專題1.4 絕對(duì)值【八大題型】（舉一反三）（人教版2024）（解析版）

專題1.4絕對(duì)值【八大題型】

【人教版2024】

【題型1絕對(duì)值的概念辨析】................................................................................................................................1

【題型2求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值】................................................................................................................................3

【題型3已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值求該數(shù)】................................................................................................................4

【題型4化簡(jiǎn)絕對(duì)值】............................................................................................................................................6

【題型5由絕對(duì)值的非負(fù)性求值】........................................................................................................................7

【題型6解絕對(duì)值方程】........................................................................................................................................9

【題型7由絕對(duì)值的幾何意義求最值】..............................................................................................................10

【題型8絕對(duì)值的應(yīng)用】......................................................................................................................................13

知識(shí)點(diǎn)1：絕對(duì)值

1）絕對(duì)值的概念：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作a。

2）絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。

3）絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。

即：（1）如果a>0，那么a=a；（2）如果a=0，那么a=0；（3）如果a<0，那么a=-a．

ìa(a>0)

?ìa(a30)ìa(a>0)

可整理為：a=í0(a=0)，或a=í，或a=í。

??-a(a<0)?-a(a￡0)

?-a(a<0)

4）絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或0．即：|a|30。

【題型1絕對(duì)值的概念辨析】

【例1】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）符號(hào)語言“|?|=??(?<0)”轉(zhuǎn)化為文字表達(dá)，正確的是（）

A．一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身

B．負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)

C．非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身

D．0的絕對(duì)值等于0

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件?<0依次判斷即可.

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【詳解】∵?<0，

∴a為負(fù)數(shù)，

??表示a的相反數(shù)，

∴|?|=??(?<0)表示：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù).因此B選項(xiàng)正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值，熟練掌握絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1】（23-24七年級(jí)·陜西漢中·階段練習(xí)）若|??|=??，下列?的取值能使這個(gè)式子成立的是（）

A．?1B．1C．2D．?取任何數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得到??>0，即可判斷．

【詳解】解：∵|??|=??，

∴??>0，

∴?<0，選項(xiàng)中只有?1符合，

故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，零的絕對(duì)值是零，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反

數(shù)，正確掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式1-2】（23-24·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法正確的有（）

（1）有理數(shù)的絕對(duì)值一定比0大；

（2）有理數(shù)的相反數(shù)一定比0小；

（3）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等；

（4）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】A

【詳解】分析:根據(jù)0的絕對(duì)值為0，互為相反數(shù)的絕對(duì)值相等，即可解答．

詳解:(1)有理數(shù)的絕對(duì)值一定比0大，錯(cuò)誤，例如，0的絕對(duì)值為0；

(2)有理數(shù)的相反數(shù)一定比0小，錯(cuò)誤，例如，0的相反數(shù)為0；

(3)如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等或和相反數(shù)，故錯(cuò)誤；

(4)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，正確．

正確的有1個(gè).

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故選A.

點(diǎn)睛:本題考查了絕對(duì)值,相反數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟記絕對(duì)值的性質(zhì),相反數(shù)的性質(zhì)．

【變式1-3】（23-24七年級(jí)·寧夏吳忠·期中）任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值在數(shù)軸上的位置是（）

A．原點(diǎn)右邊B．原點(diǎn)兩旁

C．原點(diǎn)及其右邊D．整個(gè)數(shù)軸

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)及絕對(duì)值的定義解答即可．

【詳解】解：∵任何非0數(shù)的絕對(duì)值都大于0，

∴任何非0數(shù)的絕對(duì)值所表示的數(shù)總在原點(diǎn)的右側(cè)，

∵0的絕對(duì)值是0，

∴0的絕對(duì)值表示的數(shù)在原點(diǎn)．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值及數(shù)軸的定義，解答此題的關(guān)鍵是熟知以下知識(shí)：（1）數(shù)軸上原點(diǎn)右邊表示

的數(shù)都大于0，原點(diǎn)左邊表示的數(shù)都小于0；（2）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的

相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．

【題型2求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值】

【例2】（23-24七年級(jí)·上海寶山·期末）用“>”或“<”連接|?3.5|?33．

|5|

【答案】<

【分析】本題考查絕對(duì)值、有理數(shù)的大小比較，先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法求解即可．

3

【詳解】解：|?3.5|=3.5，?33=3=3.6，

|5|5

∵3.5<3.6，

∴|?3.5|<?33，

|5|

故答案為：<．

【變式2-1】（23-24七年級(jí)·河南信陽·階段練習(xí)）?2024的絕對(duì)值是（）

11

．?2024．．．?

