高二選擇性必修二周末培優(yōu)講義學生試讀版

目錄

第1講等差數(shù)列.............................................................................1

第2講等比數(shù)列.............................................................................7

第3講數(shù)列求通項專題....................................................................13

第4講數(shù)列求和專題......................................................................19

第5講導數(shù)概念運算和幾何意義..........................................................25

第6講導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性...............................................................31

第7講導數(shù)研究函數(shù)極值最值.............................................................37

第8講利用導數(shù)證明不等式（一）........................................................44

第9講利用導數(shù)證明不等式（二）........................................................51

第10講導數(shù)處理恒成立和能成立求參.....................................................56

第11講導數(shù)處理函數(shù)零點問題............................................................60

第1講等差數(shù)列

【玩前必備］

1.等差數(shù)列的有關概念

⑴等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差

數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母且表示，定義表達式為如一如r=d（常數(shù)）（〃￡N二〃22）

或冊”一。尸d（常數(shù)）（〃￡N*）.

（2）等差中項

若三個數(shù)小A,b成等差數(shù)列，則A叫做。與b的等差中項，且有4=皇.

2.等差數(shù)列的有關公式

（1）等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列傳〃｝的首項為公差為d,那么它的通項公式是

⑵等差數(shù)列的前〃項和公式

設等差數(shù)列｛小｝的公差為d,其前〃項和5“=,必+皿尸"或&=巡抖.

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

已知｛斯｝為等差數(shù)列，d為公差,S”為該數(shù)列的前〃項和.

(1)通項公式的推廣：?！?即+(〃一機)d(〃，

(2)在等差數(shù)列｛〃“｝中，當m+/i=p+q時,。團+0?=即+劭(〃2,〃，p,qWN)特別地，若m+n=2p,則2ap

=。"?+必(切,〃，p￡N*).

(3)詼，a”m,。人」2?”…仍是等差數(shù)列，公差為〃?d(k,

(4)S,pS2n~SnrS3”一§2”，…也成等差數(shù)歹J,公差為爐".

(5)若｛%｝,｛兒｝是等差數(shù)列，則加①+微〃｝也是等差數(shù)列.

(6)若｛0｝是等差數(shù)列，則｛乎｝也成等差數(shù)列，其首項與｛m｝首項相同，公差是｛為｝公差的

(7)若項數(shù)為偶數(shù)2〃，則S為產(chǎn)〃(4］+d)=〃(?！?4〃+1)；S愕一S奇=〃d：3=j-.

(8)若項數(shù)為奇數(shù)2〃-1,則S2,LI=(2〃-1)如；S奇一S禺=斯；7T=—

dwn-I

［口會0,

(9)在等差數(shù)列｛m｝中，若0>0,衣0,則滿足人的項數(shù)機使得S〃取得最大值S”；若0<0,d>0,則

［而+lWO

Q/wW0,

滿足、八的項數(shù)m使得S,取得最小值Sm.

4.等差數(shù)列的前〃項和公式與函數(shù)的關系

2

5w=^n4-^i-7)/?.

數(shù)列｛冊｝是等差數(shù)列=￡=加2+即(小B為常數(shù)).

［玩轉典例］

題型一等差數(shù)列基本量的運算

例11.(2015?新課標全國卷I)已知｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，S”為｛的｝的前〃項和，若S8=4S4，則00

=()

1719

A.-^-B.gC.10D.12

2.(2018?全國I)記S“為等差數(shù)列｛〃“｝的前”項和，若3s3=S2+S4,0=2,則.等于()

A.-12B.-10

C.10D.12

3.(2020?煙臺模擬)設等差數(shù)列｛m｝的前〃項和為S“，若s=5,59=27,則so等于()

A.17B.18C.19D.20

4.在數(shù)列｛斯｝中，若防=-2,且對任意的〃￡N*有2a〃+i=l+2a“，則數(shù)列｛為｝前10項的和為()

八一55

A.2B.10C，2D.1

［玩轉高考］

1.(2019全國1理9)記S“為等差數(shù)列｛q,｝的前〃項和.已知$4=0,%=5,則

22

A.an=2n-5B.an=3n-10c.Stl=2n-8no.Sn=-H-2/7

S

2.(2019全國3理14)記入為等差數(shù)列｛所｝的前。項和，4/0，生=3q,則譚=__________.

