23有理數(shù)的乘除法講義2024-2025學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊

第5第5講講有理數(shù)的乘除法通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能夠：有理數(shù)的乘法法則有理數(shù)除法法則（一）倒數(shù)求一個有理數(shù)的倒數(shù)有理數(shù)乘法法則的推廣有理數(shù)除法法則（二）有理數(shù)乘法的運(yùn)算律有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算絕對值、相反數(shù)、和倒數(shù)的綜合運(yùn)算有理數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用有理數(shù)乘除法在實(shí)際生活中的應(yīng)用探究規(guī)律題型除法、絕對值、倒數(shù)的綜合應(yīng)概述概述適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中一年級適用區(qū)域北師大版區(qū)域課時時長（分鐘）120知識點(diǎn)1、有理數(shù)的乘法法則8、有理數(shù)除法法則（一）2、倒數(shù)9、求一個有理數(shù)的倒數(shù)3、有理數(shù)乘法法則的推廣10、有理數(shù)除法法則（二）4、有理數(shù)乘法的運(yùn)算律11、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算5、絕對值、相反數(shù)、和倒數(shù)的綜合運(yùn)算12、有理數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算6、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用13、有理數(shù)乘除法在實(shí)際生活中的應(yīng)用7、探究規(guī)律題型14、除法、絕對值、倒數(shù)的綜合應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1、理解有理數(shù)乘法、除法的意義，掌握有理數(shù)乘法法則中積的符號法則和絕對值運(yùn)算法則，并初步理解有理數(shù)乘法、除法法則的合理性．.2、理解互為倒數(shù)的意義，并會找一個數(shù)的倒數(shù).教學(xué)重點(diǎn)1、會按照“先確定符號，后計算絕對值”的方法進(jìn)行有理數(shù)的乘法、除法運(yùn)算.2、理解互為倒數(shù)的意義，并能求倒數(shù).教學(xué)難點(diǎn)1、理解互為倒數(shù)的意義，并能求倒數(shù).2、準(zhǔn)確運(yùn)算有理數(shù)的乘除計算題.

教學(xué)過程教學(xué)過程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入一、巧妙設(shè)疑，復(fù)習(xí)引入設(shè)計說明教材對于兩數(shù)相乘，特別是異號兩數(shù)和兩個負(fù)數(shù)相乘的符號法則的設(shè)計是非常好的．但是我們在授課時往往忽視了這個探索規(guī)律的推理過程，而急于直接告訴學(xué)生“同號得正，異號的負(fù)”的結(jié)論，然后通過大量的練習(xí)加以鞏固．這樣無疑是舍本逐末的．問題1：閱讀教材中的引例，并完成“議一議”．學(xué)生很容易得出正確答案，因?yàn)檫@兩個問題是有實(shí)際背景可以解釋的，大多數(shù)學(xué)生可以結(jié)合連加來理解因此也就不那么困難．問題2：針對“議一議”的5個題目的結(jié)果，思考第二個因數(shù)減少1時，積是怎樣變化的？對于這個問題很多教師根本不處理，就直接過渡到“你能寫出下列結(jié)果嗎？”，并灌輸“負(fù)負(fù)得正”的符號法則，導(dǎo)致很多學(xué)生題目能做對，但不明白其中的道理，只是靠記憶學(xué)數(shù)學(xué)．相反的，在這個問題上我們要給學(xué)生充分的時間去“議”，去發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)诙€因數(shù)減少1時，積是增大3的．有了這個發(fā)現(xiàn)，我們就可以在此基礎(chǔ)上，將問題延伸．問題3：如果將第二個因數(shù)由0減少為－1呢？積又該怎樣變化了？按照前面探索的規(guī)律，積要增大3，得到(－3)×(－1)＝3.然后繼續(xù)問下去：如果將第二個因數(shù)由－1減少為－2呢？