雙線性函數(shù)和二次型

PAGEPAGE4雙線性函數(shù)和二次型雙線性函數(shù)中有兩個(gè)特例，即對(duì)稱雙線性函數(shù)和反對(duì)稱雙線性函數(shù)，而二次型又是對(duì)稱雙線性函數(shù)的特例.二次型在數(shù)學(xué)和物理中的應(yīng)用極其廣泛，如線性二次型的最優(yōu)控制是一種常用的最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法；在動(dòng)力學(xué)中遇到的許多問題都是由兩個(gè)實(shí)二次型描述的等許多應(yīng)用.因此，研究雙線性函數(shù)和二次型是非常重要的，具有極高的應(yīng)用價(jià)值.1雙線性函數(shù)1.1雙線性函數(shù)的定義定義1.1.1V是數(shù)域上一個(gè)線性空間，是上一個(gè)二元函數(shù)，即對(duì)V中任意兩個(gè)向量,,根據(jù)都唯一地對(duì)應(yīng)于中一個(gè)數(shù).如果有下列性質(zhì)：（1）（2）其中,，，，，是V中任意向量，，是中任意數(shù)，則稱為V上一個(gè)雙線性函數(shù).這個(gè)定義實(shí)際上是說對(duì)于V上雙線性函數(shù)，將其中一個(gè)變?cè)潭〞r(shí)是另一個(gè)變?cè)木€性函數(shù).如歐氏空間V的內(nèi)積是V上雙線性函數(shù).1.2度量矩陣取V上的一組基,設(shè)=(),=(),再設(shè)=()=()X,=()=()Y,則=(,)=(1)令=,i,j=1,2,…,n,A=,則（1）就成為＝（2）也可以表示為=（3）則（2）或（3）式實(shí)際上就是數(shù)域上任意n維線性空間V上的雙線性函數(shù)的一般形式.即是上的一個(gè)雙線性函數(shù).定義1.2.1設(shè)是數(shù)域上n維線性空間V上的一個(gè)雙線性函數(shù).是V的一組基，則矩陣A=叫做在下的度量矩陣.經(jīng)過上面的討論，取定V的一組基后，每個(gè)雙線性函數(shù)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)n級(jí)矩陣，就是這個(gè)雙線性函數(shù)在基下的度量矩陣.度量矩陣被雙線性函數(shù)及基唯一確定。而且，不同的雙線性函數(shù)在同一組基下的度量矩陣一定是不同的.反之，任給數(shù)域上一個(gè)n級(jí)矩陣A=,對(duì)V中任意向量=及=，其中，=(),用==定義的函數(shù)是V上一個(gè)雙線性函數(shù).易計(jì)算出在下的度量矩陣就是A.因此，在給定的基下，V上全體n級(jí)矩陣與雙線性函數(shù)之間是一個(gè)雙射.1.3矩陣合同的概念和性質(zhì)定義1.3.1數(shù)域上n×n矩陣,稱為合同的，如果有數(shù)域上可逆的n×n矩陣，使合同是矩陣之間的一個(gè)關(guān)系，這種合同關(guān)系具有1）反身性：；2）對(duì)稱性：由,即得；3）傳遞性：由和,即得.在不同的基下，同一個(gè)雙線性函數(shù)的度量矩陣一般是不同的，它們之間有什么關(guān)系呢？設(shè)及線性空間V的兩組基：=（）,是V中兩個(gè)向量====那么，如果雙線性函數(shù)在及下的度量矩陣分別為,.則有==又=因此，這說明同一個(gè)雙線性函數(shù)在不同基下的度量矩陣是合同的.定義1.3.2設(shè)是線性空間V上一個(gè)雙線性函數(shù)，如果，對(duì)任意∈V，可推出=0，就叫做非退化的.可以應(yīng)用度量矩陣來判斷一個(gè)雙線性函數(shù)是不是非退化的.設(shè)雙線形函數(shù)在基下的度量矩陣為，則對(duì)=，=有=如果向量滿足=0，對(duì)任意∈V，那么對(duì)任意都有因此而有非零向量使上式成立的充要條件為是退化的，因此易證雙線形函數(shù)是非退化的充要條件為其度量矩陣為非退化矩陣.1.4對(duì)稱雙線性函數(shù)與反對(duì)稱雙線性函數(shù)的定義定義1.4.1是線性空間上的一個(gè)雙線性函數(shù)，如果對(duì)V中任意兩個(gè)向量,都有=則稱為對(duì)稱雙線性函數(shù).如果對(duì)V中任意兩個(gè)向量,都有=則稱為反對(duì)稱雙線性函數(shù)，這就是說雙線性函數(shù)是對(duì)稱的當(dāng)且僅當(dāng)它在任一組基下的度量矩陣是對(duì)稱矩陣；雙線性函數(shù)是反對(duì)稱的當(dāng)且僅當(dāng)它在任一組基下的度量矩陣是反對(duì)稱矩陣.二次型2.1二次型的定義定義2.1.1設(shè)V是數(shù)域上線性空間，是V上雙線性函數(shù)，當(dāng)時(shí)，V上函數(shù)稱為二次型.2.2不同基下的二次型的矩陣給定V上一組基，設(shè)的度量矩陣為A=.