河北省邢臺(tái)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

河北省邢臺(tái)市20242025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第二章2.2.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量的定義即可求解.【詳解】由條件可得，解得.故選：D.2.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（）A. B.10 C. D.100【答案】B【解析】【分析】先由投影得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量模的坐標(biāo)公式可得所求.【詳解】由題意得，則，故選：B.3.已知直線的兩點(diǎn)式為，則（）A.直線經(jīng)過點(diǎn) B.直線的斜截式為C.直線的傾斜角為銳角 D.直線的點(diǎn)斜式為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，進(jìn)而判斷AD，再將兩點(diǎn)式化為斜截式：，即可判斷B，得到直線的斜率為，即可判斷C.【詳解】由題意，直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，故AD錯(cuò)誤，將兩點(diǎn)式化為斜截式：，故B錯(cuò)誤，直線的斜率為，所以直線的傾斜角為銳角，故C正確.故選：C.4.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出以及，根據(jù)投影向量的含義即可求得答案.【詳解】由題意向量，故，，則向量在向量上的投影向量為.故選：A.5.經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出的斜率，根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.【詳解】設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，所以或，故直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C．6.空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線EF的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，得到直線EF的一個(gè)單位方向向量，利用點(diǎn)到直線距離公式得到答案.【詳解】因?yàn)椋灾本€EF的一個(gè)單位方向向量為．因?yàn)?，所以點(diǎn)P到直線EF的距離為．故選：A7.在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點(diǎn)，且，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的四點(diǎn)共面的定理，得出系數(shù)的關(guān)系，再借助基本不等式求出最小值.【詳解】∵，∴．∵，∴．∵四點(diǎn)共面，∴，即．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為1．故選：C8.在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，，為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量方法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】底面ABCD為等腰梯形，，，如圖，在底面ABCD中，過點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，兩式相減可得，令，解得，則平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】AD項(xiàng)，假設(shè)共面，由空間向量基本定理建立方程組，由方程組無解推出矛盾則可得不共面結(jié)論；BC項(xiàng)，寫出其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量表達(dá)的關(guān)系式，由平面向量基本定理可得共面結(jié)論.【詳解】A項(xiàng)，假設(shè)共面，則存在實(shí)數(shù)，使，即，由構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，方程組無解.故假設(shè)錯(cuò)誤，故不共面，故A正確；B項(xiàng)，由可知，共面，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由可知，共面，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)共面，則存在實(shí)數(shù)，使，即，由構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，方程組無解.故假設(shè)錯(cuò)誤，故不共面，故D正確；故選：AD.10.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)討論求解即可.【詳解】若直線過原點(diǎn)，則在兩坐標(biāo)軸上的截距為0，滿足題意，此時(shí)直線的方程為，即；若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線方程，則，若，此時(shí)直線方程為；若，此時(shí)直線方程為.綜上所述，直線的方程為或或.故選：ABD.11.在長方體中，為長方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，則的值可能是（）A. B. C. D.2【答案】BC【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出數(shù)量積以，再結(jié)合可得范圍．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則，所以．設(shè)，連接，則，因?yàn)闉殚L方體中心，所以．因?yàn)?，所以，所以．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，則邊AB的中線所在直線的一般式為_________.【答案】【解析】【分析】求中點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求斜率，最后由點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【詳解】由已知可得邊的中點(diǎn)，又直線過點(diǎn)，所以所求直線斜率，所以邊的中線所在直線方程為：，即.故答案為：.13.已知直線經(jīng)過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)為_________.【答案】##【解析】【分析】整理直線方程為的形式，解方程組可得定點(diǎn).【詳解】直線可化為，聯(lián)立方程組，解得.所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.14.在三棱錐中建立空間直角坐標(biāo)系后，得到，則三棱錐的體積為_________，三棱錐外接球的表面積為_________.【答案】①.1②.