期末復(fù)習(xí)重要考點(diǎn)06《平面圖形的初步認(rèn)識(shí)》十四大考點(diǎn)題型（解析版）

【題型1直線、射線、線段的表示方法】1．（2023秋?杜爾伯特縣期末）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線AB和直線BA表示同一條直線 B．過一點(diǎn)能作無數(shù)條直線 C．射線AB和射線BA表示不同射線 D．射線比直線短【分析】利用直線、射線、線段的定義判斷．【解答】解：直線AB和直線BA表示同一條直線，A選項(xiàng)正確；過一點(diǎn)能作無數(shù)條直線，B選項(xiàng)正確；射線AB和射線BA表示不同射線，C選項(xiàng)正確；射線、直線都是無限長(zhǎng)的，不能比較長(zhǎng)短，D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、射線、線段，解題的關(guān)鍵是掌握直線、射線、線段的定義．2．（2023秋?襄城縣期末）如圖，小軒同學(xué)根據(jù)圖形寫出了四個(gè)結(jié)論：①圖中共有2條直線；②圖中共有7條射線；③圖中共有6條線段；④圖中射線BD與射線CD是同一條射線．其中結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【分析】根據(jù)直線、線段、射線的區(qū)別逐項(xiàng)分析判斷即可．【解答】解：①圖中只有1條直線BD，故錯(cuò)誤；②以B、C為端點(diǎn)可以各引出兩條射線，以D為端點(diǎn)可以引出3條射線，以A端點(diǎn)可以引出1條射線，則圖中共有2×2+3+1＝8條射線，故錯(cuò)誤；③圖中共有6條線段，即線段AB、AC、AD、BC、BD、CD，故正確；④圖中射線BD與射線CD不是同一條射線，故錯(cuò)誤；∴錯(cuò)誤的有①②④．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、線段、射線的區(qū)別與聯(lián)系，理解三者的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?北京月考）如圖中，有條直線，條射線，條線段．【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義即可得出答案．【解答】解：如圖所示，圖中共有1條直線，8條射線，6條線段．故答案為：1，8，6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)直線、射線、線段的定義，注意結(jié)合圖形作答，不要遺漏．4．（2023秋?昌黎縣期中）如圖，能用字母表示的直線有條；能用字母表示的線段有條；在直線EF上的射線有條．【分析】根據(jù)直線、射線、線段的表示法即可得到．【解答】解：圖中有直線AB、直線AD，直線EF有3條；以B為端點(diǎn)的射線：有射線BE、射線BC；以C為端點(diǎn)的射線有：CE，CD；以D為端點(diǎn)的射線有：DC、DF，射線共有6條；線段有：AB、BC、CA、BD、CD，AD共有6條．故答案為：3，6，6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、射線、線段的表示法，理解三線的延伸性是關(guān)鍵．【題型2直線、線段的基本事實(shí)的應(yīng)用】1．（2024?長(zhǎng)沙一模）值日生每天值完日后，總是先把每一列最前和最后的課桌擺好，然后再依次擺中間的課桌，很快就能把課桌擺得整整齊齊，他們這樣做的道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．兩點(diǎn)的距離最短 D．以上說法都不對(duì)【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)公理，兩點(diǎn)可以確定一條直線進(jìn)行解答．【解答】解：把每一列最前和最后的課桌看作兩個(gè)點(diǎn)，∴這樣做的道理是：兩點(diǎn)確定一條直線．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的性質(zhì)公理，確定出兩點(diǎn)是利用公理的關(guān)鍵，是需要熟記的內(nèi)容．2．（2023秋?海港區(qū)期中）書法藝術(shù)是中華民族的瑰寶，作為藝術(shù)品，經(jīng)常被人們掛起來欣賞．我們?cè)趻鞐l幅時(shí)，要釘兩個(gè)釘子才能牢固，這里面包含的數(shù)學(xué)事實(shí)是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．兩點(diǎn)能夠確定多條直線 D．點(diǎn)動(dòng)成線【分析】經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)確定一條直線，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線解答即可．【解答】解：我們?cè)趻鞐l幅時(shí)，要釘兩個(gè)釘子才能牢固，這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是：兩點(diǎn)確定一條直線，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)確定一條直線，熟練掌握直線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?長(zhǎng)春期末）如圖是學(xué)?；ㄆ缘囊唤?，小明同學(xué)認(rèn)為走AB比走折線A﹣C﹣B更近，他的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)之間直線最短【分析】直接利用線段的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：小明同學(xué)認(rèn)為走AB比走折線A﹣C﹣B更近，他的數(shù)學(xué)依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023秋?欒城區(qū)校級(jí)期末）下列現(xiàn)象：（1）用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上．（2）從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)．（3）植樹時(shí)，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線．（4）把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中能用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象有（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）【分析】直接利用直線的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短分析得出答案．【解答】解：（1）用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上，根據(jù)是兩點(diǎn)確定一條直線；（2）從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)，根據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短；（3）植樹時(shí)，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，根據(jù)是兩點(diǎn)確定一條直線；（4）把彎曲的公路改直，就能縮短路程，根據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段以及直線的性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2024秋?朝陽區(qū)期末）有下列一些生活中的現(xiàn)象：①把原來彎曲的河道改直，河道長(zhǎng)度變短；②將兩根細(xì)木條疊放在一起，兩端恰好重合，如果中間存在縫隙，那么這兩根細(xì)木條不可能都是直的；③植樹時(shí)，只要定出兩個(gè)樹坑的位置，就能使同一行的樹坑在一條直線上；④只用兩顆釘子就能把一根細(xì)木條固定在墻上．其原理能用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”解釋的為．（只填序號(hào)）【分析】依據(jù)直線的性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：有下列一些生活中的現(xiàn)象：①把原來彎曲的河道改直，河道長(zhǎng)度變短；②將兩根細(xì)木條疊放在一起，兩端恰好重合，如果中間存在縫隙，那么這兩根細(xì)木條不可能都是直的；③植樹時(shí)，只要定出兩個(gè)樹坑的位置，就能使同一行的樹坑在一條直線上；④只用兩顆釘子就能把一根細(xì)木條固定在墻上．其原理能用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”解釋的為②，③，④．故答案為：②，③，④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)確定一條直線．【題型3線段長(zhǎng)度的計(jì)算】1．（2023秋?東豐縣期末）在直線l上順次取A，B，C三點(diǎn)，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是線段AC的中點(diǎn)，那么線段OB的長(zhǎng)度是（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【分析】根據(jù)題意可以畫出簡(jiǎn)單示意圖，請(qǐng)仔細(xì)觀察圖形特點(diǎn)，找出已知條件和圖形中的隱含的條件；觀察圖形可知，BO＝AB﹣AO，即只要求出AO的值便可；由AB＝8cm，結(jié)合AO＝CO，可知AO=12【解答】解：根據(jù)題意畫出簡(jiǎn)單示意圖：∵AB+BC＝AC，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝8cm．∵AO+CO＝AC，AO＝CO，AC＝8cm，∴AO＝4cm．