2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省初賽試題及答案

第頁2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（四川預(yù)賽）試題一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分．1.設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則.2.雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與該雙曲線交于點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且等于半焦距，則．3.滿足（其中的有序數(shù)組的組數(shù)是．4.已知正四棱錐的高為3，側(cè)面與底面所成角為，先在內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后依次放入球、、、，使得后放入的各球均與前一個(gè)球及的四個(gè)側(cè)面均相切，則放入所有球的體積之和為．5.設(shè)一個(gè)袋子里有紅、黃、藍(lán)色小球各一個(gè)，現(xiàn)每次從袋子里取出一個(gè)球（取出某色球的概率均相同），確定顏色后放回，直到連續(xù)兩次均取出紅色球時(shí)為止．記此時(shí)取出球的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為．6.已知為實(shí)數(shù)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最大值是．7.已知數(shù)列滿足：，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．設(shè)為實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)，都有．則的最小值是．8.若正整數(shù)使得方程有正整數(shù)解，稱為“好數(shù)”，則不超過2019的“好數(shù)”個(gè)數(shù)是．二、解答題：本大題3小題，滿分56分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9.（本題滿分16分）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足，求面積的最大值．10.（本題滿分20分）設(shè)，為實(shí)數(shù)，使得恒成立，求的最大值．11.（本題滿分20分）已知函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)函數(shù)有極小值，求的取值范圍．2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)試卷一、填空題（每題7分，滿分70分，將答案填在答題紙上）1.已知函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，且，則．耐心等待考試結(jié)束。2.已知，滿足約束條件，若的最小值為1，則．3.已知向量，其中為實(shí)數(shù)，若，則的取值范圍是．4.某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是．5.若，則．6.已知所在平面與矩形所在平面互相垂直，，若點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為．7.已知正數(shù)滿足，則的最大值為．8.設(shè)復(fù)數(shù)，，則的最小值是．9.已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的最小值為．10.已知雙曲線，是實(shí)軸頂點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，是虛軸端點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是．二、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）11.在中，角的對(duì)邊分為，且，，上的中線的長(zhǎng)為.（1）求角和角的大??；（2）求的面積.12.在一次全省科普知識(shí)競(jìng)賽中，某市3000名參賽選手的初賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示.（1）求的值，并估計(jì)該市選手在本次競(jìng)賽中，成績(jī)?cè)谏系倪x手人數(shù)；（2）如果在本次競(jìng)賽中該市計(jì)劃選取1500人入圍決賽，那么進(jìn)入決賽選手的分?jǐn)?shù)應(yīng)該如何制定？（3）如果用該市參賽選手的成績(jī)情況估計(jì)全省參賽選手的成績(jī)情況，現(xiàn)從全省參賽選手中隨機(jī)抽取4名選手，記成績(jī)?cè)?0（含80）分以上的選手人數(shù)為，試求的分布列和期望.13.已知在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足.（1）求的表達(dá)式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.14.如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形沿與邊平行的直線折起，使得平面平面，為的中點(diǎn).（1）求二面角的余弦值；（2）若平面，試求折痕的長(zhǎng).15.設(shè)向量為平面直角坐標(biāo)系中軸正方向上的單位向量，若向量，且.（1）求滿足上述條件的點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，問是否存在常數(shù)，使得恒成立？證明你的結(jié)論.16.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，試證：.2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一、填空題（每小題8分，共64分，）函數(shù)的值域是.雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是.已知是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，且存有常數(shù)使得對(duì)每一個(gè)正整數(shù)都有，則.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為8，則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值是.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是.正三棱柱的9條棱長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，二面角,則.方程滿足的正整數(shù)解（x,y,z）的個(gè)數(shù)是.二、解答題（本題滿分56分）9.（16分）已知函數(shù)，當(dāng)