積又該怎樣變化了？如果將第二個因數(shù)由－2減少為－3呢？積又該怎樣變化了？如果將第二個因數(shù)由－3減少為－4呢？積又該怎樣變化了？那么，學(xué)生會很自然地得出(－3)×(－2)＝6，(－3)×(－3)＝9，(－3)×(－4)＝12，其結(jié)果都是依次增大3的．問題4：觀察上面幾個算式，你能歸納出兩個負(fù)數(shù)相乘時的符號規(guī)律嗎？此時，兩數(shù)相乘的符號法則在學(xué)生的思維中就順理成章了．教學(xué)說明以上四個問題的設(shè)計從易到難地體現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)中“經(jīng)歷探索有理數(shù)法則的運(yùn)算規(guī)律的過程”的要求，沒有簡單粗暴的灌輸，完全由學(xué)生找規(guī)律，推導(dǎo)出積的符號法則，不生硬，而且學(xué)生印象深刻，為后面多個不為零的有理數(shù)相乘積的符號法則奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)．二、講授新課設(shè)計說明處理教材例1，初步積累一些乘法計算方法和經(jīng)驗(yàn)，特別是兩個負(fù)數(shù)相乘積為正的類型．同時鞏固對兩數(shù)相乘乘法法則的理解．1．例題教學(xué)(教材例1)(1)、(－4)×5；(2)、(－5)×(－7)；(3)、－38×－83；(4)、(－3)×－13.問題1：通過對第(2)、(3)、(4)題的計算，你加深了對哪種乘法題目的理解？學(xué)生回答：對于兩個負(fù)數(shù)相乘積為正的理解．問題2：觀察第(3)、(4)題，你有什么發(fā)現(xiàn)，可以小組間進(jìn)行討論和交流．學(xué)生可以通過獨(dú)立思考、閱讀教材或小組交流等不同形式獲得答案，從而深化小學(xué)中對互為倒數(shù)的理解，互為倒數(shù)還含有兩個負(fù)數(shù)乘積為1的情況，既可以作為兩個負(fù)數(shù)相乘積為正的一種特例，又鞏固了倒數(shù)的基本概念．二、知識講解二、知識講解知識點(diǎn)1有理數(shù)乘法法則知識點(diǎn)1有理數(shù)乘法法則1、兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘，積仍為02、有理數(shù)乘法運(yùn)算步驟：第一步，確定符號；第二步，確定絕對值知識點(diǎn)2倒數(shù)知識點(diǎn)2倒數(shù)1、定義：如果兩個有理數(shù)乘積為1，那么稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倒數(shù)，也稱為這兩個數(shù)互為倒數(shù)2、性質(zhì)：a·b=1a與b互為倒數(shù)知識點(diǎn)知識點(diǎn)3有理數(shù)乘法法則的推廣1、幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定的（奇負(fù)偶正）；2、幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0.則積為0；知識點(diǎn)4有理數(shù)乘法的運(yùn)算律知識點(diǎn)4有理數(shù)乘法的運(yùn)算律1、乘法交換律：a×b=b×a乘法結(jié)合律：（a×b）×c=a×（b×c）乘法分配律：a×（b+c）=a×b+a×c知識點(diǎn)5有理數(shù)除法法則知識點(diǎn)5有理數(shù)除法法則1、法則1：兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；0除以任何非0數(shù)的數(shù)得02、法則2：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。知識點(diǎn)6有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算知識點(diǎn)6有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法，所以有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算可以統(tǒng)一成乘法運(yùn)算，其步驟為：（1）將所有除法轉(zhuǎn)化為乘法；（2）確定積的符號；（3）運(yùn)用乘法運(yùn)算律，簡化運(yùn)算，求出最后結(jié)果。三、例題三、例題精析例題1例題11、計算下列各題：（1）； （2） （3）； （4）； （5）.