高三數(shù)學(xué)1-第七章 立體幾何 (三)

第七章立體幾何

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積及體積

［備考領(lǐng)航］

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀關(guān)聯(lián)考點(diǎn)核心素養(yǎng)

1.利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間

圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的

結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

1.直觀想象.

簡單物體的結(jié)構(gòu).2.空間幾何體的表面積.

2.數(shù)學(xué)建模.

2.了解球、柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)3.空間幾何體的體積.

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算

算公式（不要求記憶）.4.與球有關(guān)的切、接問題

3.會(huì)用斜二側(cè)法畫出簡單空間圖形（長方體、

球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的直觀圖

知識(shí)隧:點(diǎn)交實(shí)重點(diǎn)準(zhǔn)逐點(diǎn)清結(jié)論要牢記課前自修

［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］

重點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

圖形

ABAB

底面互相平行且相等多邊形互相平行且相似

相交于一點(diǎn),

側(cè)棱互相平行且相等延長線交于一點(diǎn)

但不一定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

［提醒］特殊的四棱柱

底面4例棱叁聲底面為

四棱柱平行四位形平行六面體直平行六面體矩形’

M懸^533三

上述四棱柱有以下集合關(guān)系：｛正方體｝（正四棱柱｝｛長方體｝（直平行六面體｝｛平

行六面體｝｛四棱柱｝.

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

圖形E61A?A@

互相平行且

長度相等且延長線交

母線相等，垂直

相交于一點(diǎn)于一點(diǎn)

于底面X

全等的全等的

軸截面全等的矩形圓

等腰三角形等腰梯形

側(cè)面

矩形扇形扇環(huán)

展開圖

［提醒］球的截面的性質(zhì)

（1）球的任何裁面都是圓面；

（2）球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面；

（3）球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為

［逐點(diǎn)清］

1.（多選）下列說法正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形

D.用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面

解析：選ADA正確；R不正確，例如六棱柱的相對(duì)?側(cè)面也互相平行；C不正確，棱

臺(tái)的側(cè)枝長可能不相等；D正確，用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面，故選A、

D.

2.（必修2第8頁A組1（1）通改編）在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為.（填

寫所有正確的序號(hào)）

解析：由棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知③⑤是棱柱.

答案：③?

重點(diǎn)二直觀圖

1.畫法：常用斜二測(cè)畫法.

2.規(guī)則：（1）原圖形中x軸、），軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸、軸的夾角為

45。（或135。），z'軸與x'軸和<軸所在平面垂直；

（2）原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線

段在直觀圖中保持原長度丕變，平行于J軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

［逐點(diǎn)清］

3.（共修2第19頁練習(xí)3用改編）如圖，直觀圖所表示的平面圖形是

A.正三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.直角三角形

解析：選D由直觀圖中A'C//y'軸，B'C〃/軸，還原后4C〃y軸，BC//

x軸，所以△A8C是直角三角形，故選D.

重點(diǎn)三空間幾何體的表面積與體積

1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

n;

側(cè)面，貨封

展開圖-----J然翳’

側(cè)面Sisfe?=

SMtt?=27ir/SHtt?=7rrZ

積公式)1

［提醒］（1）幾何體的例面積是指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面

積之和；

（2）圓臺(tái)、圓柱、圓錐的轉(zhuǎn)化

當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)，得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí)，

得到圓錐，由此可得:

SDum=27rr/圓自制=jr(r+r')/?SBM?=7rr/.

2.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）S賽面積=S初+2S底V=Sh

V=^Sh

錐體（棱錐和E］錐）S禽+S底

J

V={(S上+

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S衣面幟=S例+S上+S下

s下+qs上?s下)〃

4

球S=4KR2y=Q7rR3

J

［逐點(diǎn)清］

4.（興修2第27頁練習(xí)1題改編）已知圓錐的表面積等于12幾cm2,其側(cè)面展開圖是一

個(gè)半圓，則底面圓的半徑為（）

A.1cmB.2cm

n3

C.3cmD.cm

解析:選B由題意，得S*=w2+"7="2+w2r=37rr2=127r,得戶=4,所以r=2（cm）.

5.（必傳2案37頁2皿改府）一個(gè)半徑為21的球形冰塊融化在一個(gè)半徑為14的圓柱形

的水桶內(nèi)，則水面的高度為.

解析：設(shè)水面的高度為人則吟生=;rX142Xm解得刀=63,所以水面高度為63?

答案：63

6.（必修2第28頁A組3題改G）如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱

的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比

為.