AB2024C2024D2024

【答案】B

【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相

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反數(shù)即可得出答案．

【詳解】解：|?2024|=2024，

故選：B．

【變式2-2】（23-24七年級(jí)·吉林延邊·階段練習(xí)）在下列數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是（）

A．0B．?1C．?2D．1

【答案】C

【分析】本題考查的是絕對(duì)值與有理數(shù)的大小比較，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

先計(jì)算出各選項(xiàng)的絕對(duì)值，再進(jìn)行大小比較即可．

【詳解】解：∵|0|=0,|?1|=1,|?2|=2,|1|=1，

而2>1>0，

∴|?2|>|?1|=|1|>0，

故選：C．

【變式2-3】（23-24·內(nèi)蒙古通遼·二模）0.2的相反數(shù)的絕對(duì)值為（）

A．?5B．0.2C．5D．?0.2

【答案】B

【分析】本題考查絕對(duì)值、相反數(shù)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)以及相反數(shù)

的定義進(jìn)行解題即可．

【詳解】解：0.2的相反數(shù)是?0.2，

|?0.2|=0.2，

則0.2的相反數(shù)的絕對(duì)值為0.2．

故選：B．

【題型3已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值求該數(shù)】

【例3】（23-24·浙江金華·七年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)數(shù)x的相反數(shù)的絕對(duì)值為3，則這個(gè)數(shù)是（）

A．3B．?3C．|??|D．±3

【答案】D

【分析】本題考查相反數(shù)，絕對(duì)值，根據(jù)相反數(shù)和絕對(duì)值的定義即可求解．

【詳解】∵一個(gè)數(shù)x的相反數(shù)的絕對(duì)值為3，即|??|=3，

∴??=±3，

∴?=±3．

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故選：D．

【變式3-1】（23-24七年級(jí)·四川眉山·階段練習(xí)）一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是

（）

A．正數(shù)B．零C．負(fù)數(shù)D．非正數(shù)

【答案】D

【分析】此題主要考查絕對(duì)值性質(zhì)，明確正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)，

此題在此基礎(chǔ)上判斷正數(shù)、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值即可．

【詳解】解：∵正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值等于0也是它的相反數(shù)，

∴一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)和0，即非正數(shù)，

故選：D．

【變式】（七年級(jí)湖北襄陽期中）一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是2，那么這個(gè)數(shù)為．若｜｜｜｜則

3-223-24··3-5=-a

a=

22222

【答案】或??或±或或±5

33/33/35-5/-55/

2222

【分析】與原點(diǎn)的距離為的點(diǎn)有兩個(gè)，從而可得或?的絕對(duì)值為,把=化為=5,結(jié)合與原

3333|?5||??||?|

點(diǎn)的距離為5的點(diǎn)有兩個(gè)，從而可得?的值.

222

【詳解】解：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是，那么這個(gè)數(shù)為或?,

333

∵|?5|=|??|,即|?|=5,

∴?=5或?=?5.

22

故答案為：或?,或

335-5

【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值的含義，已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，求這個(gè)數(shù)，掌握絕對(duì)值的含義是解題的關(guān)鍵.

5

【變式3-3】（23-24七年級(jí)·河北唐山·階段練習(xí)）?的絕對(duì)值的相反數(shù)是．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的絕對(duì)

3

值等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的相反數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是．

5

【答案】?0

3

【分析】根據(jù)已知及絕對(duì)值、相反數(shù)的性質(zhì)，來確定即可．

55

【詳解】解：?的絕對(duì)值是，

33

55

的相反數(shù)是?；

33

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設(shè)這個(gè)數(shù)為a，則由題意得|-a|=-|a|，即|a|=-|a|，

∴|a|=0即a=0，

5

故答案是：?，0．

3

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、相反數(shù)的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)2：化簡(jiǎn)絕對(duì)值

①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；②將絕對(duì)值符號(hào)改為小括號(hào)：若正數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)不變（即本

身）；若負(fù)數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)改變（即相反數(shù)）；③去括號(hào)：括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變；