∵AB＝5cm，AO＝4cm，∴BO＝AB﹣AO＝5﹣4＝1cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間的距離，掌握距離公式是解題關(guān)鍵．2．（2023秋?陵水縣期末）已知線段AB＝10cm，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，BC＝4cm，若M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度是（）A．3cm B．5cm C．3cm或7cm D．5cm或7cm【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)．根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，計(jì)算即可．【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖，∵AB＝10cm，BC＝4cm，∴AC＝AB﹣BC＝6cm，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，∴MC=12AC=3cm，CN=∴MN＝MC+CN＝5cm；②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖，∵AB＝10cm，BC＝4cm，∴AC＝AB+BC＝14cm，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，∴MC=12AC=7cm，CN=∴MN＝MC﹣CN＝5cm；綜上，線段MN的長(zhǎng)度時(shí)5cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題關(guān)鍵是熟練掌握線段中點(diǎn)的定義，難點(diǎn)在于分情況討論．3．（2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，AB＝19，BC＝13．（1）求線段AM的長(zhǎng)；（2）在線段BC上取一點(diǎn)N，使得CN：NB＝6：7，求線段MN的長(zhǎng)．【分析】（1）先求出AC＝6，由中點(diǎn)得到AM＝3；（2）由中點(diǎn)得到MC＝3，根據(jù)CN：NB＝6：7求出CN的值，從而得到答案．【解答】解：（1）∵點(diǎn)C在線段AB上，AB＝19，BC＝13，∴AC＝AB﹣BC＝19﹣13＝6，∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴AM=12AC=12（2）∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴MC=12AC＝∵點(diǎn)N在線段BC上，BC＝13，∴CN+NB＝BC＝13，又∵CN：NB＝6：7，∴CN=66+7BC=613∴MN＝MC+CN＝3+6＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差是解題關(guān)鍵．4．（2023秋?惠城區(qū)期末）已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，AC=13（1）若AB＝60，求BC的長(zhǎng)；（2）若AB＝a，D是AC的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示DE的長(zhǎng)，并說明理由．【分析】（1）首先根據(jù)AB＝60，AC=13AB，求出AC的長(zhǎng)度是多少；然后用AB的長(zhǎng)減去AC的長(zhǎng)，求出（2）首先根據(jù)D是AC的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，可得：DC=12AC，CE=12BC，推得DE=12AB；然后根據(jù)AB＝【解答】解：（1）∵AB＝60，AC=1∴AC=1∴BC＝AB﹣AC＝60﹣20＝40．（2）如圖，，∵D是AC的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，∴DC=12AC∴DE＝DC+CE=12AC+12BC=12（AC+BC【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了兩點(diǎn)間的距離的求法，以及線段的中點(diǎn)的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．5．（2023秋?廣平縣校級(jí)期中）直線l上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，若滿足BC=12AB，則稱點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“半距點(diǎn)”．如圖1，BC=12AB，此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的一個(gè)“半距點(diǎn)”．如圖2，若M，N，P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線m上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN（1）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，求MP的長(zhǎng)度；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，求MP的長(zhǎng)度；（2）若點(diǎn)G也是直線m上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，求線段GN的長(zhǎng)度．【分析】（1）①可求PN=12MN=3cm，由MP＝MN﹣PN即可求解；②可求PN=12MN=3cm，由（2）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，可求GP=12MP=32cm，由GN＝GP+PN即可求解；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，可求MG=1【解答】解：（1）①如圖，因?yàn)辄c(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN＝6cm，所以PN=1所以MP＝MN﹣PN＝6﹣3＝3cm，故MP的長(zhǎng)度為3cm；②如圖，因?yàn)辄c(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN＝6cm，所以PN=1所以MP＝MN+PN＝6+3＝9cm，故MP的長(zhǎng)度為9cm．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，如圖，由（1）得：MP＝3cm，PN＝3cm，因?yàn)辄c(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，所以GP=1所以GN＝GP+PN=3=9②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，如圖，由（1）得：MP＝9cm，因?yàn)辄c(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，所以MG=1所以GN＝MN﹣MG=6-9=3綜上所述：線段GN的長(zhǎng)度92cm或【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的和差及線段的中點(diǎn)定義，理解定義，掌握線段和差計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【題型4角的概念及表示方法】1．（2023秋?唐縣期末）下列四個(gè)圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)角的表示方法和圖形選出即可．【解答】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、圖中的∠1和∠AOB不是表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圖中的∠1和∠AOB不是表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、圖中∠1、∠AOB、∠O表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和觀察圖形的能力．2．（2023春?萊西市期中）如圖，B，D，C三點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)A在直線l外，下列說法正確的是（）A．直線BD和直線CD表示的是同一條直線 B．射線BD和射線CD表示的是同一條射線 C．∠A和∠BAD表示的是同一個(gè)角 D．∠1和∠B表示的是同一個(gè)角【分析】根據(jù)線的表示方法和角的表示方法逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A、直線BD和直線CD表示的是同一條直線正確，故A正確；B、射線BD和射線CD的端點(diǎn)不同，表示的是不同射線，故B不正確；C、點(diǎn)A處共三個(gè)角，不能將某個(gè)角表示成∠A，故C不正確；D、點(diǎn)B處有兩個(gè)小于180°的角，不能將某個(gè)角表示成∠B，故D不正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的表示方法和線的表示方法的應(yīng)用，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題關(guān)鍵．3．（2023秋?泗縣期末）如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)逐一畫射線，下面三個(gè)圖中分別有3個(gè)、6個(gè)、10個(gè)角（不大于平角的角）．當(dāng)∠MON內(nèi)有n條射線時(shí)，角的個(gè)數(shù)為（）A．n22 B．C．n(n-1)2 D．【分析】畫1條、2條、3條射線時(shí)可以數(shù)出角的個(gè)數(shù)分別有3個(gè)、6個(gè)、10個(gè)角，當(dāng)畫n條時(shí)，由規(guī)律得到角的個(gè)數(shù)的表達(dá)式．