解析：設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a,b,c,它截出棱錐的體積為

%=；X；X%x/x；c=&bc,剩下的幾何體的體積Vi=abc—^abc=,所以Vi:

%=1：47.

答案：1：47

【記結(jié)論?提速度I

［記結(jié)論］

1.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系為S直現(xiàn)圖

源圖形,S原用形=245sJ1WEB.

2.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

⑴正方體的棱長為a,球的半徑為R：

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2/?=小a；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2K=業(yè).

⑵若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b,c,外接球的半徑為R,則2R=

yja2-^-b2-\-c2i

⑶正四面體內(nèi)切球半徑是高的上外接球半徑是高的去兩半徑之比為1:3.

［提速度］

L如圖所示的直觀圖中，O'A'=0'B1=2,則其平面圖形的

面積是（）

A.4B.4y[2

c.2V2D.8

解析：選AS摩△A0/：,=2，iSz\*o'H,

=2V2x1x2X2Xsin450=4.

2.⑵）20?天津高考）若棱長為R3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

)

A.127rB.247r

C.367rD.144n

解析：選C設(shè)外接球的半徑為R,易知2K=45X2小=6,所以R=3,于是表面積S

=4TTR2=36處故選C.

3.若正四面體的棱長為小則其內(nèi)切球的半徑為.

解析：因正四面體的棱長為a,則正四面體的高為中a.

因正四面體內(nèi)切球半徑是高的;，即r邛a.

答案:常

考點(diǎn)分:類:突期理解透規(guī)律明變化究其本課堂講練

1號(hào)點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

［基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)］

［題組練透］

1.給出下列命題:

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；i

②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成

O*

的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)

誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于V

一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.

2.如圖，長方體A8CZX4'B'CD'中被截去一部分，其中,剩下的幾

何體是（）

A.棱臺(tái)B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

解析：選C由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.故選C.

3.把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）

A.10B.l（h/3

C.l（h/2D.5A/3

解析：選B設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為瓦因?yàn)榘雸A的弧長等于圓錐的底面周長，半

圓的半徑等于圓錐的母線，所以2"=20江，所以r=10,所以h=

Aj202-102=l（h/3.

4.（2020?全國卷I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的

形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于

該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值

為（）

1小一1

A嚀B.

C甲D.學(xué)

解析：選C設(shè)正四棱錐的高為心底面正方形的邊長為射，斜高為初，依題意得於

1+下

=1X2〃X/，即h2=am①，易知標(biāo)+a2=m2②，由①②得相」\*a，所以愛=~\

//JLfCl

=呼故選c.

［練后悟通］

空間幾何體概念辨析題的常用方法

緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系

定義法

或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例

反例法

即可

I_I________________.空間幾何體的表面積

［基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)］

［題組練透］

1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為?！?。2,過直線01。2的平面截該圓柱所得的

截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12A/27TB.12元

C.隊(duì)3D.107T

解析：選B設(shè)圓柱的軸截面的邊長為X,

則由/=8,得x=2也，

???S圈松.=25度+S削=2X7rX（yi）2+27iX>/iX2近=12兀.故選B.

2.（2021?河南周口模擬）如圖，在三棱柱中，44」底面占隈［71。

ABC,AR±BCtAAt=AC=2,直線4c與側(cè)面44山由所成的角為3。。，'、（

則該三棱柱的側(cè)面積為（）IMc

A.44-472B.4+46

C.12D.8+4/

解析：選A連接AiB（圖略）.因?yàn)锳4i_L底面A〃C,則_LBC,又

=4

所以"CJ"平面AA山山，所以直線AtC與側(cè)面AA/山所成的角為NCA山=30°.又AAi

=AC=2f所以4。=2/，屁=巾.又ABLBC,則A月=陋，則該三棱柱的側(cè)面積為26

X2+2X2=4+472.

3.己知圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1：4：4,若母線長為10,則圓臺(tái)的表面積

為()

A.81冗B.100n

C.1687rD.1697t

解析：選C圓臺(tái)的軸截面如圖，設(shè)上底面半徑為,，下底面半徑

為R,高為九母線長為！，

則它的母線長為/=\用2+(/?—/)2=，(4r)2+(3r)2=5r=10,

所以r=2,K=8.

故Sa=7r(R+r)/=7r(8+2)X10=100兀，

S*=S制+幾產(chǎn)+幾7?2=io。7r+4江+647r=1687r.