####【解析】【分析】由向量坐標(biāo)求出三棱錐的各棱長，由長度關(guān)系與數(shù)量積可得線面垂直關(guān)系，由垂直關(guān)系入手選定底面與高可求體積；設(shè)出球心坐標(biāo)，由建立方程組求解可得，進(jìn)而求出球的半徑，則表面積可求.【詳解】由題意得，，所以有，且，則，平面，平面，且，故平面.又，所以，又，所以是正三角形，則，故三棱錐的體積；設(shè)三棱錐外接球的球心，則由可得，方程組，解得，故，所以.則外接球半徑為，則三棱錐外接球的表面積.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為2.（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，求的斜截式方程，并判斷與是否平行；（2）若直線的一般式方程為，求在軸上的截距，并判斷與是否垂直；（3）若直線與平行，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的一般式.【答案】（1）；平行（2）；垂直（3）【解析】【分析】（1）由兩點(diǎn)坐標(biāo)可求斜率，再由點(diǎn)斜式方程可求，然后化為斜截式方程即可，比較兩直線的斜率與截距可得平行；（2）由一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得在軸上的截距，再由兩直線斜率之積為判定垂直；（3）由兩直線平行可求得的斜率為，設(shè)出斜截式方程，分別求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)面積列出方程待定系數(shù)可得.【小問1詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，又直線在軸上的截距為2，即直線過點(diǎn)，則由點(diǎn)斜式可得直線方程為，化為斜截式方程得，直線的斜率，在軸上的截距為.所以的斜截式方程為；由直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的斜率，則直線的方程為，故的斜截式方程為，在軸上的截距為.由兩直線斜率相同，在軸上的截距不同，則.【小問2詳解】由直線的一般式方程為，化為斜截式方程為，故在軸上的截距為；直線的斜率，由，所以兩直線與互相垂直.【小問3詳解】由直線與平行，則斜率，故可設(shè)直線方程為，令，得；令，得；由直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則，所以，解得.所以直線的方程為，即的一般式方程為.16.在三棱柱中，平面平面，，，，.（1）證明：平面；（2）若異面直線所成角的余弦值為，求BC.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到⊥，結(jié)合得到平面，再由平行關(guān)系得到證明；（2）作出輔助線，證明出⊥平面，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用異面直角夾角的余弦值列出方程，求出，得到答案.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴?，因?yàn)?，，平面，所以平面，又，所以平面；【小?詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以⊥，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，平面，所以⊥平面，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，所以⊥，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，故，設(shè)，則，設(shè)，由得，解得，故，，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的余弦值為，所以，解得，故.17.（1）若直線沿軸向右平移5個(gè)單位長度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長度后，回到原來的位置，求的斜率；（2）一束光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)軸反射，求入射光線和反射光線所在直線的方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程為，根據(jù)平移的應(yīng)用得到平移后的直線方程為，由兩直線重合可得，化簡計(jì)算即可.（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求入射光線所在直線的斜率，再由斜截式可得直線方程；再由入射與反射光線關(guān)于軸對(duì)稱，則斜率互為相反數(shù)，求出斜率再由斜截式可求反射光線所在直線方程.【詳解】（1）由題意，直線存在斜率，可設(shè)直線方程為，直線沿x軸向右平移5個(gè)單位，沿y軸向上平移2個(gè)單位后，所得直線方程為：化簡得.因?yàn)槠揭坪笈c原直線重合，則.解得，即直線的斜率為.（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的斜率為，所以入射光線所在直線方程為，即.因?yàn)榉瓷涔饩€與入射光線所在直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以反射光線與入射光線所在直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在直線方程為，即.18.在空間幾何體ABCDEF中，四邊形ABED，ADFC均為直角梯形，，，，．（1）證明：平面平面．（2）求直線DF與平面BEF所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，得到兩個(gè)法向量垂直，故兩平面垂直；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用線面角的向量夾角公式得到答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以AB，AC，AD兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面BEF的法向量為，因?yàn)?，，所以，解得，令，得，故．設(shè)平面DEF的法向量為，因?yàn)椋?，所以令，得．因?yàn)椋?，所以平面平面．【小?詳解】設(shè)直線DF與平面BEF所成的角為，由（1）知，平面BEF的一個(gè)法向量為，則，所以，即直線DF與平面BEF所成的角為．19.在如圖1所示的圖形中，四邊形為菱形，和均為直角三角形，，現(xiàn)沿將和進(jìn)行翻折，使（在平面同側(cè)），如圖2.（1）當(dāng)二面角為時(shí)，判斷與平面是否平行；（2）探究當(dāng)二面角為時(shí)，平面與平面是否垂直；（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）不與平面平行（2）平面不與平面垂直（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為n=x,y,z，轉(zhuǎn)化為是否為0即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量數(shù)量積是否為0即可；（3）求出平面與平面的法向量，進(jìn)而求出向量夾角余弦值再轉(zhuǎn)化即可.【小問1詳解】若二面角為，則平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)