【解答】解：畫n條射線所得的角的個(gè)數(shù)為：1+2+3+…+（n+1）=(n+1)(n+2)故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)角的概念的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)求出結(jié)果得出規(guī)律．4．（2023秋?北京月考）如圖所示，能用一個(gè)字母表示的角有個(gè)，圖中所有小于平角的角有個(gè)．【分析】根據(jù)角的概念和角的表示方法，依題意求得答案．【解答】解：能用一個(gè)字母表示的角有2個(gè)：∠B，∠C；小于平角的角有7個(gè)：∠BAD，∠BAC，∠DAC，∠B，∠C，∠ADB，∠ADC．故答案為：2；7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的概念：從一點(diǎn)引出兩條射線組成的圖形就叫做角．角的表示方法一般有以下幾種：1．角+3個(gè)大寫英文字母；2．角+1個(gè)大寫英文字母；3．角+小寫希臘字母；4．角+阿拉伯?dāng)?shù)字．【題型5角的度量及角度的運(yùn)算】1．（2023秋?廣漢市期末）把2.36°用度、分、秒表示，正確的是（）A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″【分析】根據(jù)大單位化小單位除以進(jìn)率，可得答案．【解答】解：2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，進(jìn)行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，注意以60為進(jìn)制．2．下列換算中，錯(cuò)誤的是（）A．0.25°＝900″ B．16°5′24″＝16.09° C．47.28°＝47°16′48″ D．80.5°＝80°50′【分析】直接利用度分秒轉(zhuǎn)換法則分別計(jì)算得出答案．【解答】解：A、0.25°＝15′＝900″，正確，不合題意；B、16°5′24″＝16°5.4′＝16.09°，正確，不合題意；C、47.28°＝47°16′48″，正確，不合題意；D、80.5°＝80°30′，錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了度分秒的換算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．（2023無為市三模）如圖，將一個(gè)三角板60°角的頂點(diǎn)與另一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（）A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′【分析】根據(jù)∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度數(shù)，再根據(jù)∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，∴∠EAC＝32°20′，∵∠EAD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了度分秒的換算，關(guān)鍵是求出∠EAC的度數(shù)，是一道基礎(chǔ)題．4．（2023秋?新華區(qū)校級(jí)期末）把40°10'12″化為用度表示，下列正確的是（）A．40.11° B．40.16° C．40.17° D．40.26°【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)制，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵1'＝60''，∴12''＝0.2'，∵1°＝60'，∴10.2'＝0.17°，∴40°10'12''＝40.17°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．5．計(jì)算：（1）90°﹣57°23′27″；（2）22°18′×5；（3）180°﹣（34°55′+21°33′）；（4）（180°﹣91°31′24″）÷2．【分析】（1）、（2）類比于數(shù)的減法和乘法計(jì)算方法計(jì)算即可，注意滿60進(jìn)一，借一當(dāng)60．（3）先把括號(hào)內(nèi)相加得到56°28′，再把180°化為179°60′，然后進(jìn)行減法運(yùn)算．（4）先把180°化179°59′60″，再進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的減法運(yùn)算，然后進(jìn)行除法運(yùn)算．【解答】解：（1）原式＝89°59′60″﹣57°23′27″＝32°36′33″．（2）原式＝110°90′＝111°30′．（3）原式＝180°﹣55°88′＝179°60′﹣56°28′＝123°32′．（4）原式＝（179°59′60″﹣91°31′24″）÷2＝88°28′36″÷2＝44°14′18″．【點(diǎn)評(píng)】此題考查度分秒的計(jì)算，注意掌握1°＝60′，1′＝60″．【題型6鐘表中的角度問題】1．（2024春?泰山區(qū)期中）如圖，1時(shí)30分的時(shí)候，鐘表的時(shí)針與分針?biāo)M成的小于平角的角的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．135° D．150°【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：4.5×30°＝135°，∴1時(shí)30分的時(shí)候，鐘表的時(shí)針與分針?biāo)M成的小于平角的角的度數(shù)是135°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?肇東市期末）一節(jié)課45分鐘，分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度是（）A．180° B．270° C．90° D．45°【分析】根據(jù)鐘面角的定義，求出每分鐘分針轉(zhuǎn)過的角度即可．【解答】解：鐘面上每分鐘，分針轉(zhuǎn)過的角度為360°60=所以一節(jié)課45分鐘，分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度是6°×45＝270°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查鐘面角，理解鐘面角的定義，求出每分鐘分針轉(zhuǎn)過的角度是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023秋?三明期末）時(shí)鐘表面2點(diǎn)30分鐘時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻膴A角是度．【分析】因?yàn)殓姳砩系目潭仁前岩粋€(gè)圓平均分成了12等份，每一份是30°，在2點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針位于3與4之間，分針指到6上，中間夾3.5份，所以時(shí)針與分針的夾角可求．【解答】解：時(shí)鐘在2點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)為：3.5×30°＝105°．故答案為：105．【點(diǎn)評(píng)】本題考查鐘表時(shí)針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)1°時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（1124．（2023秋?滕州市校級(jí)期末）在時(shí)刻10：18，時(shí)鐘上時(shí)針與分針的夾角為（）A．105° B．155° C．159° D．157°【分析】根據(jù)鐘面，每小時(shí)一個(gè)大格，每個(gè)度數(shù)為360°12【解答】解：∵10：18時(shí)，時(shí)針與分針之間11到3間隔度數(shù)為30°×4＝120°，3分鐘對(duì)應(yīng)角度為35×30°=18°，18分鐘時(shí)針對(duì)應(yīng)角度∴在時(shí)刻10：18，時(shí)鐘上時(shí)針與分針的夾角為120°+18°+21°＝159°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查鐘面角的應(yīng)用，掌握鐘面每一個(gè)大格的角度是解決問題的關(guān)鍵．【題型7角度的計(jì)算】1．（2023秋?寬城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、O、B在同一條直線上，OC平分∠DOB．若∠AOE＝35°，∠DOC＝65°，則∠DOE的大小是（）A．80° B．85° C．90° D．95°【分析】根據(jù)OC平分∠DOB，∠DOC＝65°，可得∠BOD＝2∠DOC＝130°，所以得∠AOD＝50°，即可以求出∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝85°．【解答】解：∵OC平分∠DOB，∠DOC＝65°，∴∠BOD＝2∠DOC＝130°，∴∠AOD＝180°﹣130°＝50°，∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝50°+35°＝85°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義和角的和差，關(guān)鍵是結(jié)合圖形求解．2．（2023秋?唐縣期末）已知∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∠BOC＝50°，則∠DOC的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．20°或80° D．35°或65°【分析】分兩種情況畫出圖形，根據(jù)角平分線的定義結(jié)合圖形求出∠DOC的度數(shù)即可．