*

3.(2019江蘇8)已知數(shù)列｛〃”｝(〃￡N*)是等差數(shù)列，S”是其前，項和.若。2%+4=0,59=27,則$8的

值是.

4.(2020?新全國1山東)將數(shù)歹ij｛2?l｝與⑶-21的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛八｝,則(a葡的前〃項和為.

題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及應用

例2(1)設等差數(shù)列｛m｝的前〃項和為若S3=9,S6=36，則的+舞+。9等于()

A.63B.45C.36D.27

(2)若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390,則這個數(shù)列的項數(shù)為()

A.13B.12C.11D.10

⑶已知S”是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，若0=—2018,聚一端=6,則S2O2O=.

41y4\J1J

(4)(2013?新課標I)設等差數(shù)列｛勺｝的前〃項和為S”，若S&=-2,Sm=G,S*=3,貝i」m=()

A.3B.4C.5D.6

［玩轉跟蹤］

1(1)(2020?福建模擬)設S〃，7“分別是等差數(shù)列｛?。?｛6｝的前〃項和，若as=24，則*()

A.2B.3

C.4D.6

(2)(2020?福茂漳州質(zhì)檢改編)若S”是等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項和，且02+09+09=6,則0o=，Si9=

2.設等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S，已知前6項和為36,最后6項的和為180,*=324(〃>6),則數(shù)列｛跖｝

的項數(shù)為.

3.(1)等差數(shù)列｛冊｝中，s+3a8+05=120,則2a9—00的值是()

A.20B.22

C.24D.-8

(2)一個等差數(shù)列的前12項的和為354,前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為32:27,則該數(shù)列的公

差d為.

題型三等差數(shù)列的判定與證明

例3已知數(shù)列優(yōu)〃｝的前〃項和為S”，且滿足。1=3，a”=—2SS1(〃22).

⑴求證：數(shù)列置是等差數(shù)列；

⑵求S”和所

［玩轉跟蹤］

1.在數(shù)列｛斯｝中，41=2,4〃是1與4G-1的等差中項.

(1)求證：數(shù)列上士!是等差數(shù)列，并求的通項公式;

(2)求數(shù)歹的前n項和S”.

1〃

2.數(shù)列｛m｝滿足a〃+i~TT?a\=\.

(1)證明：數(shù)列｛或是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)歹的前n項和S”并證明：----

3102O/rn~v1

3.已知數(shù)列｛斯｝滿足：0=2,跖+］=3斯+3"+|-2”,設九=」于一，求證：數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列，并求｛%｝

的通項公式.

題型四等差數(shù)列的前〃項和及其最值

例4在等差數(shù)列｛m｝中，m=29,SK)=S2O,則數(shù)列｛m｝的前〃項和S”的最大值為()

A.S15B.Si6

C.S”或Si6D.S17

［探究1］若將條件'扁=29,So=S2o”改為“苗>0,S5=Si2"，如何求解?

［探究2］若將條件'3=29,與o=S2o”改為“s=12,Si2>0,SW，如何求解?

［玩轉練習］

1.等差數(shù)列｛斯｝中，。4+。8=10，0o=6,則公差d=（）

A.；B.；

C.2D.-1

2.在等差數(shù)列｛期｝中,若Sn為｛m｝的前〃項和，〃7=痣+5,則S"的值是（）

A.55B.11

C.50D.60

3.設等差數(shù)列｛?。那啊椇蜑镾”若5=4,Sm=0,S”+2=14（機22,且陽￡N"），則〃2020的值為（）

A.2026B.4036

C.5044D.3020

4.（2020?湖北宜昌一模）等差數(shù)列｛知｝的前〃項和為S”，若公差辦0,（S8-55）（S9-S5）<0,則（）

A.a?=0B.\ai\=\as\

C.陽>|闖D.|。71Vl詞

5.（多選）已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”若S7=w，則（）

A.。1+〃3=0B.43+〃5=0

C.S3=S?D.SA=SI

6.（多選）已知數(shù)列｛?。那啊椇蜑镾“，m=l,6=2,且對于任意〃>1,〃￡N',滿足S”+I+S.T=2（S“+

1）,則（）

A.々9=17B.aio=18

C.59=81D.$o=91

7.已知S”是等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項和，且S6>S7>&,給出下列五個命題：①d<0;②S1>O；③$2>0;④數(shù)

列｛Sn｝中的最大項為Su；⑤豚|>|。7|，其中正確命題的個數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.5

8.(一題兩空)(2020?福建龍巖期未改編)已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”ai=l.a〃+wi=2〃+l(〃￡N*),則

。20的值為，S21的值為.