對(duì)V中任一向量=，有，==當(dāng)=時(shí)，則=(1)即二次型又可以表示為=(2)所以二次型（1）又可以寫成==(3)把（3）的系數(shù)排成一個(gè)n×n矩陣.A=(4)它就稱為二次型（1）的矩陣.因此aij=aji，i,j=1,…,n，因此二次型的矩陣都是對(duì)稱的.由上面二次型（1）的矩陣的元素，當(dāng)ij時(shí)aij=aji正是它的項(xiàng)的系數(shù)的一半，而是項(xiàng)的系數(shù)，因此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的.由此還能得到，若二次型=且，，則.定理2.2.1二次型在不同基下的矩陣是合同的.證明由于二次型是雙線性函數(shù)的特殊情況，根據(jù)前面1.3節(jié)中的結(jié)論：同一個(gè)雙線性函數(shù)在不同基下的度量矩陣是合同的.根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，就可以得出二次型在不同基下的矩陣是合同的.命題得證.2.3二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只包含平方項(xiàng)的二次型，所以我們可以在不同基下把二次型化簡(jiǎn)為（1）引理對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，都有一個(gè)n級(jí)正交矩陣，使=成對(duì)角形.證明出自文獻(xiàn)北京大學(xué)第三版《高等代數(shù)》中第九章第六節(jié)的定理7.下面證明定理：定理2.3.1在實(shí)數(shù)域R上任意一個(gè)二次型在某組基下都可以變成平方和（1）的形式.證明取V上一組基，設(shè)二次型在這組基下的對(duì)稱矩陣為，那么也存在另一組基，使得=（）（其中為一n級(jí)正交矩陣）設(shè)在基下的對(duì)角矩陣為=，根據(jù)上面的引理，則=在基下二次型又可以表示為==()=所以任意一個(gè)二次型都可以變成平方和（1）的形式.證畢.由上面的討論，二次型的矩陣都合同于一對(duì)角矩陣，因此用矩陣的語言，上述定理又可以敘述為：定理2.3.2在數(shù)域上，任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一對(duì)角矩陣.也就是說，對(duì)于任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都可以找到一個(gè)可逆矩陣，使得成對(duì)角矩陣.因此我們定義，把二次型（1）式稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.2.4二次型的唯一性的問題由上面的討論，可以看到在不同的基下，二次型的矩陣變成一個(gè)與之合同的矩陣.根據(jù)合同的矩陣有相同的秩這一定理，可以得出在不同的基下的二次型的矩陣的秩是不變的.標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣，而對(duì)角矩陣的秩就等于它對(duì)角線上不為零的元素的個(gè)數(shù).因此在一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的，與不同的基無關(guān).但是標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)不是唯一確定的.例某二次型在基下可表示為=，設(shè)另一組基為，使得=（）則在基下的標(biāo)準(zhǔn)形為：=（其中=）再設(shè)另一組基為，使得＝（）則在基下的標(biāo)準(zhǔn)形為：（其中=）這就說明，在一般的數(shù)域內(nèi)，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，而與不同的基有關(guān).下面討論復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域的情形來進(jìn)一步討論唯一性的問題.先看復(fù)數(shù)域的情形.設(shè)是一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，取V上一組基，則在這組基下的對(duì)角矩陣為：=，（1）(其中>0,<0)有另一組基，取過渡矩陣T，使得=()T其中T=（2）設(shè)在基下的矩陣為，則=（3）把（1）、（2）代入（3），得=（4）得到在基下的矩陣為對(duì)角矩陣，那么在這組基下與對(duì)角矩陣對(duì)應(yīng)二次型為=（其中X=）（5）把X=和（4）式代入（5）式中，得=（6）其中r為二次型的秩。