【解答】解：當(dāng)∠AOB在∠BOC的外部時(shí)，如圖1所示：∵∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∴∠BOD=1∵∠BOC＝50°，∴∠DOC＝∠BOD+∠BOC＝65°；當(dāng)∠AOB在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，如圖2所示：∵∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∴∠BOD=1∵∠BOC＝50°，∴∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝35°；綜上分析可知，∠DOC的度數(shù)為35°或65°，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考出了角平分線的定義，幾何圖形中角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論．3．（2023秋?定遠(yuǎn)縣期末）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，EN，EM為折痕，折疊后點(diǎn)A'，B'，E在同一直線上，已知∠AEN=32°，求∠MEB'的度數(shù)為．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和角平分線的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意知∠AEN=∠NEA'，∠MEB=∠MEB'，則∠A'EN=12∠AEA'所以∠MEN=1∵∠AEN=32°，∴∠MEB'=90°-32°=58°．故答案為：58°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，角的計(jì)算，解決此類問題的關(guān)鍵，應(yīng)結(jié)合題意，最好實(shí)際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關(guān)系．4．（2023秋?未央?yún)^(qū)校級(jí)期末）如圖，OD是∠BOC的平分線，OE是∠AOC的平分線，∠AOB：∠BOC＝3：2，若∠BOE＝13°，求∠DOE的度數(shù)．【分析】首先設(shè)∠AOB＝3x，∠BOC＝2x，再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得∠AOE=12∠AOC=52x，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3x-進(jìn)而得到12x＝13°，再解方程即可得到x＝26【解答】解：設(shè)∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．則∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．∵OE是∠AOC的平分線，∴∠AOE=12∠AOC=∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3x-52x=∵∠BOE＝13°，∴12x＝13解得，x＝26°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=12∠BOC＝x＝∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝26°+13°＝39°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角的計(jì)算，以及角的平分線定義，關(guān)鍵是注意分析角之間的和差關(guān)系．5．（2023秋?公主嶺市期末）如圖，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的內(nèi)部，OD、OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線．（1）當(dāng)∠BOC＝30°時(shí)，∠DOE＝；（2）當(dāng)∠BOC為任意銳角時(shí)，（1）中∠DOE的度數(shù)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）先根據(jù)∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，求出∠AOC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠COD和∠COE，最后根據(jù)∠DOE＝∠COD+∠COE，求出答案即可；（2）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠COD=12∠AOC，∠EOC=12∠BOC，最后根據(jù)∠DOE＝∠COD【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°，∵OD、OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線，∴∠COD=1∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝30°+15°＝45°，故答案為：45°；（2）∠DOE的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：∵OD、OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線，∴∠DOC=12∠AOC∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的有關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的定義和性質(zhì)，正確識(shí)別圖形，找出角與角之間的數(shù)量關(guān)系．【題型8余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角】1．（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，則∠BOE＝（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)以及角平分線的定義即可解決問題；【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=12∠BOD＝故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考基礎(chǔ)題．2．小明將一副三角板擺成如圖形狀，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠COA＝∠DOB B．∠COA與∠DOA互余 C．∠AOD＝∠B D．∠AOD與∠COB互補(bǔ)【分析】由余角和補(bǔ)角的概念分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠COD﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD，即∠AOC＝∠DOB，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵∠COA+∠DOA＝90°，∴∠COA與∠DOA互余，故選項(xiàng)B不符合題意；C、當(dāng)AB⊥OD時(shí)，∠AOD＝∠B，故選項(xiàng)C符合題意；D、∵∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠COA+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝90°+90°＝180°，∴∠AOD與∠COB互補(bǔ)，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角的概念，熟記余角和補(bǔ)角的概念是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?黃巖區(qū)期末）如果∠α和2∠β互補(bǔ)，且∠α＜2∠β，給出下列四個(gè)式子：①90°﹣∠α；②2∠β﹣90°；③∠β-12∠α；④∠β+A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】若兩個(gè)角之和為90°，這兩個(gè)角互余；若兩個(gè)角之和為180°，這兩個(gè)角互補(bǔ)，據(jù)此即可作答．【解答】解：∵∠α與2∠β互補(bǔ)，∴∠α+2∠β＝180°，∴∠β=90°-1①由余角的定義知90°﹣∠α為∠α的余角；②∵2∠β-90°+∠α=2(90°-1∴2∠β﹣90°與∠α互余；③∵(∠β-1∴∠β-12∠α④由③可知∠β+12∠α∴可以表示∠α的余角的有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角，熟記余角和補(bǔ)角的概念是解題的關(guān)鍵．4．（2024春?臨清市校級(jí)月考）（1）如果一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù)．（2）一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的2倍還多40°，求這個(gè)角的度數(shù)．【分析】（1）設(shè)這個(gè)角為x°，分別寫出它的余角和補(bǔ)角，根據(jù)題意寫出等量關(guān)系，解之即可得到這個(gè)角的度數(shù)．（2）設(shè)這個(gè)角為x°，分別寫出它的余角和補(bǔ)角，根據(jù)題意寫出等量關(guān)系，解之即可得到這個(gè)角的度數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)角為x°，則這個(gè)的補(bǔ)角的度數(shù)為（180﹣x）°，它的余角的度數(shù)為（90﹣x）°，根據(jù)題意，得180°﹣x＝4（90°﹣x），解得x＝60°，故這個(gè)角的度數(shù)是60°．（2）設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x°，則這個(gè)的補(bǔ)角的度數(shù)為（180﹣x）°，它的余角的度數(shù)為（90﹣x）°，根據(jù)題意，得：180°﹣x＝2（90°﹣x）+40°，解得x＝40°．