4.如圖，設(shè)正三棱錐S?A8C的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高

SO=3,則此正三棱錐的表面積為.

解析：如圖，設(shè)正三梭錐的底面邊長為生斜高為》,過點(diǎn)。作OE

JLA5,與AB交于點(diǎn)E,連接SEt則SE±ABtSE=h'.

VS惻=2S度,

/.’=坐.2x2.

???。=巾//.

222

?：SO±OEf：.SO-^OE=SE.

???32+僧X?}=32.

h'=2由，*.a=y[ih'=6.

；?S戴=^~。2=^~義G=9\B，S*(=2S底=

，S*=S創(chuàng)+S底=卬3+186=275,

答案：27小

［練后悟通］

求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求

的表面積多面體的表面積

求旋轉(zhuǎn)體可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要

的表面積搞清它們的底面半徑、母線長與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系

求不規(guī)則

通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱

幾何體的

體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積

表面積

19A￡1空間幾何體的體積

［定向精析突破］

考向1直接利用公式求體積

［例1］(1)(2021?全01就一考試模擬演練)圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的

球面上，其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺(tái)的體積為.

(2)(2021?江蘇木組聯(lián)學(xué))已知正三棱柱ABC-A\B\C\的各棱長均為2,

點(diǎn)。在棱AA上，則三棱錐OI31G的體積為________./：\|

球的直徑分/」廣、“

［解析］(1)截面圖如圖所示，因?yàn)閳A臺(tái)下底面半徑為5,

為10,則圓臺(tái)的下底面為過球心的棧面，OC=OB=5,O'C=4,Z

~~r

則圓臺(tái)的高為3,，=；MSi+甄瓦+§2)=25元+20萬+167r

、、....一

=61兀

H

a

(2)如圖，取3c中點(diǎn)O,連接AO.

,?,正三棱柱的各校長均為2,???AC=2,OC、=1,則AO=6.

???A4〃平面BCGBi,

???點(diǎn)O到平面BCGBi的距離為小.

又???SZk85G=；X2X2=2,

???如531cL：X2X小一

［答案］(1)6171(2)乎

考向2割補(bǔ)法求體積

［例2］如圖，在直角梯形ABC。中，AD=AB=4fBC=2t沿中位線E尸折起，使得

NAEB為直角,連接AB,CD,則所得的幾何體的體積為

［解析］法一（分割法）：如圖，過點(diǎn)C作CM平行于A8,交AO于點(diǎn)

作CN平行于8M交E廣于點(diǎn)N,連接MN.由題意可知A5CM,8￡NC都是

矩形，AM=DM=2fCN=2,FN=l,AB=CM=2?所以SXEB=；X2X2

=2,

因?yàn)榻孛鍯MN把這個(gè)幾何體分割為直三棱柱ABE-MCN和四棱錐

GMNFD,又因?yàn)橹比庵鵄”￡?MCN的體積為必=5△八B『AM=；X2X2X2=4,3棱律

C-MNFQ的體積為V2=1s?MNFDHE=^X1X（14-2）X2X2=2,所以所求

幾何體的體積為％+%=6?

法二（分割法）：如圖，連接AC,EC,則幾何體分割為四棱錐C-ADFE

和三棱錐GA"旦因?yàn)閂C-ADFE=^X—X2^X2=^,Vc-/iBE=2X2X2^

X2=W，所以幾何體的體枳為Vc-ADFE-^-VC-ABE=^+1=6.

法三（補(bǔ)形法）：如圖，延長BC至點(diǎn)M,使得CM=2,延長E尸至點(diǎn)N,

使得尸N=l,連接DM,MN,DN,得到直三棱柱所以幾何體

的體積等于直三棱柱ABE-DMN的體積減去四棱錐D-CMNF的體積.

因?yàn)閂ABE-DMN=（j2X2）X4=8,

V…“=9（號(hào)X2）X2=2,

所以幾何體的體積為VAHE-DMN~VD-CMNF=8-2=6.

［答案］6

考向3等體積法求體積

［例3］已知正方體A"C6A山1Goi的棱長為2,揚(yáng)，N分別為^叢,A8的中點(diǎn)，則

三棱錐A-NMDi的體積為

［解析］如圖，??,正方體AbC6/L31Gd的棱長為2,M,N分別

N8

為BB\,48的中點(diǎn)，

ASzuw=1x1X1=1,

:.也?NMDi=VDI-4WV=1X；X2=G.