括號(hào)前是“－”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)；④化簡(jiǎn)。

注意：注意改絕對(duì)值符號(hào)時(shí)與去括號(hào)時(shí)是否需要變號(hào)，且變號(hào)的正確性。

【題型4化簡(jiǎn)絕對(duì)值】

【例4】（23-24七年級(jí)·陜西漢中·階段練習(xí)）如果|?|=5，|?|=4，且?<?，求?+?的值．

【答案】?+?的值為?9或?1

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)“正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值等于

零”，由此即可求解．

【詳解】解：∵|?|=5，|?|=4，

∴?=±5,?=±4，

∵?<?，

∴?=?5,?=±4，

當(dāng)?=?5,?=?4時(shí)，?+?=?5+(?4)=?9；當(dāng)?=?5,?=4時(shí)，?+?=?5+4=?1；

∴?+?的值為?9或?1．

【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

【變式4-1】（23-24七年級(jí)·湖北孝感·階段練習(xí)）若0≤?<1，則|?|+|??1|=．

【答案】1

【分析】本題考查絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，先根據(jù)題意確定??1<0，然后化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可求解．

【詳解】解：∵0≤?<1，

∴??1<0，

∴|?|+|??1|=?+1??=1，

故答案為：1．

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【變式4-2】（23-24七年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）若?<0，則|??(??)|等于（）

A．??B．0C．2?D．?2?

【答案】D

【分析】本題考查整式的運(yùn)算，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，根據(jù)去括號(hào)的法則，合并同類項(xiàng)的法則，絕對(duì)值的意義，進(jìn)

行計(jì)算即可．

【詳解】解：∵?<0，

∴|??(??)|=|?+?|=|2?|=?2?；

故選D．

【變式4-3】（23-24七年級(jí)·四川綿陽·期中）已知有理數(shù)a、b、c的相應(yīng)點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上的位置如圖

所示，其中??=??．化簡(jiǎn)??|?+?|+|???|+|???|+|?+?|．

【答案】3?

【分析】本題考查數(shù)軸上表示有理數(shù)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，整式的加減，根據(jù)數(shù)軸得出?+?<0，???<0，

???>0，?+?=0，再根據(jù)整式的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)即可．

【詳解】解：由題意可得：

?+?<0，???<0，???>0，?+?=0，

所以原式=?+?+???+?+???+0=3?．

知識(shí)點(diǎn)3：絕對(duì)值的非負(fù)性

（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若|?|+|?|=0，則|?|=0且

|?|=0．（2）a30。

【題型5由絕對(duì)值的非負(fù)性求值】

【例5】（23-24七年級(jí)·山西呂梁·階段練習(xí)）如果有理數(shù)?、?滿足|??3?|+|2??1|=0那么?、?的值分別

為（）

1311

A．?=，?=B．?=，?=

2226

11

C．?=?，?=?D．?=0，?=0

26

【答案】B

【分析】本題考查絕對(duì)值的非負(fù)性，解方程，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式方程求解即可得到x、y的值是解題的

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關(guān)鍵．

【詳解】解：∵|??3?|+|2??1|=0，

∴??3?=0，2??1=0，

11

解得：?=，?=，

26

故選B．

【變式5-1】（23-24七年級(jí)·福建泉州·期中）如果x為有理數(shù)，式子2023?|?+2|存在最大值，這個(gè)最大值

是（）

A．2025B．2024C．2023D．2022

【答案】C

【分析】本題考查的是絕對(duì)值的非負(fù)性的含義，理解|?+2|的最小值是0是解本題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵x為有理數(shù)式子2023?|?+2|存在最大值，

∴當(dāng)|?+2|=0，2023?|?+2|最大為2023，

故選C．

1

【變式5-2】（23-24七年級(jí)·山東臨沂·階段練習(xí)）若|?+2|+|??|=0，則??=．

2

【答案】?1

1

【分析】本題考查的是絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，由絕對(duì)值的非負(fù)性可得?=?2，?=，再

2

代入計(jì)算即可．

1

【詳解】解：|?+2|+|??|=0，

∵2

1

?+2=0，??=0，

∴2

1

解得：?=?2，?=，

2

1

??=?2×=?1，

∴2

故答案為：?1．

【變式5-3】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知|??3|+|?+5|=0，求|?+?|的值．

【答案】2

【分析】

本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，正確熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵．

由絕對(duì)值的非負(fù)性結(jié)合|??3|與|?+5|的和為0可求解．

第8頁共15頁.