故這個(gè)角的度數(shù)為40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角，列方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?上蔡縣期末）如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOB，在直線AB另一側(cè)以O(shè)為頂點(diǎn)作∠DOE＝90°．（1）若∠AOE＝46°，那么∠BOD＝；∠AOE與∠DOB的關(guān)系是；（2）∠AOE與∠COD有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由．【分析】（1）先根據(jù)平角的意義，得∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，再由條件可知∠AOE+∠BOD＝90°，可求得答案；（2）先證得∠BOC=12×180°=90°，∠DOE＝90°，再利用平角的定義證得∠AOE+∠BOD＝180°﹣∠DOE＝90°，即可證∠AOE+∠COD【解答】解：（1）∵點(diǎn)O在直線AB上，∴∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，又∵∠DOE＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，若∠AOE＝46°，則∠BOD＝90°﹣46°＝44°；故填：44°，互余．（2）∠AOE+∠COD＝180°，理由如下：∵點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOB，∴∠BOC=1∵∠DOE＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°，∴∠AOE+∠COD＝∠AOE+∠BOD+∠BOC＝90°+90°＝180°，即：∠AOE+∠COD＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的定義，平角的定義，掌握角平分線和平角定義是解題的關(guān)鍵．【題型9平行線的定義及平行公理】1．（2023春?連平縣校級(jí)期中）在同一個(gè)平面內(nèi)，直線a、b相交于點(diǎn)P，a∥c，b與c的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交【分析】根據(jù)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線得出即可．【解答】解：∵在同一個(gè)平面內(nèi)，直線a、b相交于點(diǎn)P，a∥c，∴b與c的位置關(guān)系是相交，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線，相交線的應(yīng)用，能根據(jù)定理進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵，注意：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于已知直線．2．（2023春?新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，則直線a和c應(yīng)滿足的位置關(guān)系是（）A．在同一個(gè)平面內(nèi) B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一個(gè)平面內(nèi)【分析】根據(jù)平行推論：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，可得答案．【解答】解：當(dāng)a∥c時(shí)，a∥b，c∥d，得b∥d；當(dāng)a、c重合時(shí)，a∥b，c∥d，得b∥d，故C正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行公理及推論，利用了平行推論：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．3．（2023秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方體ABCD﹣EFGH中，下列各棱與棱AB平行的是（）A．BC B．CG C．EH D．HG【分析】在同一平面內(nèi)，不相交的兩直線平行，根據(jù)平行線的定義，結(jié)合圖形直接判斷即可．【解答】解：結(jié)合圖形可知，與棱AB平行的棱有CD，EF，GH．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的定義，注意在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系只有平行和相交．4．（2023春?望城區(qū)校級(jí)月考）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線 B．如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 C．經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行 D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段是平行線【分析】分別利用平行公理以及平行線的判定與性質(zhì)分別分析得出答案．【解答】解：A、在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線，正確，不合題意；B、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，正確，不合題意；C、經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行，正確，不合題意；D、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段是平行線，錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行公理以及平行線的判定與性質(zhì)，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．【題型10垂線及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離】1．（2023春?澄邁縣期末）過點(diǎn)C向AB邊作垂線段，下列畫法中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂線段的定義及題意逐個(gè)圖進(jìn)行判斷即可得出正確結(jié)論．【解答】解：A．此選項(xiàng)是過點(diǎn)A作BC邊的垂線段，故錯(cuò)誤；B．此選項(xiàng)是過點(diǎn)B作AB邊的垂線段，故錯(cuò)誤；C．此選項(xiàng)是過點(diǎn)C作AB邊的垂線段，故此項(xiàng)正確；D．此選項(xiàng)是過點(diǎn)B作CA邊的垂線段，故錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段的定義及作法，是一道基礎(chǔ)題，解題時(shí)要善于觀察，準(zhǔn)確理解垂線段的定義是解題的關(guān)鍵．2.如圖，直線AB表示某天然氣的主管道，現(xiàn)在要從主管道引一條分管道到某村莊P，則沿圖中線段修建可使用料最省，理由是.【分析】垂線段最短指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短，根據(jù)垂線段最短即可得出結(jié)論．【解答】解：由圖可得，PD＜PC＜PE，∴沿圖中線段PD修建可使用料最省，理由是垂線段最短，故答案為：PD，垂線段最短．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂線段的性質(zhì)，熟知垂線段最短是解答此題的關(guān)鍵．3.（2023春?新賓縣期中）如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，則點(diǎn)C到直線AB的距離等于（）A．125 B．135 C．6013 【分析】根據(jù)等積法求出點(diǎn)C到直線AB的距離即可．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC×BC即點(diǎn)C到直線AB的距離為6013，故C故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積計(jì)算，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等積法求出CD=604．（2023春?南寧期中）如圖，直線EF，CD相交于點(diǎn)O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．（1）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度數(shù)；（2）若∠AOE＝2α°，猜想OA與OB之間的位置關(guān)系，并證明．【分析】（1））根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，由∠AOE＝40°，得∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°．根據(jù)角平分線的定義，由OC平分∠AOF，得∠COF=12∠AOF=70°．根據(jù)對(duì)頂角的定義，得∠DOE＝∠COF（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，由∠AOE＝2α°，得∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2α°．根據(jù)角平分線的定義，由OC平分∠AOF，得∠COF=12∠AOF=90°﹣α°．根據(jù)對(duì)頂角的定義，得∠DOE＝∠COF＝90°﹣α°．由∠AOE＝2∠BOD＝2α°，得∠BOD＝α°，從而推斷出∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣α°﹣α°＝90°﹣2α°，那么∠AOB【解答】解：（1）∵∠AOE＝40°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°．