9.(一題兩空)若數(shù)列｛〃”｝滿足〃[=3,a“+i=a”+3(〃￡V),則&=，通項公式。產(chǎn).

10.(一題兩空)等差數(shù)列伍”｝中，已知S”是其前〃項和，?=—9,告一當=2,則為=,So=.

11.(2020?廣州高中綜合測試)等差數(shù)列｛%｝的各項均不為零，其前〃項和為工.若扁1=小+2+。〃，則S2nH

12.(2019?全國卷JL)記￡為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.己知S9=一〃5.

(1)若<73=4,求｛斯｝的通項公式；

(2)若。|>0,求使得的〃的取值范圍.

13.已知數(shù)列｛m｝的各項均為正數(shù)，其前〃項和為工，且滿足25=忌+〃-4(〃￡N').

(1)求證：數(shù)列｛m｝為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛為｝的通項公式.

14.在公差為d的等差數(shù)列｛斯｝中，已知41=10,且5。3a=32+2)2.

(1)求力a

(2)若dVO,求%|+㈤+|a3H----

15.記加=如土包呼二±幽，若｛/｝是等差數(shù)列，則稱加為數(shù)列僅“｝的“乙等差均值"；若｛4｝是等比

數(shù)列，則稱m為數(shù)列｛為｝的等比均值”.已知數(shù)列伍”｝的“21等差均值”為2,數(shù)列｛瓦｝的“3門

2

等比均值”為3.記c”=7+klog3b”，數(shù)列｛c〃｝的前〃項和為*,若對任意的正整數(shù)〃都有&WS6,求實數(shù)Z

Cln

的取值范圍.

第2講等比數(shù)列

【玩前必備］

1.等比數(shù)列的有關概念

(1)等比數(shù)列的有關概念

一般地，如果一個數(shù)列從第2包起，每一項與它的前一項的比等于同二賞數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.這

個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母z表示.

(2)等比中項

如果三個數(shù)a,G,b成等比數(shù)列，則G叫做。和〃的等比中項，那么/，即G=ab.

2.等比數(shù)列的有關公式

(1)等比數(shù)列的通項公式

設等匕數(shù)列｛?。氖醉棡?,公比為q,qWO,則它的通項公式斯=如心:.

(2)等比數(shù)列的前〃項和公式

等比數(shù)列｛期｝的公比為式gXO),其前〃項和為S”，當9=1時，S〃=四：當時，&=當三”=色呼.

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

(1).若《t+〃=p+g=2A(zn,〃，p,q,AEN"),則4”「斯=〃”為=成.

(2).若｛為｝,｛乩｝(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛筋/(2WO),｛=｝,｛忌｝，(如也),移號仍是等比數(shù)列.

(3).在等比數(shù)列｛?。校染嚯x取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即4”?！?依斯+”，詼+3%，…為等比數(shù)歹U，

公比為成

(4).｛斯｝為等比數(shù)列，若ms?…a=L?，則兀，孕，要，…成等比數(shù)列.

intin

(5).當qWO,qWl時，S“=R-kg”(&WO)是｛?。傻缺葦?shù)列的充要條件，此時％=告.

(6).有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等.特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間項的平

方.

［玩轉典例］

題型一等比數(shù)列基本量的運算

例1⑴(2019全國1理14)記5n為等比數(shù)列｛〃｝的前〃項和.若4=g,d二必，則Ss=.

(2)(2019全國3理5)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛d｝的前4項為和為15,且的=3s+4s，則6=

A.16B.8C.4D.2

(3)設數(shù)列｛的｝的前n項和S〃滿足6S”+1=9即(〃￡N)

①求數(shù)列｛?。耐椆?；

②若數(shù)列｛小｝滿足bn=；，求數(shù)列｛兒｝前n項和Tn.

Cln

［玩轉跟蹤］

1.(2020?全國1卷)設｛%｝是公比不為1的等比數(shù)列，%為生，%的等差中項?

(1)求｛%｝的公比：

(2)若4=1,求數(shù)列｛〃〃”｝的前〃項和.

