中考數學一輪考點復習精講精練專題17 銳角三角函數【考點鞏固】（解析版）

考點17銳角三角函數（時間：60分鐘，滿分120分）一、填空題（每題3分，共30分）1．（2021·湖南）下列計算正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據零指數冪，特殊角三角函數值，算術平方根的定義，同底數冪乘法的計算法則分別計算即可．【詳解】解：A、SKIPIF1<0，此選項正確；B、SKIPIF1<0，此選項錯誤；C、SKIPIF1<0，此選項錯誤；D、SKIPIF1<0，此選項錯誤；故選：A．2．如圖，△ABC的三個頂點在正方形網格的格點上,則tanA的值是?()?A.SKIPIF1<0?

B.SKIPIF1<0?C.?SKIPIF1<0

D.SKIPIF1<0?【解析】如圖，作BD⊥AC交AC的延長線于點D,利用三角函數的定義可知tanA=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故選A.3．如圖，在平面直角坐標系內有一點P（3，4），連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】作PM⊥x軸于點M，構造直角三角形，根據三角函數的定義求解．【詳解】解：作PM⊥x軸于點M，∵P（3，4），

∴PM=4，OM=3，

由勾股定理得：OP=5，∴SKIPIF1<0，故選：D4．（2022·浙江金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則房頂A離地面SKIPIF1<0的高度為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】過點A作AD⊥BC于D，根據軸對稱圖形得性質即可得BD=CD，從而利用銳角三角函數正切值即可求得答案．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：∵它是一個軸對稱圖形，∴SKIPIF1<0m，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0房頂A離地面SKIPIF1<0的高度為SKIPIF1<0，故選B．5．（2022·湖北十堰）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】應充分利用所給的α和45°在樹的位置構造直角三角形，進而利用三角函數求解．【詳解】解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線交于點D，則AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故選：A．6．（2022·湖北荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，SKIPIF1<0，連接AC，過點O作SKIPIF1<0交AC的延長線于P．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【分析】由SKIPIF1<0可知，OP與x軸的夾角為45°，又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等腰直角形，設OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他線段進而求解．【詳解】∵P點坐標為（1，1），則OP與x軸正方向的夾角為45°，又∵SKIPIF1<0，則∠BAO=45°，SKIPIF1<0為等腰直角形，∴OA=OB，設OC=x，則OB=2OC=2x，則OB=OA=3x，∴SKIPIF1<0．7．（2022·浙江杭州）如圖，已知△ABC內接于半徑為1的⊙O，∠BAC=θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】要使△ABC的面積S=SKIPIF1<0BC?h的最大，則h要最大，當高經過圓心時最大．【詳解】解：當△ABC的高AD經過圓的圓心時，此時△ABC的面積最大，如圖所示，∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中，sinθ=SKIPIF1<0，cosθ=SKIPIF1<0，∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+cosθ，∴S△ABC=SKIPIF1<0AD?BC=SKIPIF1<0?2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故選：D．8．（2022·四川樂山）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點D是AC上一點，連接BD．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則CD的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】先根據銳角三角函數值求出SKIPIF1<0，再由勾股定理求出SKIPIF1<0過點D作SKIPIF1<0于點E，依據三角函數值可得SKIPIF1<0從而得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=SKIPIF1<0，從而可求出CD．【詳解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由勾股定理得,SKIPIF1<0過點D作SKIPIF1<0于點E，如圖，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故選：C9．（2022·浙江麗水）如圖，已知菱形SKIPIF1<0的邊長為4，E是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點G，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長是（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=SKIPIF1<0，即可得到FG的長；【詳解】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點，∴BE=2，又∵SKIPIF1<0，∴BH=1，即H是BE的中點，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分線，AD∥FG，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵PF∥AD，AP∥DF，∴PF=AD=4，設FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，∵PF∥BC，∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解得x=SKIPIF1<0；故選B．10．（2022·遼寧）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，分別以點A和C為圓心，以大于SKIPIF1<0的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于點E，F(xiàn)，則SKIPIF1<0的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據矩形SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0為直角三角形，根據勾股定理可得SKIPIF1<0的長度，在SKIPIF1<0中得到SKIPIF1<0，又由題知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂直平分線，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0，于是在SKIPIF1<0中，利用銳角三角函數即可求出SKIPIF1<0的長．【詳解】解：設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由作圖知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂直平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：D．二、填空題（每題4分，共24分）11．（2021·浙江）如圖，已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】在直角三角形中，銳角SKIPIF1<0的正弦=銳角SKIPIF1<0的對邊：直角三角形的斜邊，根據定義直接可得答案．【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<012．