例題例題22、若a+b＞0，ab＜0，則（）A、a、b都是正數(shù)B、a、b都是負(fù)數(shù)C、a、b異號且負(fù)數(shù)的絕對值大D、a、b異號且正數(shù)的絕對值大例題例題33、下列說法正確的是（）A．同號兩數(shù)相乘，取原來的符號B．一個數(shù)與－1相乘，積為該數(shù)的相反數(shù)C．一個數(shù)與0相乘仍得這個數(shù)D．兩個數(shù)相乘，積大于任何一個乘數(shù)例題例題44、若ab＜0，a＋b＜0，那么a、b必有（）A．符號相反 B．符號相反且絕對值相等C．符號相反且負(fù)數(shù)的絕對值大 D．符號相反且正數(shù)的絕對值大例題例題55、最大的負(fù)整數(shù)與最小的正整數(shù)的乘積是_________考點(diǎn)二：倒數(shù)考點(diǎn)一：用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量考點(diǎn)二：倒數(shù)考點(diǎn)一：用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量例題1例題11、的倒數(shù)為（）.A．B．C．D．例題例題22、﹣3的倒數(shù)是（）A．3B．﹣3C．D．例題例題33、如果一個數(shù)等于它的倒數(shù)，那么這個數(shù)一定是（）A、0B、1C、1D、1或1考點(diǎn)三：有理數(shù)乘法法則考點(diǎn)三：有理數(shù)乘法法則例題1例題11、下列各式的乘積符號為正的是（）A、；B、；C、；D、.例題例題22、若有2020個有理數(shù)相乘所得的積為0，那么這2020個數(shù)中（）A、最多有一個數(shù)為0B、至少有一個數(shù)是0C、恰有一個數(shù)為0D、均為0例題例題33、絕對值小于的所有數(shù)乘積為．例題例題44、計算下列各題：（1）； （2）?129（3）.考點(diǎn)四：有理數(shù)乘法的運(yùn)算考點(diǎn)四：有理數(shù)乘法的運(yùn)算意義的量例題1例題11、這是為了運(yùn)算簡便而使用（）A.乘法交換律B.乘法結(jié)合律C.乘法分配律D.乘法結(jié)合律和交換律例題例題22、用簡便的方法計算下列各題:（1） （2）(+)×48（3）60×60×+60×． （4）991718×9考點(diǎn)五：絕對值、相反數(shù)、和倒數(shù)的綜合運(yùn)算考點(diǎn)五：絕對值、相反數(shù)、和倒數(shù)的綜合運(yùn)算例題1例題11、已知，兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如右圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）．(A)（B）（C）（D）例題例題22、如圖，A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是，下列式子成立的是（）A、B、a+b＜0C、a+1b?1例題例題33、若|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，則a＋b＝．例題例題44、已知|a|=5,|b|=2,ab<0．求：3a+2b的值．解：∵|a|=5,∴a=_______．∵|b|=2,∴b=_______．∵ab<0,∴當(dāng)a=_______時，b=_______,當(dāng)a=_______時，b＝_______．∴3a+2b=_______或3a+2b=_______．∴3a+2b的值為_______．例題例題55、已知互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，的絕對值是2.求的值.考點(diǎn)六：有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)六：有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)六：有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用意義的量例題1例題11、某食品加工廠的冷庫能使冷藏的食品每小時降溫5℃，如果剛進(jìn)庫的牛肉溫度是10℃，進(jìn)庫8小時后溫度可達(dá)℃．