2.(2020?全國2卷)數(shù)列｛&｝中，q=2,am+n=aman,若+用口+…+4+io=2匕一2$,則欠=()

A.2B.3C.4D.5

3.(2020?江蘇卷)設｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，｛九｝是公比為。的等比數(shù)列.己知數(shù)列｛a+4的前〃項和

S“=〃2_〃+2"_i(〃eN.),則由勺的值是______.

4.(2020?新全國1山東)已知公比大于1的等比數(shù)列｛〃“｝滿足生+4=2。,%=8.

(1)求｛〃“｝的通項公式；

(2)記粼為｛%｝在區(qū)間(0,問(加￡⑼)中的項的個數(shù)，求數(shù)列電」的前100項和Sig.

題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及應用

例2⑴(2015?新課標全國卷H)已知等比數(shù)列｛小｝滿足0=%〃3%=4(出一1)，則公=()

A.2B.1C.zD.1

Zo

(2)設等比數(shù)列｛小｝中，前〃項和為列,已知陽=8,S6=7,則析+痣+窈等于()

,1-57>55

A.gB.—gC.至D.y

(3)已知等比數(shù)列｛斯｝中，出+。8=-2,則a6(a2+2?6+aio)的值為()

A.4B.6C.8D.-9

(4)在等比數(shù)列｛q,｝中，若042。3。4=1，4LMM1506=8,則由1。42。43。44=.

(5)設數(shù)列伍”｝、｛乩｝都是正項等比數(shù)列,S〃、7；分別為數(shù)列｛1g詼｝與｛1g瓦｝的前〃項和，且金=亍七7,則logbsas

<nLn十1

(6)已知等比數(shù)列｛%)共有2〃項，其和為一240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比鄉(xiāng)=.

［玩轉跟蹤］

1.(1)在等比數(shù)列｛m｝中，各項均為正值，且俏處()+的45=41,0148=5,則網(wǎng)+。8=.

(2)等比數(shù)列｛〃”｝的首項0=-1,前〃項和為S”，若鬻=卷則公比片.

2.已知數(shù)列｛斯｝滿足log2a仆i=l+log24”(〃￡N*),且m+s+sH----卜磯=1，則log2(aioi+aio2H---Fano)=

3.已知數(shù)列｛〃”｝是等比數(shù)列，。2=2,。5=0則0。243+〃2。3出+…+。悶〃+1劣+2=.

題型三等比數(shù)列的判定與證明

例3(2019?全國卷H)已知數(shù)列｛斯｝和｛》”)滿足0=1,6］=0,44〃+］=3?！币粌?4,4兒+1=3兒一廝一4.

(1)證明：｛4+8｝是等比數(shù)列，｛4一仇｝是等差數(shù)列;

(2)求｛詼｝和｛兒｝的通項公式.

［玩轉跟蹤］

1.(2018?全國卷I)已知數(shù)列｛小｝滿足0=1,M+I=2(〃+I)〃”，設兒=*

(1)求加，力2，岳;

(2)判斷數(shù)列｛6｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛詼｝的通項公式.

2.(2020?西寧月考)已知在正項數(shù)列｛小｝中，0=2,點4〃(麗，［D在雙曲線y2-/=1上.在數(shù)列｛?。?/p>

中，點S，”7；)在直線y=—%+1上，其中T”是數(shù)列｛?。那啊椇?

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式：

(2)求證:數(shù)列｛仇｝是等比數(shù)列.

題型四數(shù)列與數(shù)學文化及實際應用

fsrr(202。?廣東潮州二模)我國古代名著《九章算術》中有這樣一段話：”今有金維，長五尺，斬本一尺，

重四斤，斬末一尺，重二斤.”意思是：現(xiàn)有一根金簟，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤.若

該金等從頭到尾，每一尺的質(zhì)量構成等差數(shù)列，則該金維共重()

A.6斤B.7斤

C.9斤D.15斤

W(2020?湖南衡陽三桃)中國古代數(shù)學名著《九章算術》中有如下問題.今有牛、馬、羊食人苗，苗主責

之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬."馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯

文如下：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只

有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應償還多少？

該問題中，1斗為10升，則馬主人應償還的粟(單位：升)為()

A竺B理

入303

端D.一

?，(2020?北京市布景山區(qū)3月模擬)九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連

成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關攘，解之為二，又合而為

一.”在某種玩法中，用廝表示解下〃(〃W9,〃￡N*)個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，數(shù)列｛%｝滿足m=1,且

