專題11 全等三角形的應(yīng)用 帶解析

2022-2023學(xué)年北師大七年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題11全等三角形的應(yīng)用一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?錦江區(qū)期末）如圖，成都某公園有一個假山林立的池塘．A、B兩點(diǎn)分別位于這個池塘的兩端，為測量出池塘的寬AB，小明想出了這樣一個辦法：先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD＝BC，再過點(diǎn)D作BF的垂線DE，交AC的延長線于E．線段ED的長即為A、B兩點(diǎn)間的距離，此處判定三角形全等的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）．故選：B．2．（2分）（2021秋?綿竹市期末）工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法如下：如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M、N重合，過角尺頂點(diǎn)C作射線OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故選：A．3．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖所示，某工程隊(duì)欲測量山腳兩端A、B間的距離，在山旁的開闊地取一點(diǎn)C，連接AC、BC并分別延長至點(diǎn)D，點(diǎn)E，使得CD＝AC，CE＝BC，測得DE的長，就是AB的長，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS證明：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），故選：B．4．（2分）（2022春?大田縣期末）如圖，為了測量B點(diǎn)到河對面的目標(biāo)A之間的距離，在B點(diǎn)同側(cè)選擇一點(diǎn)C，測得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標(biāo)桿，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，測得MB的長就是A，B兩點(diǎn)間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA解：在△MBC和△ABC中，，∴△MBC≌△ABC（ASA），∴判定△MBC≌△ABC的理由是ASA，故選：C．5．（2分）（2022秋?榮昌區(qū)期末）打碎的一塊三角形玻璃如圖所示，現(xiàn)在要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，最省事的方法是（）A．帶①②去 B．帶②③去 C．帶③④去 D．帶②④去解：A、帶①②去，符合ASA判定，選項(xiàng)符合題意；B、帶②③去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項(xiàng)不符合題意；C、帶③④去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項(xiàng)不符合題意；D、帶②④去，僅保留了原三角形的兩個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項(xiàng)不符合題意；故選：A．6．（2分）（2021秋?臨海市期末）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平長度DF相等，那么判定△ABC與△DEF全等的依據(jù)是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS解：∵滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故選：A．7．（2分）（2021秋?淇縣期末）如圖為了測量B點(diǎn)到河對面的目標(biāo)A之間的距離，在B點(diǎn)同側(cè)選擇了一點(diǎn)C，測得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標(biāo)桿，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以測得MB的長就是A，B兩點(diǎn)間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA解：在△ABC和△MBC中，∴△MBC≌△ABC（ASA），故選：D．8．（2分）（2022春?錦江區(qū)校級期末）如圖，小明站在堤岸的A點(diǎn)處，正對他的S點(diǎn)停有一艘游艇．他想知道這艘游艇距離他有多遠(yuǎn)，于是他沿堤岸走到電線桿B旁，接著再往前走相同的距離，到達(dá)C點(diǎn)．然后他向左直行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時停下來，此時他位于D點(diǎn)．那么C，D兩點(diǎn)間的距離就是在A點(diǎn)處小明與游艇的距離．在這個問題中，可作為證明△SAB≌△DCB的依據(jù)的是（）A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS解：在△ABS與△CBD中，，∴△ABS≌△CBD（ASA）；或∵AS∥CD，∴∠S＝∠D．在△ABS與△CBD中，，∴△ABS≌△CBD（AAS）；綜上所述，作為證明△SAB≌△DCB的依據(jù)的是ASA或AAS．故選：C．9．（2分）（2022春?碑林區(qū)校級期末）如圖，要測池塘兩端A，B的距離，小明先在地上取一個可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長到D，使CD＝CA；連接BC并延長到E，使CE＝CB，連接DE并測量出它的長度，DE的長度就是A，B間的距離．那么判定△ABC和△DEC全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS解：由題意知CD＝CA，CE＝CB，在△DCE和△ABC中，，∴△DCE≌△ABC（SAS）．故選：B．10．（2分）（2021秋?思明區(qū)校級期末）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn)A，B之間的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上兩點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使點(diǎn)E與A，C在同一條直線上，這時，可得△ABC≌△EDC，這時測得DE的長就是AB的長．