2、某食品廠從生產(chǎn)的袋裝食品中抽出樣品20袋，檢測每袋的質(zhì)量是否符合標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足的部分分別用正、負(fù)數(shù)來表示，記錄如下表：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：g）520136袋數(shù)143453（1）樣品的平均質(zhì)量比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量多還是少？多或少幾克？（2）每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為450克，則抽樣檢測的總質(zhì)量是多少克？考點(diǎn)七：探究規(guī)律題型考點(diǎn)七：探究規(guī)律題型用意義的量例題1例題11、找規(guī)律填上合適的數(shù)：2,4，8,16，（），64，……………例題例題22、觀察下面的一列數(shù)，按其規(guī)律在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：，（）．例題例題33、觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第20個圖形共有★（）個A．63B．57C．68D．60例題例題44、對于自然數(shù)a、b、c、d，定義表示運(yùn)算ac－bd．（1）求的值；（2）已知=2，求bd的值．例題例題55、如圖是一數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，若輸入的x為5，則輸出的結(jié)果為.考點(diǎn)八：有理數(shù)除法法則（一）考點(diǎn)八：有理數(shù)除法法則（一）例題1例題1計算下列各題：（1）； （2）； （3）例題例題22、如果a+b＜0，a＞b，ab＜0，則（）A．a(chǎn)＜0，b＞0

B．|a|＜|b|

C．|a|＞|b|

D．a(chǎn)＜0，b＜0例題例題33、如果兩個有理數(shù)的商是負(fù)數(shù)，那么這兩個數(shù)一定（）A、都是正數(shù)B、都是負(fù)數(shù)C、符號相同D、符號不同考點(diǎn)九：求一個有理數(shù)的倒數(shù)考點(diǎn)九：求一個有理數(shù)的倒數(shù)例題1例題11、的倒數(shù)是（）A、6B、6C、D、例題例題22、若與互為倒數(shù)，則等于（）A.B.C.D.例題例題33、一個數(shù)的倒數(shù)等于它本身的數(shù)是（）A．1B．1C．±1D．±1和0例題例題44、=3的相反數(shù)是的倒數(shù)是－2例題例題55、的絕對值是；倒數(shù)是；相反數(shù)是．例題例題66、若的相反數(shù)是3，那么的倒數(shù)是．考點(diǎn)十：有理數(shù)除法法則考點(diǎn)十：有理數(shù)除法法則例題1例題11、例題下列各式中計算正確的有（）.（1）（―24）÷（―8）＝―3（2）（＋32）÷（―8）＝―4（3）（―）÷（―）＝1（4）（―）÷（―1.25）＝―3A.1個B.2個C.3個D.4個例題例題22、2×（4）+3÷（5）×考點(diǎn)十一：有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算例題例題1、計算：_________．2、－6÷×=．考點(diǎn)十二：有理數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算例題1例題11、下列計算正確的是（）A、；B、；C、；D、.例題例題22、已知算式，使計算出來的結(jié)果最小，則應(yīng)在□中填入的運(yùn)算符號是（）A、＋B、－C、×D、÷例題例題33、根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算律，下列等式正確的是（）A、；B、；C、；D、.例題例題44、2例題例題55、請閱讀下面的材料：計算：解法一：原式===解法二：原式==解法三：原式的倒數(shù)為（==－10，故原式=（1）上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯誤的解法，你認(rèn)為解法是錯誤的．（2）請你用你認(rèn)為簡捷的解法計算：．考點(diǎn)十三：有理數(shù)乘除法在實(shí)際生活中的應(yīng)用例題例題1、在一次測量中，小王與小張利用溫差來測量山峰的高度，小王在山頂測得溫度是－5℃，小張此時在山腳測得的溫度是1℃，已知該地區(qū)高度每增100米，氣溫大約降低0．6℃，則這個山峰的高度大約是多少米?考點(diǎn)十四：除法、絕對值、倒數(shù)的綜合應(yīng)用例題1例題11、若，則的值是（）A．1B．1C．1或5D．