（2022·黑龍江綏化）定義一種運算；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例如：當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據SKIPIF1<0代入進行計算即可．【詳解】解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．13．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在SKIPIF1<0的正方形網格圖中，已知點A、B、C、D、O均在格點上，其中A、B、D又在SKIPIF1<0上，點E是線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點．則SKIPIF1<0的正切值為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根據三角函數可進行求解．【詳解】解：由題意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∵∠BAE=∠BDC，∴SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0．14．（2022·湖南）我國魏晉時期的數學家趙爽在為天文學著作《周髀算經》作注解時，用4個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個大正方形，這個圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國古代數學的成就．如圖，已知大正方形SKIPIF1<0的面積是100，小正方形SKIPIF1<0的面積是4，那么SKIPIF1<0__．【答案】SKIPIF1<0##0.75【分析】根據兩個正方形的面積可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，解方程可得x的值，從而解決問題．【詳解】解：∵大正方形ABCD的面積是100，∴SKIPIF1<0．∵小正方形EFGH的面積是4，∴小正方形EFGH的邊長為2，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由勾股定理得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（負值舍去），∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．15．（2022·山東泰安）如圖，某一時刻太陽光從窗戶射入房間內，與地面的夾角SKIPIF1<0，已知窗戶的高度SKIPIF1<0，窗臺的高度SKIPIF1<0，窗外水平遮陽篷的寬SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長度為______（結果精確到SKIPIF1<0）．【答案】4.4m##4.4米【分析】根據題意可得AD∥CP，從而得到∠ADB=30°，利用銳角三角函數可得SKIPIF1<0，從而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．【詳解】解：根據題意得：AD∥CP，∵∠DPC=30°，∴∠ADB=30°，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵AF=2m，CF=1m，∴BC=AF+CF-AB=2.54m，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的長度為4.4m．故答案為：4.4m.16．（2022·山東泰安）如圖，在一次數學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔SKIPIF1<0的高度，他從古塔底部點處前行SKIPIF1<0到達斜坡SKIPIF1<0的底部點C處，然后沿斜坡SKIPIF1<0前行SKIPIF1<0到達最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為SKIPIF1<0，已知斜坡的斜面坡度SKIPIF1<0，且點A，B，C，D，在同一平面內，小明同學測得古塔SKIPIF1<0的高度是___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】過D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，設DF=xm，CF=SKIPIF1<0xm，求出x=10，則BH=DF=SKIPIF1<0+30，CF=SKIPIF1<0m，DH=BF，再求出AH=SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解：過D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH=BF，BH=DF，∵斜坡的斜面坡度i=1：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設DF=xm，CF=SKIPIF1<0xm，∴CD=SKIPIF1<0，∴x=10，∴BH=DF=10m，CF=SKIPIF1<0m，∴DH=BF=SKIPIF1<0+30（m），∵∠ADH=30°，∴AH=SKIPIF1<0（m），∴AB=AH+BH=SKIPIF1<0（m），故答案為：SKIPIF1<0．三、簡答題（共46分）17．（7分）計算：SKIPIF1<0．【答案】-3【分析】根據特殊角三角函數值，絕對值的意義，零指數冪，負整數指數冪，二次根式等運算法則計算即可．【詳解】解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．18．（7分）（2022·浙江湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長和sinA的值．【答案】AC=4，sinA=SKIPIF1<0【分析】根據勾股定理求出AC，根據正弦的定義計算，得到答案．【詳解】解：∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．19．（8分）（2022·浙江臺州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2，梯子與地面所成的角α為75°，梯子AB長3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結果精確到0.1m；參考數據：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【答案】梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．【分析】根據豎直的墻與梯子形成直角三角形，利用銳角三角函數即可求出AC的長．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，∴BC=AB?sin75°≈3×0.97=2.91≈2.9(m)．答：梯子頂部離地豎直高度BC約為2.9m．20．（12分）某校數學社團開展“探索生活中的數學”研學活動，準備測量一棟大樓SKIPIF1<0的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡SKIPIF1<0的長是20米，坡角為SKIPIF1<0，斜坡SKIPIF1<0底部SKIPIF1<0與大樓底端SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0為74米，與地面SKIPIF1<0垂直的路燈SKIPIF1<0的高度是3米，從樓頂SKIPIF1<0測得路燈SKIPIF1<0項端SKIPIF1<0處的俯角是SKIPIF1<0．試求大樓SKIPIF1<0的高度．（參考數據：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】96米【分析】延長AE交CD延長線于M，過A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數定義求出EM、DM的長，得出AN的長，然后由銳角三角函數求出BN的長，即可求解．【詳解】延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，由題意得，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.答：大樓SKIPIF1<0的高度約為96米.21．（12分）（2022·四川自貢）某數學興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：（1）探究原理：制作測角儀時，將細線一段固定在量角器圓心SKIPIF1<0處，另一端系小重物SKIPIF1<0．測量時，使支桿SKIPIF1<0、量角器90°刻度線SKIPIF1<0與鉛垂線SKIPIF1<0相互重合（如圖①），繞點SKIPIF1<0轉動量角器，使觀測目標SKIPIF1<0與直徑兩端點SKIPIF1<0共線（如圖②），此目標SKIPIF1<0的仰角SKIPIF