2ari-\-l,〃為偶數(shù)，

C,加太心則解下4個環(huán)所需的最少移動次數(shù)44為()

區(qū)“—|+2,〃為奇數(shù)，

A.7B.10

C.12D.22

H(2020?山東臨沂三模)意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,

13,21,34,55,…即尸(1)=尸(2)=1,尸(〃)=尸(〃-1)+產(chǎn)(〃-2)(〃N3,此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學等

方面都有著廣泛的應用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列｛m｝,則數(shù)列｛〃”｝的前2019項的和為

()

A.672B.673

C.1346D.2019

［玩轉練習］

1.(2020開衿市定位考試)等比數(shù)列匕外的前〃頂和為S“，若內(nèi)+4&=0，則公比4=()

A.-1B.1

C.-2D.2

2.若等比數(shù)列｛〃｝的各項均為正數(shù)，幼+加2=3,出=4〃2。6，則。4=()

A1B.f

*說

3.在正項等比數(shù)列｛?。校阎猰a2a3=4,ci4asa6=12,?！?心世”+1=324,則〃等于()

A.12B.13

C.14D.15

4.已知數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為S〃，671=1,S〃=2而則S“=（）

A.2,,_,B.，？

c.?"-'

5.（多選）設等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為，，且滿足用=8〃3,則（）

A.數(shù)列｛“〃｝的公比為2B.數(shù)列｛m｝的公比為8

C.W=8D.y=9

0303

6.（多選）設等比數(shù)列｛%｝的公比為g,則下列結論正確的是（）

A.數(shù)列｛m為+i｝是公比為片的等比數(shù)列

B.數(shù)列｛〃〃+斯+4是公比為q的等比數(shù)列

C.數(shù)列｛為一為”｝是公比為g的等比數(shù)列

D.數(shù)列?］是公比為1的等比數(shù)列

7.（多選）設等比數(shù)列｛詼｝的公比為q,其前〃項和為S小前"項積為4，并且滿足條件0>1,即。8>1，絲三!

<0.則下列結論正確的是（）

A.0<^<1B.?7-fl9>l

C.S”的最大值為S9D.7；的最大值為77

8.已知S”是等比數(shù)列｛m｝的前〃項和，若存在，〃仁N*,滿足娑=9,等=塔1,則數(shù)列｛為｝的公比為

9.在等比數(shù)列｛的｝中，0+43+45=21,“2+44+06=42,則$9=.

10.（一題兩空）已知他“｝是遞減的等比數(shù)列，且。2=2,卬+的=5,則｛m｝的通項公式為:

H---FanUn+1（〃UN*）=.

11.已知等比數(shù)列｛斯｝為遞減數(shù)列，且底=。取2（斯+?！?2）=5斯”，則數(shù)列｛m｝的通項公式斯=.

12.設數(shù)列｛m+1｝是一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知。3=7,m=127.

（1）求的的值;

（2）求數(shù)列｛為｝的前〃項和.

13.在①數(shù)列｛m｝的前〃項和Sn=^n2+|z?；②函數(shù)凡K)=sin兀t—2小cos與:+、/5的正零點從小到大構成數(shù)列

｛x”｝,a*=x”+/③晶一斯一曷一］一小一1=0(〃22,〃￡N"),a?>0,且0=歷這三個條件中任選一個，補充在

下面的問題中，若問題中的M存在，求出M的最小值：若M不存在，說明理由.

數(shù)列｛九｝是首項為1的等比數(shù)列，b?>0,岳+心=12,且____________,設數(shù)列,"jooU的前幾項和為

T,”是否存在MEN",使得對任意的〃WN*,Tn<M?

14.已知數(shù)列｛知｝的首項0>0,為+產(chǎn)恚7(〃￡N)且

(1)求證：｛才一”是等比數(shù)列，并求出｛m｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹42｝的前〃項和T?.

15.已知數(shù)列｛〃“｝中，m=l,a“a+i=e)",記為｛%｝的前2〃項的和，兒=如+仇-1,

(1)判斷數(shù)列｛瓦｝是否為等比數(shù)列，并求出兒;

(2)求Tin.