∵OC平分∠AOF，∴∠COF=12∴∠DOE＝∠COF＝70°．（2）OA⊥OB，證明過程如下：∵∠AOE＝2α°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2α°．∵OC平分∠AOF，∴∠COF=12∠AOF=90∴∠DOE＝∠COF＝90°﹣α°．∵∠AOE＝2∠BOD＝2α°，∴∠BOD＝α°．∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣α°﹣α°＝90°﹣2α°．∴∠AOB＝∠BOE+∠AOE＝90°﹣2α°+2α°＝90°．∴OA⊥OB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)頂角以及鄰補(bǔ)角、角平分線的定義、角的和差關(guān)系，熟練掌握對(duì)頂角以及鄰補(bǔ)角、角平分線的定義、角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【題型11三線八角的識(shí)別】1．（2023秋?衡山縣期末）下列所示的四個(gè)圖形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④【分析】利用同位角定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：圖①②④中，∠1和∠2是同位角，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同位角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F”形．2．（2023春?趙縣月考）如圖所示，直線AB與BC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；直線DE與AC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；圖中∠4的內(nèi)錯(cuò)角是．【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義找出即可．【解答】解：直線AB與BC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是∠1和∠3，直線DE與AC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是∠2和∠4，圖中∠4的內(nèi)錯(cuò)角是∠2和∠BED，故答案為：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義等知識(shí)點(diǎn)，能正確識(shí)圖是解此題的關(guān)鍵．3．如圖．在圖中，（1）同位角共對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角共對(duì)，同旁內(nèi)角共對(duì)；（2）∠1與∠2是，它們是被截成的；（3）∠3與∠4中被所截而得到的角；（4）AB和BE被AC所截而成的內(nèi)錯(cuò)角是，同旁內(nèi)角是．【分析】（1）直接利用同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義得出答案；（2）利用內(nèi)錯(cuò)角的定義得出答案；（3）利用內(nèi)錯(cuò)角的定義得出答案；（4）利用已知圖形得出內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．【解答】解：（1）同位角共4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角共6對(duì)，同旁內(nèi)角共12對(duì)．故答案為：4；6；12；（2）∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，它們是AD、BC被AC截成的．故答案為：內(nèi)錯(cuò)角；AD、BC；AC；（3）∠3與∠4中AB、CD被AC所截而得到的角．故答案為：AB、CD；AC；（4）AB和BE被AC所截而成的內(nèi)錯(cuò)角是∠3和∠ACE，同旁內(nèi)角是∠3和∠2．故答案為：∠3和∠ACE；∠3和∠2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【題型12平行線的判定與性質(zhì)】1．（2024春?廣安期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定AC∥DF的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4+∠2＝180° C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴EF∥AB，故A符合題意；∵∠4+∠2＝180°，∴AC∥DF，故B不符合題意；∵∠2＝∠3，∴AC∥DF，故C不符合題意；∵∠A＝∠1，∴AC∥DF，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?深圳期末）太陽灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從點(diǎn)O照射到拋物線上的光線OB，OC反射后沿著與PO平行的方向射出，已知圖中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，則∠OCD的度數(shù)為（）A．88° B．89° C．90° D．91°【分析】依題意得AB∥OP∥CD，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，從而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，進(jìn)而可得∠OCD的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．（2024秋?東莞市校級(jí)期中）如圖，矩形紙片ABCD沿EF折疊后，∠FEC＝30°，則∠AGE的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．80° D．不能確定【分析】先由翻折變換的性質(zhì)求出∠FEG的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AGE的度數(shù)即可．【解答】解：由翻折變換的性質(zhì)可知∠FEG＝∠FEC，∵∠FEC＝30°，∴∠FEG＝30°，∴∠CEG＝∠FEC+∠FEG＝60°，∵AD∥BC，∴∠AGE＝∠CEG＝60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找到相等的角．4．（2023春?舞陽縣期末）如圖，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)F、G分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度數(shù)；（2）若∠F＝∠G，求證：DG∥BF．【分析】（1）由對(duì)頂角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判定BF∥EC，則同位角∠ACE＝∠F，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合已知條件，角平分線的定義，利用等量代換推知同位角∠BCE＝∠G，則易證DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度數(shù)為60°；（2）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定．解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．5．（2024?寧津縣開學(xué)）如圖，已知CF∥AB，∠1+∠B＝180°．（1）嘗試判斷EF與BC平行嗎？請(qǐng)說明理由；（2）若CF平分∠BCD，CF⊥AD于點(diǎn)F，∠BCD＝54°，求∠DFE的度數(shù)．【分析】（1）由CF∥AB可得∠B+∠FCB＝180°，再結(jié)合∠1+∠B＝180°可得∠1＝∠FCB，可得EF∥BC；（2）由CF⊥AD，可得∠CFD＝90°，再結(jié)合CF平分∠BCD，∠BCD＝54°，可求得∠DCF＝∠FCB＝27°，則可求∠DFE的度數(shù)．【解答】（1）證明：EF∥BC，理由如下：∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB＝180°，∵∠1+∠B＝180°，∴∠1＝∠FCB，∴EF∥BC；（2）解：∵CF⊥AD，∴∠CFD＝90°，∵CF平分∠BCD，∠BCD＝54°，∴∠DCF＝∠FCB＝27°，由（1）可得∠1＝∠FCB＝27°∴∠DFE＝∠CFD﹣∠1＝63°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線，解答的關(guān)鍵是對(duì)平行線的判定與性質(zhì)的掌握與應(yīng)用．【題型13多邊形及相關(guān)概念】1．如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】根據(jù)多邊形的定義：平面內(nèi)不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形．顯然只有第一個(gè)、第二個(gè)、第四個(gè)．【解答】解：所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個(gè)、第二個(gè)、第四個(gè)，共有3個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的定義，理解多邊形的定義，根據(jù)定義進(jìn)行正確判斷．2．如圖圖形中六邊形的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．4 C．2 D．3【分析】根據(jù)六邊形的定義，數(shù)一數(shù)所給出圖形的邊數(shù)即可得出答案．【解答】解：如圖：∵圖1和圖2是六邊形，圖3是五邊形，圖4是七邊形，∴圖形中六邊形的個(gè)數(shù)是2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的定義，理解由六條邊依次首尾相連接所組成的封閉圖形是六邊形是解答此題的關(guān)鍵．