3乙S

［答案】I

［解題技法］

1.處理體積問題的思路

）——,「盆如展畝寫海:花底來示暮喜纂山耕而正畝惠寂浮;

轉(zhuǎn)I容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換：

:為容易看出并容易求解的商：

二木示疝則3無存記編應(yīng)元不益:單篇兀不正乖?

IA尸于計(jì)算；

「花不元存不展入二不買元存正利而看正算二不三羲7

拼—?錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱、將一個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四校：

—［柱、遷臺(tái)為雄,這些梆是拼補(bǔ)的方法：

2.求體積的常用方法

直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算

首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)

割補(bǔ)法

則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算

選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任

等體積法

一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

［跟蹤訓(xùn)練］

1.如圖所示，已知三棱柱A8G4/1G的所有梭長均為1,且A4_L

底面A3C,則三棱錐BiMBG的體積為（）

A.B.

124

c?興*4

解析：選A三棱錐協(xié)-ABG的體積等于三棱錐AMMG的體積，三棱錐A用1G的

高為坐底面積為;，故其體積為1x］x雪一立

12,

2.如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2由cm,側(cè)面積為873

cm?,則它的體積為cm°?

解析：記正四棱錐ZV4BC。的底面中心為點(diǎn)O,棱4〃的中點(diǎn)為〃,

連接尸O,HOtPHt則POJ■平面ABCD,

因?yàn)檎睦忮F的側(cè)面積為86cn?,所以85=4X；X26XPH,解得?”=2,在Rt

△P"O中，H0=6所以尸0=1,所以％M5c/）=；?S￡楨A8c/）?PO=4cm3.

答案：4

3.在梯形44CD中，乙48c=果AD//BCf5。=24。=14%=2.將梯形/13。。繞40

所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）

A初R也

A?33

C.粵D.In

解析：選C如圖所示，過點(diǎn)&作3c的垂線,，垂足為".則由旋轉(zhuǎn)體的定義/C

可知，該梯形繞4。所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個(gè)圓/

。4....\H

柱挖去一個(gè)圓錐.其中圓柱的底面半徑K=A8=1,高兒=2"C=3C=2,其體

積％=開曉加=江義12X2=27：；圓錐的底面半徑r=O〃=l,高h(yuǎn)?=HC=l,其體

AB

積匕=%/人2=』rXDx1=*.故所求幾何體的體積為V=V|—V2=27r—?=^.

—■與球有關(guān)的切、接問題

［定向精析突破］

考向1幾何體的外接球

［例4］（2021?福州市適應(yīng)性考試）設(shè)三棱柱ABCAiBiG的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC

=2,N84c=90。，44=36，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是

（）

A.24元B.187r

C.267rD.16n

［解析］依題意得三棱柱A3C?43iG的外接球即底面為正方形（邊長為2）、高為36的

長方體的外接球，故該球的直徑為長方體的體對(duì)角線，設(shè)該球的半徑為R,則有（2馬2=22

+22+（3色尸=26,故該球的表面積為4717?2=26匹故選C.

［答案］C

考向2幾何體的內(nèi)切球

［例5］（2020全國卷川）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大

的球的體積為.

［解析］易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐依及其內(nèi)切球

B

Ri

。如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則sin所以。尸=3R,所以尸月

=4R='?加一8疹=、32—十=26,所以“乎，所以內(nèi)切球的體積y=*rR3=乎小即

該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為乎7T.

［答案］e

［規(guī)律探求］

考向1是幾何體的外接球：一個(gè)多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外接問題，

解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等

于球的半徑.

看個(gè)性

考向2是幾何體的內(nèi)切球：求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割

為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積

等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑

解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面

幾何問題求解，其解題的思維流程是：

如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；：

匕二廠如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑：

找共性A..............................................

,V：選沿最佳角度作出截面（要使這個(gè)粒面盡可能多的包含：

作截面球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），：

1H1

n;達(dá)到空間問題平面化的目的

求半徑、」根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球半徑的方程/

下結(jié)論［并求解：

［跟蹤訓(xùn)練］

1.已知圓柱的高為2,底面半徑為、。，若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上,

則這個(gè)球的表面積等于（）

A.47rB.竽江

C.孝元D.167r

解析：選D如圖，由題意知圓柱的中心。為這個(gè)球的球心，于是，

球的半徑r=OB=ylOA2^-AB2=正［不歷=2.故這個(gè)球的表面積S=」

16兀故選D.