判定△ABC≌△EDC最直接的依據(jù)是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS解：因?yàn)樽C明在△ABC≌△EDC用到的條件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（對頂角相等），所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對應(yīng)相等即ASA這一方法．故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?天河區(qū)校級期末）如圖，要測量河岸相對的兩點(diǎn)A、B之間的距離．已知AB垂直于河岸BF，現(xiàn)在BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD＝CB，過點(diǎn)D作BF的垂線ED，使A、C、E在一條直線上，若ED＝90米，則AB的長是90米．解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝90．故答案為：90．12．（2分）（2022秋?東阿縣校級期末）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，若∠CBA＝32°，則∠EFD＝58°．解：∵兩個滑梯的長度相同，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（HL），∴∠EFD＝∠BCA，∵∠CBA＝32°，∴∠BCA＝90°﹣32°＝58°，∴∠EFD＝58°．故答案為：58°．13．（2分）（2022春?徐匯區(qū)校級期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第2塊．解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有?塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故答案為：2．14．（2分）（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖所示：要測量河岸相對的兩點(diǎn)A、B之間的距離，先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，向前走50米到C處立一根標(biāo)桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走50米到D處，在D處轉(zhuǎn)90°沿DE方向再走17米，到達(dá)E處，使A、C與E在同一直線上，那么測得A、B的距離為17m．解：∵先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，∴∠ABC＝90°，∵BC＝50m，CD＝50m，∠EDC＝90°∴△ABC≌△EDC，∴AB＝DE，∵沿DE方向再走17米，到達(dá)E處，即DE＝17∴AB＝17．故答案為：17m15．（2分）（2021春?會寧縣期末）如圖，小明與小紅玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點(diǎn)O（即蹺蹺板的中點(diǎn)）至地面的距離是50cm，當(dāng)小紅從水平位置CD下降40cm時，這時小明離地面的高度是90cm．解：在△OCF與△ODG中，，∴△OCF≌△ODG（AAS），∴CF＝DG＝40cm，∴小明離地面的高度是50+40＝90（cm），故答案為：90．16．（2分）（2018春?貴陽期末）如圖，小穎要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn)A、B的距離，她在池塘外AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂線DE，使點(diǎn)E與A、C在一條直線上，則量出的DE長就是A、B的距離．她的依據(jù)是全等三角形的對應(yīng)邊相等．解：在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB，她的依據(jù)是：全等三角形的對應(yīng)邊相等．故答案為：全等三角形的對應(yīng)邊相等．17．（2分）（2022春?遼陽期末）如圖，小強(qiáng)站在河邊的A點(diǎn)處，在河的對面（小強(qiáng)的正北方向）的B處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠(yuǎn)，于是他向正西方向走了20步到達(dá)一棵樹C處，接著再向前走了20步到達(dá)D處，然后他左轉(zhuǎn)90°直行，當(dāng)小強(qiáng)看到電線塔、樹在一條直線時（即電線塔、樹與自己現(xiàn)處的位置E在一條直線上），他一共走了90步．如果小剛一步大約50厘米，估計小剛在點(diǎn)A處時他與電線塔的距離為25米．解：所畫示意圖如下：由題意知：AC＝DC＝20步，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE，又∵小剛共走了90步，其中AD走了40步，∴走完DE用了50步，一步大約50厘米，即DE＝50×0.5米＝25米，答：小剛在點(diǎn)A處時他與電線塔的距離為25米，故答案為：25．18．（2分）（2022?鐵嶺三模）如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為30cm．解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：兩堵木墻之間的距離為30cm．故答案為：30．19．（2分）（2021春?通城縣期末）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AD＝CD，AB＝CB，曉明同學(xué)在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：①△ABD≌△CBD；②AO＝CO＝AC；③AC⊥BD；其中，正確的結(jié)論有3個．解：在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正確；∴∠ADB＝∠CDB，在△AOD與△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC＝AC，∴AC⊥DB，故②③正確．故答案是：3．20．（2分）（2020春?皇姑區(qū)期末）如圖，要在湖兩岸A，B兩點(diǎn)之間修建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接測量A、B兩點(diǎn)間的距離，于是小明想出來這樣一種做法：在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使BC＝CD，再定出BF的垂線DE，使A，C，E三點(diǎn)在一條直線上，這時測得DE＝50米，則AB＝50米．