3．（2024秋?涼州區(qū)校級(jí)月考）過五邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，把這個(gè)多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】多邊形有n條邊，則經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形．據(jù)此解答即可．【解答】解：∵從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把這個(gè)n邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是（n﹣2），∴過五邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，把這個(gè)多邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是5﹣2＝3（個(gè)），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的對(duì)角線，掌握多邊形對(duì)角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?濱海新區(qū)校級(jí)月考）如圖，從五邊形紙片ABCDE中剪去一個(gè)三角形，剩余部分是（）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．以上都有可能【分析】分為三種情況，畫出圖形，解答即可．【解答】解：如圖1，剩余圖形是四邊形；如圖2，剩余圖形是五邊形；如圖3，剩余圖形是六邊形；綜上所述，剩余的部分是四邊形或五邊形或六邊形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形，能畫出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．【題型14線段動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)角的探究問題】1．（2023秋?興隆縣期末）應(yīng)用題：如圖，已知線段AB＝12cm，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若AC＝4，求DE的長(zhǎng)；（2）若C為AB的中點(diǎn)，則AD與AB的數(shù)量關(guān)系是；（3）試著說明，不論點(diǎn)C在線段AB上如何運(yùn)動(dòng)，只要不與點(diǎn)A和B重合，那么DE的長(zhǎng)不變．【分析】（1）首先根據(jù)線段的和差關(guān)系求出BC＝AB﹣AC＝8，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求出DC＝2，CE＝4，進(jìn)而求和可解；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求解即可；（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)锳C＝4，所以BC＝AB﹣AC＝8．因?yàn)辄c(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．所以DC＝2，因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．所以CE＝4，所以DE＝DC+CE＝6（cm）；（2）∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=1∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=1（3）因?yàn)辄c(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．所以DC=1因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．所以CE=1所以DE=DC+CE=1所以，DE的長(zhǎng)不變．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段的和差計(jì)算，線段中點(diǎn)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系．2．（2023秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB＝18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，2cm/s．①若2cm＜AP＜14cm，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求AC+PD的值；②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，求AP：PB；（2）若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD＝3AC，求AP的長(zhǎng)度．【分析】（1）①先計(jì)算BD，PC，再計(jì)算AC+PD．②利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解．（2）將AP用其它線段表示即可．【解答】解：（1）①由題意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）．∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）．故答案為：12；②∵點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t，∴AP：PB＝2t：4t＝1：2．故答案為：1：2；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則PC＝t，BD＝3t，∴BD＝3PC，∵PD＝3AC．∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP．∴AP=14AB=9【點(diǎn)評(píng)】本題考查求線段的長(zhǎng)度，充分利用中點(diǎn)和線段的倍數(shù)關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．3．（2023秋?普寧市期末）已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如圖①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度數(shù)．（2）將圖①中的∠COD繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，探究∠AOC與∠DOE的度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由∠AOC＝30°，∠COD是直角，可知∠BOC＝150°，∠BOD＝60°，因?yàn)镺E平分∠BOC，所以∠COE=1（2）設(shè)∠AOC＝α，因?yàn)椤螩OD是直角，所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∠COD＝90°，因?yàn)镺E平分∠BOC，所以∠COE=12∠BOC=90°-【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°，∠COD是直角，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，∠COD＝90°，∴∠DOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1（2）∠DOE=1設(shè)∠AOC＝α，∵∠COD是直角，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∠COD＝90°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∴∠DOE=90°-∠COE=90°-(90°-1即∠DOE=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線的定義等知識(shí)，關(guān)鍵是由圖形得到角度之間的關(guān)系．4．（1）求∠EOB的度數(shù)．（2）若射線OF、OD分別繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，兩射線同時(shí)出發(fā)，射線OF每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°，射線OD每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)0.5°，多少分鐘后，射線OF與射線OD第一次重合．（3）在（2）的條件下，假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間不超過60分鐘，若∠FOD＝33°，則兩射線同時(shí)出發(fā)分鐘．【分析】（1）根據(jù)題意可求得∠EOF＝53°，再由角平分線的定義可得∠AOE＝106°，從而可求∠EOB的度數(shù)；（2）先求解∠FOD＝143°，設(shè)x分鐘后射線OF與射線OD第一次重合，根據(jù)題意列方程，解方程可求解即可；（3）設(shè)兩射線同時(shí)出發(fā)t分鐘后，∠FOD＝33°，分兩種情況列方程，計(jì)算可求解．【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝37°，∴∠EOF＝90°﹣37°＝53°．∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝53°×2＝106°．∴∠EOB＝180°﹣106°＝74°．（2）∵∠COD＝180°，∠COE＝90°，∴∠EOD＝90°．∴∠FOD＝90°+53°＝143°．設(shè)x分鐘后射線OF與射線OD第一次重合，依題意得：6x﹣0.5x＝143，解得：x＝26．答：26分鐘后，射線OF與射線OD第一次重合．