B

2.（2020金國卷工）已知4,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，。。［為

△ABC的外接圓.若。Oi的面積為4北，AB=BC=AC=OOlt則球。的表面積為()

A.647rB.487r

C.367rD.327r

解析：選A如圖所示，設(shè)球。的半徑為R,。。1的半徑為r,因

為。Oi的面積為4&所以47r=加巴解得r=2,又A8=BC=AC=00i,

所以一^=2,，解得AB=2小,故001=275,所以R2=OOHP=

(25)2+22=16,所以球0的表面積5=4TTR2=64兀故選A.

3.在四棱錐/M3CD中，底面ABCO是邊長為2°的正方形，PD_L底面A8CZ),且

PO=2a.若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為.

解析：由題意知，當(dāng)球與四棱錐各面均相切，即內(nèi)切于四棱錐時(shí)球

的半徑最大.作出其側(cè)視圖，如圖所示.易知球的半徑「=(2—6)a.

2Q卜一/

答案：(2—y/2)a\

D(c)2aA(B)

微專題(十四)思想方法

化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想——立體幾何中的最值問題

［典例1］正四面體4BCO中，笈是AO的中點(diǎn)，P是棱4。上一動(dòng)點(diǎn)，8P+PE的最

小值為由，則該四面體內(nèi)切球的體積為.

［解析］如圖①所示，在正方體中作出一個(gè)正四面體4RC7),

將正△ARC沿AC邊翻折，使平面A8C與平面ACD在同一平面內(nèi)，如圖②.

要使得8P+PE最小，則8,P,三點(diǎn)共線，此時(shí)8石=亞.

設(shè)正四面體的校長為X,在△ASE中，由余弦定理可得

(V14)2=x24-m2-2-x-^-cos^,解得k26.

118

所以正方體的校長為2,正四面體的體積Vi?*^=V^#-4X-X-X2X2X2=T.

設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r,由等體積法可得V3面體=4X；S△.叱Xr,

整理得g=4x!x/X；X(26)2疝6

JJJ

解得r=坐.

所以該四面體內(nèi)切球的體積V

JO\y//

【答案］噂

［點(diǎn)評(píng)］本題為典型的表面距離最值問題，滲透了空間問題平面化的思想，考查了正四

面體體積與內(nèi)切球半徑的計(jì)算,考查了空間思維及轉(zhuǎn)化能力，體現(xiàn)了等體積法的應(yīng)用.本

題還可以采用常規(guī)方法求解正四面體的體積，即利用正四面體體積公式V=*a3(a為正四

面體的枝長)求解.

［典例2］(1)如圖所示，菱形ABCD的邊長為2,現(xiàn)將人48沿對(duì)

角線AC折起使平面AC)_L平面ACS,則此時(shí)空間四面體A5C0'

體積的最大值為()

279

C.1D.平

14

(2)如圖所示，在長方體A8C￡>?A由Cid中，底面/13CD是邊長為

3的正方形，側(cè)棱AAi=a(“>3),M是5c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是矩形DCCiDi

上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，且滿足乙4PQ=NMPC,則三棱錐尸田CD的體積的

最大值是.

［解析］(1)取AC中點(diǎn)O,連接》。(圖略).

設(shè)NA5C=”，則夕￡(0,n)t

所以D'O=ADCOST=2COST,

SA4?C=2X2X2sina=2sina.

14a8.a,a8

因?yàn)镈'■平面所以ABCDJ=一

OJABC,V^'=3SN48CXO'O=Tsinacosr=-sin-cos23

非一sin顆《).

sin

設(shè)r=s靖，則ovyi,v^A^ABCD'=1(/—^).

QQ

設(shè)危)=利一朽，o<r<i,則，⑺=3(i—3產(chǎn))，OWL

所以當(dāng)ovy半時(shí)，r(￡)>0,用)單調(diào)遞增；當(dāng)#vyi時(shí)，，⑺VO,用)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)f=申時(shí)，人。取得敢大值?誓.

所以四面體ABCD'體積的最大值為吧3.故選A.

(2)由題意知A&_LOP,CP±CM.

因?yàn)镹APO=NMPC,

所以RtAADP^RtAMCP.

因?yàn)椤ㄊ?C的中點(diǎn)，

Anpn

所以布=斤=即PD=2PC.

iVJlL?1L/2,

作PO_LCO于點(diǎn)0(圖略)，

設(shè)OO=x,P0=ht則5：2+/產(chǎn)=24(3—?+力2,化離得3/產(chǎn)=一3爐+24X一36,0★;《＜3.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知當(dāng)x=3時(shí)，3爐取最大值9,所以力的最大值為由.