第3講數(shù)列求通項專題

［玩轉典例］

題型一由數(shù)列的前〃項和s〃求數(shù)列的通項

例I已知下面數(shù)列(〃〃｝的前〃項和求｛m｝的通項公式：

(1)S〃=2〃2—3〃；

(2)&=3"+。

n

⑶已知數(shù)列｛)滿足a1+2a2+3a3H---Fnan=2,則a,t=.

例2（2018全國卷I）記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，若S“=24+1,則§6=.

例3（2015?新課標全國卷I）S〃為數(shù)列｛詞的前〃項和.己知斯＞0,晶+2?〃=4S〃+3.

（1）求｛為｝的通項公式；

（2）設瓦=/卜，求數(shù)列｛九｝的前〃項和?

［玩轉跟蹤］

1.已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項和*=3〃2—2〃+1,則其通項公式為.

2.（2020?株洲模擬）設S”是正項數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且小和S”滿足：4S”=3+1）2（n=1,2,3,…）,則S產(chǎn)

3.（2020衡水2調(diào)）已知｛凡｝是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為S“，且S”為乙與丁的等差中項.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

（2）設勿=上2,求色｝的前n項和乙

凡

II

1

4.（2020衡水2調(diào)）已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足：q+3%+32/~1--1"3"un=---（〃wN）.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

17

（2）設。=3叫J.川），數(shù)列也｝的前n項和為S”,試比較S“與帚的大小，

題型二利用累加法

例4(1)(2015?江蘇)設數(shù)列｛斯｝滿足0=1,且知+1—a”=〃+l(〃￡N*),則數(shù)列1孩｝前10項的和為

［玩轉跟蹤］

1.已知數(shù)列｛詼｝中，。［=3,02=5,其前〃項和S〃滿足SH+S”—2=2SLI+2"T523),試求數(shù)列｛d｝的通項

公式.

題型三利用累乘法

例5己知數(shù)列｛小｝滿足：內(nèi)=12廠%“=如7(〃￡1^且〃22),則數(shù)列｛〃”｝的通項公式是.

［玩轉跟蹤］

1.數(shù)列｛%｝的前n項和Sn=^an(〃22),且ai=1,改=2,則｛m｝的通項公式aa=.

題型四構造法求通項公式

例6(1)已知ai=Lan+i=2an+lf求為;

(2)已知0=1,an+1=4+］，求alt.

(3)己知數(shù)列｛《,｝滿足4=1,an=34_］+2〃-3(〃N2),

(I)求證：數(shù)列｛4+〃｝是等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛4｝的通項公式。

⑷己知數(shù)列｛q｝滿足4=5,a,T=2a“+3”(〃￡N*),

(I)求證：數(shù)列｛4一3"｝是等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛4｝的通項公式。

rt

(5)已知數(shù)列｛〃〃｝滿足4=1,an=2%+2(?>2),

(I)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

T

(II)求數(shù)列｛q｝的通項公式。

［玩轉跟蹤］

1.已知數(shù)列｛4｝,S,是它的前〃項和，且S向=4q+2(〃￡)M,N=1

(I)設a=4用一求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；

(H)設配=/，求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列：

(III)求數(shù)列｛q｝的通項公式。

題型五分奇偶求通項公式

例7ai=l,。〃+|+?！?2〃,求數(shù)列｛?！埃耐椆?

［玩轉跟蹤］

1.(濰坊市2020高三3月模擬)已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且6=1母川+5”=。3,數(shù)列｛4｝

滿足4?be=34,且b］=l.

(I)求數(shù)列｛4｝,低｝的通項公式；

題型六數(shù)列性質(zhì)

考向(一)數(shù)列的周期性

例8在數(shù)列｛?。?，0=0,?！?1=興興匕則§2020=________.

1—y3an

考向(二)數(shù)列的單調(diào)性

例9已知等差數(shù)列｛期｝的前〃項和為S“(〃￡N"),且為=2〃+九若數(shù)列｛S“｝(〃27,〃￡曠)為遞增數(shù)列，

則實數(shù)人的取值范圍為.

