2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市哈工大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年黑龍江省哈工大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?4<x<4}，B={?2,0,2,4}，則A∩B=(

)A.{0,2} B.{0,2,4} C.{?2,0,2} D.{?2,0,2,4}2.命題“?x>0，x2+x?1<0”的否定是(

)A.?x>0，x2+x?1≥0 B.?x≤0，x2+x?1≥0

C.?x≤0，x23.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是OA，OB，則z1zA.32 B.?32 C.?4.已知向量a=(2,?1)，b=(1?m,2m)，若a⊥b，則A.52 B.32 C.5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1DA.EF//平面BB1D1D

B.EF與平面BB1D.EF與平面BB6.將函數(shù)f(x)=cos(2x+π6)的圖象向右平移π3個(gè)單位得到函數(shù)A.sin2x B.?sin2x C.cos(2x?π67.已知拋物線C：y2=2px(p>0)，直線l：x=32與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A為x軸上方一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD垂直于C的準(zhǔn)線于點(diǎn)D.若∠DFO=π3A.12 B.1 C.2 8.如圖，把橢圓x24+y23=1的長(zhǎng)軸AB分成10等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1，P2，…A.16 B.18 C.20 D.22二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知直線l：3x?y+1=0，則下列結(jié)論正確的是(

)A.直線l的傾斜角是π6

B.若直線m：x?3y+1=0，則l⊥m

C.點(diǎn)(3,0)到直線l的距離是2

10.已知雙曲線C：x2a2?y2b2A.x23?y2=1 B.y11.若直線l：y=kx+1與圓C：(x?2)2+y2=9相交于A，BA.2 B.22 C.312.已知圓C1：(x+2)2+y2=1，圓C2：(x+1)2A.與圓C1，C4都外切的圓的圓心軌跡是雙曲線的一支

B.與圓C2外切、C3內(nèi)切的圓的圓心軌跡是橢圓

C.過點(diǎn)C1且與直線l相切的圓的圓心軌跡是拋物線

D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0214.已知拋物線y=?12x15.中岳嵩山是著名的旅游勝地，天氣預(yù)報(bào)6月30日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，產(chǎn)生0～9之間的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，假定0，1，2，3，4，5表示當(dāng)天下雨，6，7，8，9表示當(dāng)天不下雨，每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：

9533?9522?0018?7472?0018?3879?5869?3181?7890?2692

8280?8425?3990?8460?7980?2436?5987?3882?0753?8935

據(jù)此用頻率估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率的近似值為______．16.雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a,b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線C的左、右焦點(diǎn).某光線從F2出發(fā)照射到雙曲線右支的P點(diǎn)，經(jīng)過雙曲線的反射后，反射光線PM的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過F1.四、解答題：本題共5小題，共58分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosB=2ccosC?bcosA．

(1)求C的值；

(2)若c=4，a+b=27，求△ABC18.(本小題12分)

如圖：ABCD是平行四邊形，AP⊥平面ABCD，BE//AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°．

(1)求證：EC//平面PAD；

(2)求證：BC⊥平面PAC．19.(本小題12分)

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，且經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)．

(Ⅰ)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(Ⅱ)經(jīng)過焦點(diǎn)F且斜率是1的直線l，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|以及△OAB的面積．20.(本小題12分)

已知雙曲線M：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F是雙曲線M的右頂點(diǎn)，且以F為圓心，以b為半徑的圓與直線l：x?22y+2=0相切．

(1)求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線y=2x+m與雙曲線21.(本小題12分)

橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，且過點(diǎn)M(1,32)．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

(2)若過點(diǎn)(23,0)且斜率不為0的直線與橢圓C交于M，參考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.A

6.A

7.B

8.B

9.CD

10.BCD

11.CD

12.ABC

13.1814.y=115.2516.2或3217.解：(1)因?yàn)閍cosB+bcosA=2ccosC，

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，

又sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，所以sinC=2sinCcosC，

又C∈(0,π)，所以sinC≠0，故cosC=12，所以C=π3．

(2)由余弦定理得c2=18.證明：(1)取PA的中點(diǎn)N，連DN，EN，

因?yàn)锽E/?/AP，AP=2，BE=1，即BE/?/AN，且BE=AN，

則ANEB為平行四邊形，則EN/?/AB，且EN=AB，

又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，則CD/?/AB，且CD=AB，

可得CD//EN，且CD=EN，

可知CEND為平行四邊形，則EC//DN，

且DN?平面PAD，EC?平面PAD，

所以EC/?/平面PAD；

(2)在△ABC中，AB=2，BC=1，∠CBA=60°，

由余弦定理可得AC2=4+1?2×2×1×cos60°=3，即AC=3，

則AB2=BC2+AC2，可得BC⊥AC，

因?yàn)锳P⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則AP⊥BC，

且AC?AP=A，AC19.解：(Ⅰ)因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，且經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，

設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)，

因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，

解得p=2，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)；

(Ⅱ)因?yàn)橹本€l經(jīng)過焦點(diǎn)F且斜率是1，

所以直線l的方程為y=x?1，

聯(lián)立y=x?1y2=4x，

消去y并整理得x2?6x+1=0，

不妨設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y220.解：(1)∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)是雙曲線M的一個(gè)頂點(diǎn)，即a=1，

∴b=|1?0+2|1+(22)2=1，

∴雙曲線M的方程是x2?y2=1；

(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立方程得y=2x+mx2?y2=1，消去y得3x2+4mx+m21.解：(1)法一：由題意c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，可得a2=4b2=3