因?yàn)樵陂L方體ABCDA/iG5中，POJ■平面AC。，所以三棱錐P-BCD的體積的最大

值V=1x|x3X3xV3=^.

［答案］(1)A(2幫

［點(diǎn)評(píng)］這兩道題均考查了函數(shù)在研究立體幾何最值問題中的工具性作用.本例⑴是

以角為變量，建立三角函數(shù)，既考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用，又考查了立體幾何知識(shí).本

例⑵是以線段的長為變量，建立代數(shù)函數(shù)，考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.

［課時(shí)過關(guān)檢測(cè)］U

A級(jí)---基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.將一個(gè)等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()

A.一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐B.兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱

C.兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)D.一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓

錐

解析：選D從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線

把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞

它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱，兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖

所示.

2.已知圓錐的高為3,底面半徑長為4,若一球的表面積與此圓錐的側(cè)面積相等，則

該球的半徑長為()

A.5B.^5

C.9D.3

解析：選B???圓錐的底面半徑A=4,高力=3,??.圓錐的母線，=5,???圓錐的側(cè)面積

5=江￡/=20兀設(shè)球的半徑為r,I'J4^=2071,???「=4?故選B.

3.（2020?全國卷U）已知△ABC是面積為孥的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面

上.若球。的表面積為16m則。到平面A8c的距離為（）

A.，5B.T

C.1D.手

解析：選C由等邊三角形ABC的面積為乎，得當(dāng)4￥=乎，得48=3,則

的外接圓半徑r=：X興43=興48=<5.設(shè)球的半徑為R,則由球的表面積為16處得4冗解

2

=16元，得R=2,則球心O到平面的距離d=y]R-r=\f故選

C.

4.如圖，在直四棱柱ARC'?！毕?。孫中，底面4BCO是平行四邊形,

點(diǎn)E是棱8a的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是棱CG上靠近G的三等分點(diǎn)，且三棱錐

Ai-AEF的體積為2,則四棱柱A5C6A由IGOI的體積為（）

A.12B.8

C.20D.18

解析：選A設(shè)點(diǎn)F到平面ABBiAx的距離為ht由題意得必1-A￡*=VRANE.又

VF-AiAE=1S△A\AE-h=\X=^（AAvABYh=zS四邊形ABB\A\'h=z

VABCD-AiBiCiDi,所以VAliCD-AxBiCiDi=6VA1-AEF=6X2=12.所以四棱柱

ABCD-AXBXC\DX的體積為12.故選A.

5.（多選）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)

C.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，側(cè)面是等腰梯形

解析：選ABD對(duì)于A,棱柱的側(cè)面不一定全等，故錯(cuò)誤；對(duì)于%由棱臺(tái)的定義可

知只有當(dāng)平面與底面平行時(shí)，所截部分才是棱臺(tái)，故錯(cuò)誤；對(duì)于C,若三棱錐的三條側(cè)棱

兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直，比如正方體中共點(diǎn)的三個(gè)相鄰平面，故正確；對(duì)于D,

棱臺(tái)的側(cè)面不一定是等腰梯形，故錯(cuò)誤.綜上，A、B、D錯(cuò)誤，故選A、B、D.

6.（多選）（2021?山東街沂模擬）已知A,B,。三點(diǎn)均在球。的表面上，AB=BC=CA

=2.旦球心O到平面ABC的距離等于球半仔的!.則二列結(jié)論正確的是（）

A.球。的表面積為67r

B.球。的內(nèi)接正方體的棱長為1

C.球O的外切正方體的棱長*

D.球。的內(nèi)接正四面體的棱長為2

解析：選AD設(shè)球。的半徑為的外接圓圓心為0',半徑為R.易得R=平.

4

-

因?yàn)榍蛐腛到平面A8C的距離等于球。半徑的;，所以-3得戶=*所以球。的

0

表面積SudTr/udTrX與uGTr,選項(xiàng)A正確；球。的內(nèi)接正方體的校長。滿足代。=2,，顯

然選項(xiàng)B不正確；球O的外切正方體的棱長力滿足5=2r,顯然選項(xiàng)C不正確；球。的內(nèi)

按正四面體的棱長c滿足c=4gr=4gx噂=2,選項(xiàng)D正確.

?JJ/

7.一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3cm和8cm,若兩底面圓心的連線長為12cm,

則這個(gè)圓臺(tái)的母線長為cm.

解析：如圖，過點(diǎn)A作A