【詳解】解：由題意得：|??3|≥0，

|?+5|≥0

∵|??3|+|?+5|=0，

|??3|=0，

∴|?+5|=0

解得：?=3，

?=?5

∴|?+?|=|3?5|=2．

【題型6解絕對(duì)值方程】

【例6】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）方程|2|?|?2014|=2015的解有（）．

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

【答案】C

【分析】本題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，依據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分類討論是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分類討論，再解方程即可．

【詳解】解：∵|2|?|?2014|=2015，

∴2|?|?2014=2015或2|?|?2014=?2015（舍），

∴2|?|=4029，

4029

∴?=±

2

故答案為：C.

【變式6-1】（23-24七年級(jí)·湖南懷化·期末）當(dāng)?時(shí)，|??3|=3??．

【答案】?≤3/3≥?

【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，根據(jù)絕對(duì)值的取值得出??3≤0求解即可得出答案．

【詳解】∵|??3|=3??

∴??3≤0

解得?≤3

故答案為：?≤3．

【變式6-2】（23-24七年級(jí)·河南周口·期中）方程|2??1|=7的解為（）

A．?=?3B．?=4C．?=4或?=?3D．?=?4或?=3

【答案】C

【分析】由|2??1|=7，得到2?+1=7或2?+1=?7，分別解一元一次方程，即可求解，

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本題考查了，解絕對(duì)值方程，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握解絕對(duì)值方程．

【詳解】解：∵|2??1|=7，

∴2?+1=7或2?+1=?7，

解得：?=4或?=?3，

故選：C．

【變式6-3】（23-24七年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）關(guān)于?的方程|?+1|+|??3|=6的解是．

【答案】?=4或?=?2

【分析】本題考查了解絕對(duì)值方程．分?≥3，?1<?<3和?<?1時(shí)三種情況討論，分別列得方程，再解

方程可得．

【詳解】解：當(dāng)?≥3時(shí)，

?+1+??3=6，解得?=4；

當(dāng)?1<?<3時(shí),

?+1??+3=6，此方程無解；

當(dāng)?<?1時(shí),

???1??+3=6，解得?=?2；

故答案為：x=4或x=?2．

【題型7由絕對(duì)值的幾何意義求最值】

【例7】（23-24七年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知?,?,?為互不相等的三個(gè)有理數(shù)，且?>?，若式子|???|+

|???|的最小值為3，則12+???的值為（）

A．12B．9C．18D．15

【答案】D

【分析】本題考查絕對(duì)值，有理數(shù)的減法等知識(shí)點(diǎn)，由數(shù)軸上|???|+|???|表示的幾何意義，求出???的

值，即可得到答案．熟練掌握在數(shù)軸上絕對(duì)值的幾何意義是解決此題的關(guān)鍵．

【詳解】∵|???|+|???|的最小值為3，且?>?，

∴???=3，

∴?=?+3，

∴12+???

=12+?+3??

=15

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故選：D

【變式7-1】（23-24七年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)?、?在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)?、?，?、?兩

點(diǎn)之間的距離表示為??．則??=|???|．所以式子|??3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)?的點(diǎn)與表示有理

數(shù)3的點(diǎn)之間的距離．

根據(jù)上述材料，解答下列問題：

(1)若|??1|=2，則?=；

(2)若|??5|=|?+1|，則?=；

(3)式子|??3|+|?+2|的最小值為；

(4)若|??3|+|?+2|=7，則?=；

(5)式子|?+2|+|??1|+|??3|的最小值為，此時(shí)?=．

【答案】(1)3或?1

(2)2

(3)5

(4)4或?3

(5)5；1

【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，即可求解，

（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，確定?在5和?1之間，化簡(jiǎn)后，即可求解，

（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，確定?在3和?2之間，化簡(jiǎn)后，即可求解，

（4）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，分?在?2左側(cè)時(shí)，?在3右側(cè)時(shí)，兩種情況，分別化簡(jiǎn)后，即可求解，

（5）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，確定?在3和?2之間，|??3|+|?+2|取最小值，當(dāng)?=1時(shí)，|??1|取最小值，

即可求解，

本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，確定?的范圍．

【詳解】（1）解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|??1|=2表示?到1的距離等于2，

∴?=3或?=?1，

故答案為：3或?1，

（2）解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|??5|=|?+1|表示?到5的距離等于?到?1的距離，

