人教八年級數(shù)學(xué)上冊軸對稱《軸對稱》示范教學(xué)課件

第十三章軸對稱第1課時線段垂直平分線的性質(zhì)與判定第1節(jié)軸對稱人教版八年級數(shù)學(xué)上冊1.能用尺規(guī)作圖：過一點作已知直線的垂線.2.探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.

學(xué)習(xí)目標(biāo)重點重點線段的垂直平分線的定義是什么？lCBA經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.符號語言：點C

是線段AB

的中點，且l⊥AB

于C，直線

l是線段AB

的垂直平分線.

新課引入如圖，直線l垂直平分線段AB

，P1，P2，P3，…是

l上的點，

分別量一量點P1，P2，P3，...到點A

與點B

的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？探究P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B.一

線段垂直平分線的性質(zhì)新知學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)，點P1，P2，P3，...到點A的距離與它們到點B的距離分別相等.如果把線段AB沿直線

l

對折，線段P1A與P1B、線段P2A與P2B、線段P3A與P3B……都是重合的，因此它們也分別相等.由此我們可以得出線段的垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.試著證明這個性質(zhì).如圖，l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在直線

l

上.求證:PA=PB.證明證明：∵l⊥AB，∴∠ACP=∠BCP.又AC=BC，CP=CP∴△PAC≌△PBC(SAS).∴PA=PB.線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.符號語言:∵l⊥AB

于C，AC=CB，(或者說l

是AB

的垂直平分線)∴PA=PB.反過來，如果

PA=PB，那么點

P是否在線段

AB的垂直平分線上呢？思考ABP二

線段垂直平分線的判定分析：過點P作直線l，使得l⊥AB，垂足為O.只要證明Rt△PAO≌Rt△PBO，就可求證.如圖，線段AB外任意一點P到點A，點B的距離相等.求證：點P在線段AB的垂直平分線上.證明：過點P作直線l，使得l⊥AB，垂足為O.∵l⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°.在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA=PB，PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.

∴AO=BO.∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,

∴點P在線段AB的垂直平分線上.ABPlO歸納通過證明可以得到：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.ABPlO符號語言：已知線段AB，∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上.從線段垂直平分線的性質(zhì)和判定兩個結(jié)論可以看出:在線段AB的垂直平分線l上的點與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點都在

l

上，所以直線

l

可以看成與兩點A，B的距離相等的所有點的集合.ABPlO例1 如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C

在AE

的垂直平分線上.(1)AB，AC，CE

的長度有什么關(guān)系？AB+BD

與DE

有什么關(guān)系？解：(1)∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC.∵點C

在AE

的垂直平分線上，∴AC=CE.∴AB=AC=CE.∴AB+BD=CE+DC=DE.(2)由(1)知DE=AB+BD，∵△ABC

的周長是AB

+BC+AC=AB

+BC+CE=13.∴△ABE的周長為AB+BC+CE+AE

=13+6=19.(2)若AE=6，△ABC

的周長是13，求△ABE

的周長.例2如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點，連接DE，BE，求證：∠ABE=∠ADE.ADEBC證明：連接DB.

∵AB=AD，BC=DC,∴點A和點C都在線段BD的垂直平分線上.

∴AC是線段BD的垂直平分線.∵E是AC上的一點，∴BE=DE.在△ABE和△ADE中，AB=AD，

BE=DE，

AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SSS).∴∠ABE=∠ADE.ADEBC三

尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.例3已知：直線AB和AB外一點C(如圖).

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.作法：(1)任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁；(2)以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E；ABCDEKFABCDEK(3)分別以點D和點E為圓心，大于

DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.(4)作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.1.如圖，在△ABC

中，AB=AC，DE

是AB

的垂直平分線，△BCE

的周長為24，BC=10，則AB=_______.分析：由DE

是AB

的垂直平分線可知：AE=BE.△BCE

的周長為BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=24.而BC=10，∴AB=AC=14.14隨堂練習(xí)2.已知，如圖，AM

是△ABC

的角平分線，MF

是線段BC

的垂直平分線，MD⊥AB

于D，ME⊥AE

于E，求證:BD=CE.分析：由AM

是△ABC

的角平分線MD⊥AB

于D，ME⊥AE

于E

可知，MD=ME.連接MB，MC，由MF

是線段BC

的垂直平分線，有MB=MC.進(jìn)而可證Rt△BDM≌Rt△CEM(HL)證明：連接MB，MC，∵AM

是△ABC

的角平分線，MD⊥AB，ME⊥AE，∴MD=ME.∵M(jìn)F

是線段BC

的垂直平分線，∴MB=MC.在Rt△BDM

和Rt△CEM

中

MD=ME，

MB=MC，∴Rt△BDM≌Rt△CEM(HL)∴BD=CE.遇到線段的垂直平分線上的點時，通常會連接這個點和線段兩個端點，得到相應(yīng)的兩條線段相等.3.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點

E，DF⊥AC于點

F，試說明

AD與

EF的關(guān)系.解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(AAS).∴AE＝AF，DE＝DF.∴A、D均在線段

EF的垂直平分線上，即直線

AD垂直平分線段

EF.ABCDEF4.如圖，某乳業(yè)公司要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站M應(yīng)建在什么地方，才能使A，B到它