，設在處的切線即是在處的切線，則，得，則的坐標，由于，所以，則有，綜上可知，直線的斜率等于在處的切線斜率和在處的切線斜率，所以直線AB既是曲線在點處的切線也是曲線的切線.18.如圖所示，四邊形是圓柱底面的內接四邊形，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線，是與BD的交點，.（1）記圓柱的體積為，四棱錐的體積為，求；（2）設點在線段上，且存在一個正整數，使得，若已知平面與平面的夾角的正弦值為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圓柱以及棱錐的體積公式，即可求得答案.（2）建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，利用空間角的向量求法，結合平面與平面的夾角的正弦值，即可求得答案.【小問1詳解】在底面中，因為是底面直徑，所以，又，故≌，所以.因為是圓柱的母線，所以面，所以，,因此；【小問2詳解】以為坐標原點，以為軸正方向，在底面內過點C作平面的垂直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以≌，故，所以，，因此，，因為，所以，則設平面和平面的法向量分別為，則有:，，取，設平面與平面的夾角為，則所以有：，整理得，（無解，舍），由于k為正整數，解得.19.已知有限集，若，則稱為“完全集”.（1）判斷集合是否為“完全集”，并說明理由；（2）若集合為“完全集”，且，均大于，證明：，中至少有一個大于；（3）若為“完全集”，且，求.【答案】（1）是，理由見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由“完全集”的定義判斷即可；（2）由“完全集”的定義，結合集合的運算，以及一元二次方程的性質進行求解即可；（3）設，得到，分類討論求解即可.小問1詳解】由，，所以，故集合是“完全集”.【小問2詳解】由題設，令，則，