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∴?在5和?1之間，

∴5??=?+1，

∴?=2，

故答案為：2，

（3）解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|??3|+|?+2|的最小值表示?到3的距離與?到?2的距離之和最小，

∴?在3和?2之間的線段上，

|??3|+|?+2|的最小值是3??+?+2=5，

故答案為：5，

（4）解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|??3|+|?+2|=7表示?到3的距離與?到?2的距離之和等于7，

當(dāng)?在?2左側(cè)時(shí)，?<2，3??+???2=7，解得：?=?3，

當(dāng)?在3右側(cè)時(shí)，?>3，??3+?+2=7，解得：?=4，

故答案為：4或?3，

（5）解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|?+2|+|??1|+|??3|的最小值表示?到?2的距離與?到1的距離與?到3

的距離之和最小，

由（3）可知?在3和?2之間的線段上時(shí)，|??3|+|?+2|取最小值5，

當(dāng)?=1時(shí)，|??1|取最小值0，

∴當(dāng)?=1時(shí)，|?+2|+|??1|+|??3|取最小值5，

故答案為：5；1．

【變式7-2】（23-24七年級(jí)·重慶豐都·期末）有三個(gè)實(shí)數(shù)為?,?,?，且?<?<?，在數(shù)軸上分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是點(diǎn)

?,?,?，若|?+?|>|?+?+?|，那么可能是數(shù)軸原點(diǎn)的是（）

A．點(diǎn)?B．點(diǎn)?

C．點(diǎn)?D．點(diǎn)?,?,?都不可能

【答案】D

【分析】本題主要考查了數(shù)軸以及絕對(duì)值．利用數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，分別把A點(diǎn)，B點(diǎn)，C點(diǎn)看作

是數(shù)軸的原點(diǎn)，得到的結(jié)論與題目是否符合，即可．

【詳解】如果點(diǎn)A是原點(diǎn)，那么0<?<?，此時(shí)|?+?|=|?|<|?+?+?|，不符合題意；

如果點(diǎn)B是原點(diǎn)，|?+?|=|?+?+?|，不符合題意；

如果點(diǎn)C是原點(diǎn)，那么?<?<0，|?+?|=|?|<|?+?+?|，

∴A、B、C三點(diǎn)都不可能是原點(diǎn)．

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故選：D．

【變式7-3】（23-24七年級(jí)·四川綿陽·期中）函數(shù)?=|??1|+|???|的最小值為3，則a的值為．

【答案】4或?2

【分析】本題考查了絕對(duì)值的定義，|?|是指一個(gè)數(shù)?到0的距離，根據(jù)函數(shù)?=|??1|+|???|的最小值為3，

得出?在1和?的之間，且?是1和?的之間的距離為3，列式?=|??1|=3，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．

【詳解】解：∵?=|??1|+|???|

∴根據(jù)絕對(duì)值的意義，?是指?到1和?到?的距離之和

∵函數(shù)?=|??1|+|???|的最小值為3，

∴此時(shí)?在1和?的之間，且?是1和?的之間的距離為3

即?=|??1|=3

∴??1=±3

∴4或?2

故答案為：4或?2．

知識(shí)點(diǎn)4：絕對(duì)值的應(yīng)用

1）質(zhì)量問題，絕對(duì)值越小，越接近質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；

2）小蟲爬行問題，判斷小蟲是否能重回原點(diǎn)，將所有數(shù)據(jù)相加與0相比較，求距離時(shí)是各數(shù)的絕對(duì)值，與

數(shù)的正負(fù)性無關(guān)；

3）數(shù)軸上數(shù)的表示問題，點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，原數(shù)減去移動(dòng)的距離；點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，原數(shù)加上移動(dòng)的距離。

【題型8絕對(duì)值的應(yīng)用】

【例8】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·期中）如圖，直徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)?與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，??

是圓片的直徑．圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)

動(dòng)情況記錄如下：+2,?1,+3,?4,?3，運(yùn)動(dòng)結(jié)束后?運(yùn)動(dòng)的路程共有．（保留π）

【答案】13π

【分析】計(jì)算出這些數(shù)的絕對(duì)值的和，再乘以周長(zhǎng)，即可求出路程．本題主要考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值、絕對(duì)值

的應(yīng)用和圓的周長(zhǎng)公式的應(yīng)用，正確審題并計(jì)算出絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．

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