我們把（6）式就稱為復(fù)二次型的規(guī)范形.顯然，規(guī)范形完全由原二次型矩陣的秩所決定.因此有：定理2.4.1任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，在某一組基下都可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.此定理也可以表達(dá)為，任一復(fù)數(shù)的對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)形式為的對(duì)角矩陣.同理，我們?cè)賮砜磳?shí)數(shù)域的情形：設(shè)是一實(shí)系數(shù)的二次型，我們?nèi)山M基與的過渡矩陣為，則有=()其中=(7)設(shè)在基下的矩陣為，則=（8）把（1）、（7）代入（8），得=（9）則在基下的矩陣為對(duì)角矩陣，那么在這組基下與對(duì)角矩陣對(duì)應(yīng)二次型為=（10）把X=和（9）式代入（10）式中，得=（11）我們把（11）就稱為實(shí)二次型的規(guī)范形，顯然，規(guī)范形完全被二次型的秩r和i這兩個(gè)數(shù)所決定.定理2.4.2任意一個(gè)實(shí)數(shù)域上的二次型，在某一組基下都可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.證明定理的前一半在上面已經(jīng)證明，下面就來證唯一性.設(shè)二次型在基下的矩陣為,在基下的矩陣為，在基下的矩陣為，則存在可逆矩陣和,根據(jù)本文第一章1.3節(jié)中證明的性質(zhì)：同一個(gè)雙線性函數(shù)在不同基下的度量矩陣是合同的.我們可以得到（12）（13）因?yàn)?==（14）把（12）式代入（14）式中，得=設(shè)實(shí)二次型在基下化成規(guī)范形為：=（15）再把（13）式代入（14）式中，得設(shè)實(shí)二次型在基下化成規(guī)范形為：=(16)現(xiàn)在來證.用反證法.設(shè).由以上假設(shè)，取=，代入（15）中，則=(17)再把=代入（16）中，則=(18)根據(jù)(17)和(18)式，得== （19）從而.這就證明了規(guī)范形的唯一性.這個(gè)定理通常稱為慣性定理.定義2.4.1在實(shí)二次型的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的負(fù)慣性指數(shù)；它們的差稱為的符號(hào)差.雖然實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，但是由上面化成規(guī)范形的過程可以看出，標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與規(guī)范形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是一致的.所以慣性定理也可以敘述為：實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一確定的，它等于正慣性指數(shù)，而系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)就等于負(fù)慣性指數(shù).所以就得出結(jié)論：定理2.4.3（1）任一復(fù)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)下述形式的對(duì)角矩陣：其中對(duì)角線上1的個(gè)數(shù)r等于A的秩.（2）任一實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)下述形式的對(duì)角矩陣：其中對(duì)角線上1的個(gè)數(shù)及的個(gè)數(shù)（是A的秩）都是唯一確定的，分別稱為A的正、負(fù)慣性指數(shù).它們的差稱為A的符號(hào)差.2.5二次型的應(yīng)用對(duì)于許多的控制系統(tǒng)，為得到滿意的控制效果，需要某一種性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值、極小值或極大值，而線性二次型則是實(shí)現(xiàn)這種最優(yōu)控制的一種常用系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法.這種方法中的性能指標(biāo)是對(duì)象狀態(tài)與控制輸入的二次型函數(shù)，在線性系統(tǒng)的約束條件下，選擇控制輸入使得二次型函