考向(三)數(shù)列的最大(小)項

例10數(shù)列｛斯｝的通項則數(shù)列伍〃｝中的最大項是()

A.3y［ldB.19

c-L

」19竭

［玩轉跟蹤］

仁生，則4202。的值為（）

1.若數(shù)列｛?！埃凉M足ai—2,a+i—

n1（in

A.2B.-3

c.4D.1

2.若數(shù)列｛〃”｝的前n項和&=〃2—10〃（〃WN）則數(shù)列｛〃■“｝中數(shù)值最小的項是（）

A.第2項B.第3項

C.第4項D.第5項

［玩轉練習］

注色，則G020的值為（）

1.若數(shù)列滿足m2,an+i

A.2B.-3

c-4D.1

2.已知數(shù)列｛〃”｝滿足ai=l,an+i=足-2a”+l（〃￡N*）,則。2020等于（）

A.1B.0

C.2017D.-2017

3.設曲線人］）=V一|（〃￡10在點（1,1）處的切線與X軸的交點的橫坐標為X”，則即?3%3X4?X2019等于（）

20191

A-2020B?020

20201

C2021D2021

4

4.（多選）已知數(shù)列｛斯｝滿足小+產(chǎn)=1-A/I^N）,且0=2,則（）

On

A.6=11B.?2019=9

C.S6=3D.2s2019=2019

11?1.2.31,2,3,.9.]

5.（多選）已知數(shù)列｛〃”｝：2?3+3,4+4+4'…'io+io+io+…+10,…,若瓦一斯s+J設數(shù)列｛九｝的

前〃項和Sn,則（）

n

A.Cin=2

4n5/7

C，Sn~n+\D.S~..

nn+1

6.（2020?安徽江淮十校第三次聯(lián)考）已知數(shù)列｛?。凉M足色U，=2,可=20,則管的最小值為（）

A.4小B.4噂一1

C.8D.9

7.某數(shù)學大會會徽的主體圖案是由一連串直角三角形演化而成的（如圖），其中04=44=4刊3=~=44

=1,記04,042,O&，…，04的長度構成的數(shù)列為｛3｝（〃￡N",〃W8）,則｛?。耐椆絤=.（〃

￡N’，后8）

8.數(shù)列｛〃”｝的前〃項積為/,那么當〃22時，詼=.

9.已知數(shù)列的通項為a尸（玲（〃￡N*）,則數(shù)列｛詼｝的最小項是第項.

（一題兩空）在數(shù)列中,硒=%+〃（〃；］）,則班=

10.｛q｝ai=3,,通項公式小

11.（2019?衡陽四校聯(lián)考）已知數(shù)列（〃〃｝滿足“1=3,a〃+i=4a〃+3.

（1）寫出該數(shù)列的前4項，并歸納出數(shù)列｛如｝的通項公式；

(2)證明：3喑*=4.

UnI1

12.已知數(shù)列｛a〃｝的通項公式是a“=〃2+%+4.

（1）若攵=一5,則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？〃為何值時，為有最小值？并求出最小值；

（2）對于〃￡N*,都有?！?|>斯，求實數(shù)k的取值范圍.

13.已知二次函數(shù)?！猘x+a（a>0,x￡R）有且只有一個零點，數(shù)列｛斯｝的前〃項和*=逃〃）（〃￡叩）.

（1）求數(shù)列｛〃”｝的通項公式；

（2）設%=1—定義所有滿足CHC.+WO的正整數(shù)，〃的個數(shù)，稱為這個數(shù)列｛c〃｝的變號數(shù)，求數(shù)列

｛如｝的變號數(shù).

第4講數(shù)列求和專題

［玩前必備］

1.求數(shù)列的前〃項和的方法

⑴公式法

①等差數(shù)列的前〃項和公式

+?！??1),

Sn=-----2=網(wǎng)十^d.

②等比數(shù)列的前〃項和公式

(I)當夕=1時,Sn=fia\；

(II)當戶1時，S尸嗎3=牛幽

1—q1—q

(2)分組轉化法

把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.

(3)裂項相消法

把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.

(4)錯位相減法

主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導過程的

推廣.

(5)并項求和法

一個數(shù)列的前〃項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如如=(一1)%〃)類型，可采用兩項合并

求解.

例如，S〃=1002—992+982—972+…+22—12=(100+99)+(98+97)+???+(2-1)=5050.

2.常見的裂項公式

Q)(2〃―1)(2〃+1)=垢〃_］-2〃+1)；

［玩轉典例］

題型一錯位相減法求和

例I（天洋高考）已知｛斯｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，｛兒｝是等差數(shù)列，且。|=6=1,岳+濟=2內(nèi)，中

3b2=7.