（3）由（2）可知，開始時(shí)∠FOD＝143°，設(shè)兩射線同時(shí)出發(fā)t分鐘后，∠FOD＝33°，當(dāng)射線OF與射線OD第一次重合前，由題意得6t+33＝143+0.5t，解得t＝20；當(dāng)射線OF與射線OD第一次重合后，由題意得6t＝143+33+0.5t，解得t＝32，綜上，兩條射線同時(shí)出發(fā)20或32分鐘后，∠FOD＝33°．故答案為：20或32．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的定義，對(duì)頂角與補(bǔ)角，理解題意正確列方程是解題的關(guān)鍵．1．（2023春?萊蕪區(qū)校級(jí)期末）下列說法中，正確的是（）A．兩條不相交的直線叫做平行線 B．一條直線的平行線有且只有一條 C．在同一平面內(nèi)，若直線a∥b，a∥c，則b∥c D．若兩條線段不相交，則它們互相平行【分析】根據(jù)平行線的定義、性質(zhì)、判定方法判斷，排除錯(cuò)誤答案．【解答】解：A、平行線的定義：在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫做平行線．故錯(cuò)誤；B、過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．一條直線的平行線有無數(shù)條，故錯(cuò)誤；C、在同一平面內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線平行．故正確；D、根據(jù)平行線的定義知是錯(cuò)誤的．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的定義、性質(zhì)及平行公理，熟練掌握公理和概念是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋?管城區(qū)月考）下列四種實(shí)踐方式：木匠彈墨線、打靶瞄準(zhǔn)、彎曲公路改直、拉繩插秧，其中可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，“兩點(diǎn)之間線段最短”進(jìn)行判斷即可．【解答】解：木匠彈墨線、打靶瞄準(zhǔn)、拉繩插秧可以利用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋，而彎曲公路改直，則可以利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋，所以可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋的有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的性質(zhì)，掌握“兩點(diǎn)確定一條直線”，“兩點(diǎn)之間線段最短”的基本事實(shí)是正確判斷的關(guān)鍵．4．（2023?安康一模）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，若∠AOE＝50°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【分析】根據(jù)垂線定義可求得∠EOC＝90°，進(jìn)而求得∠AOC，再根據(jù)對(duì)頂角相等求解即可．【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠EOC＝90°，∴∠EOA+∠AOC＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠AOC＝90°﹣50°＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線定義、對(duì)頂角相等，熟練掌握垂線定義和對(duì)頂角相等是解答的關(guān)鍵．3．（2023春?文昌期末）如圖，在鐵路旁有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請(qǐng)你在鐵路線上選一點(diǎn)來建火車站，應(yīng)建在（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【分析】根據(jù)垂線段最短可得答案．【解答】解：根據(jù)垂線段最短可得：應(yīng)建在A處，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．4．若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，則∠1與∠3的關(guān)系（）A．互余 B．互補(bǔ) C．相等 D．∠1＝180°+∠3【分析】根據(jù)等角的補(bǔ)角相等的性質(zhì)即可求解．【解答】解：若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，則∠1＝∠3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．5．（2023秋?西安期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是BC、BA、AC上的點(diǎn)，連接EF，ED，EC，則下列條件中，能判定DE∥AC的是（）A．∠BED＝∠EFC B．∠1＝∠2 C．∠BEF+∠B＝180° D．∠3＝∠4【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．【解答】解：由∠BED＝∠EFC，不能判定DE∥AC，故A不符合題意；∵∠1＝∠2，∴EF∥BC，故B不符合題意；∵∠BEF+∠B＝180°，∴EF∥BC，故C不符合題意；∵∠3＝∠4，∴DE∥AC，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?天長(zhǎng)市期中）如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，則以下結(jié)論：①∠AOD與∠BOE互為余角；②∠AOD=12∠COE；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝56°，則∠COEA．只有①④ B．只有③④ C．只有①③④ D．①②③④【分析】根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵∠DOE＝90°，∴∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°，∴∠AOD與∠BOE互為余角，故①正確．∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，無法推斷得到∠AOD=12∠COE設(shè)∠COD＝x，∵∠DOE＝90°，∴∠COE＝90°﹣x，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，則∠AOD＝90°﹣2x，∵∠AOD+∠BOE＝90°，∴∠BOE＝2x，即∠BOE＝2∠COD，故③正確．∵∠BOE＝56°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝124°．∵OC平分∠AOE，∴∠COE=12∠AOE=62°綜上：正確的有①③④．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線、余角與補(bǔ)角，根據(jù)補(bǔ)角以及角平分線的定義解決此題．7．（2023秋?涼州區(qū)期末）某復(fù)興號(hào)列車在哈爾濱和北京之間運(yùn)行，途中要停靠于3個(gè)站點(diǎn)，如果任意兩站之間的票價(jià)都不同，那么有種不同的票價(jià)，應(yīng)發(fā)行種不同的車票．【分析】作出線段圖，然后找出圖中的線段的條數(shù)即可．【解答】解：如圖，途中有3個(gè)站點(diǎn)，共有線段：AC、AD、AE、AB，CD、CE、CB，DE、DB，EB共10條線段，所以共有10種不同的票價(jià)；因?yàn)橥档能嚻辈煌?，所以?yīng)發(fā)行20種不同的車票．故答案為：10，20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線、射線、線段，在線段、射線的計(jì)數(shù)時(shí)，應(yīng)注重分類討論的方法計(jì)數(shù)，做到不遺漏，不重復(fù)．8．（2023春?呼和浩特期末）如圖，三條直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度數(shù)為．【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得∠GOF，進(jìn)而根據(jù)∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF計(jì)算即可．【解答】解：∵三條直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，∠AOE＝70°，∴∠BOF＝∠AOE＝70°，∵CD⊥EF，∴∠DOF＝90°，∵OG平分∠BOF，∴∠GOF=1∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°，故答案為：55°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何圖形中角的和差計(jì)算，對(duì)頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，垂線的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?渝北區(qū)校級(jí)自主招生）已知線段AB＝15cm，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，且AC＝7cm，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，則線段AD的長(zhǎng)為．【分析】分點(diǎn)C在線段AB上和在線段BA的延長(zhǎng)線上，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)：∵AB＝15cm，AC＝7cm，∴BC＝AB﹣AC＝8cm，∵D為線段BC的中點(diǎn)，∴CD=1∴AD＝AC+CD＝11cm；當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BC＝AB+AC＝22cm，∵D為線段BC的中點(diǎn)，∴CD=1∴AD