解：根據(jù)題意可知∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD∴△ABC≌△EDC（ASA）∴AB＝DE＝50米．故答案為：50三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?蒲城縣期末）如圖2，是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．樂樂在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動到最高點(diǎn)A時，過點(diǎn)A作AC⊥BD于C，點(diǎn)A到地面的距離AE＝1.5m（AE＝CD），當(dāng)他從A處擺動到A′處時，A′B＝AB，若A′B⊥AB，作A′F⊥BD，垂足為F．求A′到BD的距離A′F．解：∵A′B⊥AB，作A′F⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3，在△ACB和△BFA'中，，∴△ACB≌△BFA'（AAS），∴A'F＝BC，∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1m，22．（6分）（2022春?六盤水期末）數(shù)學(xué)興趣小組想在不用涉水的情況下測量某段河流的寬度（該段河流兩岸是平行的），在數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)下他們是這樣做的：①在河流的一條岸邊B點(diǎn)，選對岸正對的一棵樹A為參照點(diǎn)；②沿河岸直走10m有一棵樹C，繼續(xù)前行10m到達(dá)D處；③從D處沿河岸垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走；④測得DE的長為4.5m．（1）河流的寬度為4.5m；（2）請你說明他們做法的正確性．（1）解：河流的寬度為4.5m，故答案為：4.5；（2）證明：如圖，由作法知：AB⊥BD，ED⊥BD，BC＝DC＝10m，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝4.5m，即他們的做法是正確的．23．（6分）（2022春?神木市期末）小明想知道一堵墻上點(diǎn)A到地面的高度AO，AO⊥OD，但又沒有直接測量的工具，于是設(shè)計了下面的方案，請你先補(bǔ)全方案，再說明理由．第一步：找一根長度大于OA的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點(diǎn)A重合，記下直桿與地面的夾角∠ABO；第二步：使直桿頂端豎直緩慢下滑，直到∠OCD＝∠ABO，標(biāo)記此時直桿的底端點(diǎn)D；第三步：測量OD的長度，即為點(diǎn)A到地面的高度AO．請說明小明這樣測量的理由．解：OD．理由如下：因?yàn)锳O⊥OD，所以∠AOB＝90°，在△AOB和△DOC中，，所以△AOB≌△DOC（AAS），所以O(shè)A＝OD，所以測量OD的長就是點(diǎn)A到地面的高度AO．故答案為：OD．24．（8分）（2022春?福田區(qū)期末）如圖，小胖用10塊高度都是4cm的相同長方體積木，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以把吳老師的一個大等腰直角三角板ABC放進(jìn)去（∠ACB＝90°，AC＝BC），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB．（2）吳老師看到這個模型很感興趣，問小胖能否求出這個大等腰直角三角板ABC的面積呢？小胖百思不得其解，請你來幫他解決．（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）由（1）知，△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝12cm，在Rt△CEB中，BE＝28cm，∴CB＝＝2cm又△ABC為等腰直角三角板，∴S△ABC＝××2＝464cm2．25．（8分）（2022春?藍(lán)田縣期末）某中學(xué)七年級同學(xué)到野外開展數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動，在營地看到一個池塘，同學(xué)們想知道池塘兩端（A、B為池塘的兩端）的距離．有一位同學(xué)設(shè)計了如下測量方案：先在平地上取一個可直接到達(dá)A、B的點(diǎn)E，連接AE、BE，分別延長AE至點(diǎn)D，延長BE至點(diǎn)C，使得ED＝AE，EC＝BE，若測出CD的長為18m，求這個池塘兩端AB的長，并說明理由．解：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）；∴AB＝CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．∵CD＝18m，∴AB＝18m，答：池塘兩端的距離是18米．26．（8分）（2022春?綏德縣期末）如圖，公園有一條“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F處各有一個小石凳，且BE＝CF，M為BC的中點(diǎn)，連接EM、MF，請問石凳M到石凳E、F的距離ME、MF是否相等？說出你推斷的理由．解：石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴BM＝MC．在△BEM和△CFM中，，∴△BEM≌△CFM（SAS），∴ME＝MF．即石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等．27．（8分）（2021秋?新泰市期末）為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在七年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長到點(diǎn)C，連接BO并延長到點(diǎn)D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過點(diǎn)B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測量BC的長即可．（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個可行？（2）請說明方案可行的理由．解：（1）甲同學(xué)的方案可行；（2）甲同學(xué)方案：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學(xué)方案：在△ABD和△CBD中