⑴求｛r｝和｛仇｝的通項公式；

（2）設c〃=a〃為，〃￡N*,求數(shù)歹U｛金｝的前〃項和.

［玩轉跟蹤］

1.（2019?天津高考）設｛?。堑炔顢?shù)列，｛仇）是等比數(shù)列,公比大于0.已知0=歷=3,岳=的，b3=4s+3.

（1）求和S〃）的通項公式；

1,〃為奇數(shù),

（2）設數(shù)列｛金｝滿足c”="〃WH*求mci+a2c2H----Fa2“C2”（〃￡N*）.

花，〃為偶數(shù).

題型二裂項相消法求和

角度一：%=（〃+&；〃+〃）型

例2（新課標全國卷I）S”為數(shù)列｛?。那啊椇?已知源＞0,曷+2〃”=4S”+3.

（1）求｛斯｝的通項公式；

（2）設瓦=、"］,求數(shù)列｛6｝的前〃項和.

角度二："產(chǎn)市工后型

例3已知函數(shù)?幻=下的圖象過點(4,2),令斯=的不];可〃)，〃0N*.記數(shù)列]〃”｝的前〃項和為S”，則S2016

=()

A“2015-1B.、20I6-1

C.^/2017-1D.^/2017+1

角度三：斯=；^看型

例4正項數(shù)列｛〃“｝的前n項和S”滿足：髭一(/+〃一])S〃一(〃2+〃)=o.

⑴求數(shù)列伍”｝的通項公式??；

(2)令兀=滯為，數(shù)列｛瓦｝的前〃項和為7；.證明：對于任意的〃WN*,都有北*.

角度四:31+1管%)他｝為等比數(shù)列)型

例5(日照市高三3月模擬)已知數(shù)列｛4｝前，項和S”滿足：2Sn+an=].

(I)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(II)設紇=7_爭——r,數(shù)列｛2｝的前n項和為7；,求證：Tn<-.

(1+4)(1+~)4

例6（聊城市高三高考模擬（一））設%7；分別是數(shù)列｛%｝和｛4｝的前〃項和，已知對于任意〃eN*,

都有“=2S”+3,數(shù)列也｝是等差數(shù)列，且4=25心o=19.

（I）求數(shù)列｛叫和物“｝的通項公式；

（II）設q=—數(shù)列的前〃項和為R,求使凡>2017成立的〃的取值范圍.

角度五：分離常數(shù)型

例7（臨沂市高三2月份教學質(zhì)量檢測（一模））已知數(shù)列｛4｝的前n項和為S“，且

（I）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

（H）定義工=國+3，其中［耳為實數(shù)x的整數(shù)部分，㈤為x的小數(shù)部分，且0?3<1,記c.=

求數(shù)列｛%｝的前"項和

角度六：分奇偶裂為和型

例8（山東高考）已知等差數(shù)列｛3｝的公差為2,前〃項和為S“，且與,Sz，S」成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列伍”｝的通項公式；

4〃

⑵令兀二（一1）門-----，求數(shù)列｛兒｝的前〃項和Tn.

dnClfHI

題型三分奇偶分組求和

例9已知數(shù)列｛為｝的前〃項和&=空，〃￡N;

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設瓦=2為+(—1)%”求數(shù)列｛6｝的前2n項和.

例10(濰坊市高三下學期第一次模擬)己知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，其前八項和為S”。數(shù)列也｝是公比

大于0的等比數(shù)列，且偽=-2%=2,《+么=一1，S3+2b3=7.

(I)求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式;

2,〃為奇數(shù)

(H)令〃為偶數(shù)'求數(shù)列｛GJ的前〃項和7。

［玩轉練習］

1.數(shù)列1為｝的通項公式為斯=若該數(shù)列的前2項之和等于9,則2=()

A.80B.81

C.79D.82

2.若數(shù)列｛斯｝的通項公式是aa=(-1)"(3及-2),則--l~aio=()

A.15B.12C.-12D.-15

3.在數(shù)列｛斯｝中，若如+］+(—1)%=2〃一1,則數(shù)列｛如｝的前12項和等于()

A.76B.78

C.80D.82

4.已知數(shù)列｛%｝,若小+1=詼+32（〃￡，）,則稱數(shù)列｛如｝為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列｛仇｝為“凸數(shù)列”，且

加=1,岳=一2,則數(shù)列｛瓦｝的前2020項和為（）

A.5B.-5

C.0D