例題例題22、已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，求的值。例題例題33、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式成立的是（）A、B、C、D、例題例題44、若為有理數(shù)，且，求的值.例題例題55、如果規(guī)定符號“※”的意義是：※=，則3※（3）的值等于.四、課堂運(yùn)用四、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)基礎(chǔ)【練習(xí)1】1、下列四個運(yùn)算中，結(jié)果最小的是（）A．1+（2）B．1（2）C．1×（2）D．1÷（2）2、下列說法中正確的有（）①同號兩數(shù)相乘，符號不變；②異號兩數(shù)相乘，積取負(fù)號；③互為相反數(shù)的數(shù)相乘，積一定為負(fù)；④兩個有理數(shù)的積的絕對值，等于這兩個有理數(shù)的絕對值的積．A.1個B.2個C.3個D.4個3、在數(shù)－3，－2，4，5中任取三個數(shù)相乘，所得的積中最大的是，最小的積是．4、若，且，那么必定有（）A、＞0，＜0；B、＜0，＞0；C、，異號且正數(shù)的絕對值較大；D、，異號且負(fù)數(shù)的絕對值較大.5、如果兩個數(shù)的和為正數(shù)，積是負(fù)數(shù)，那么這兩個數(shù)（）A、都是正數(shù)；B、一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)，且負(fù)數(shù)的絕對值較大；C、都是負(fù)數(shù)；D、一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)，且正數(shù)的絕對值較大.6、若互為相反數(shù)，則（）A、＜0B、＞0C、≤0D、≥07、下列說法正確的是（）A、兩個數(shù)的積大于每一個因數(shù)；B、兩個有理數(shù)的積的絕對值等于這兩個數(shù)的絕對值的積；C、兩個數(shù)的積是0，則這兩個數(shù)都是0；D、一個數(shù)與它的相反數(shù)的積是負(fù)數(shù).8、計算：（1）；（2）；（3）【練習(xí)2】1、a、b、c的符號符合下面哪種情況時，這三個數(shù)的乘積必為正數(shù)（）A、a、b、c同號B、b為負(fù)，a與c同號C、a為負(fù)，b與c異號D、c為正，a與b異號2、如果四個有理數(shù)的積是負(fù)數(shù)，那么其中負(fù)因數(shù)有多少個？（）A．3B．1C．0或2D．1或33、大于小于5的所有整數(shù)的積是()A、240B、C、0D、4、若有2021個有理數(shù)相乘所得的積為0，那么這2021個數(shù)中（）A、最多有一個數(shù)為0B、至少有一個數(shù)是0C、恰有一個數(shù)為0D、均為05、計算下列各題：（1）； （2）.【練習(xí)3】1、如果兩個有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè)，那么這兩個有理數(shù)的商（）A、一定為正B、一定為負(fù)C、為零D、可能為正，也可能為負(fù)2、下列說法正確的是（）A．相反數(shù)等于本身的是、0B．絕對值等于本身的數(shù)是0。C．倒數(shù)等于本身的數(shù)是D．0除以任何數(shù)都得03、若，則若，則若，則若，則4、兩個有理數(shù)的商是正數(shù)，則（）A、它們的和為正數(shù)B、它們的和為負(fù)數(shù)C、至少有一個為正數(shù)D、它們的積為正數(shù)5、（1）若且試確定的正負(fù)性.（2）根據(jù)（1）的解法填空：①若且則②若且則③若且則【練習(xí)4】1、計算下列各題：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；鞏固鞏固【練習(xí)1】計算下列各題：（1） （2）（3） （4）2、計算下列各題：（1） （2）3、計算下列各題：（1）；（2）；（3）；（4）；4、計算下列各題：5、學(xué)習(xí)有理數(shù)得乘法后，老師給同學(xué)們這樣一道題目：計算：49×（5），看誰算的又快又對，有兩位同學(xué)的解法如下：小明：原式=×5==249；小軍：原式=（49+）×（5）=49×（5）+×（5）=249；（1）對于以上兩種解法，你認(rèn)為誰的解法較好？（2）上面的解法對你有何啟發(fā)，你認(rèn)為還有更好的方法嗎？如果有，請把它寫出來；（3）用你認(rèn)為最合適的方法計算：19×（8）拔高拔高【練習(xí)1】觀察下面的