專題13.3 期中期末專項復(fù)習(xí)之整式乘法與因式分解十八大必考點（舉一反三）（蘇科版） 帶解析

專題13.3整式乘法與因式分解十八大必考點【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1整式的乘法】 1【考點2整式乘法的應(yīng)用】 4【考點3利用乘法公式求值】 7【考點4乘法公式的幾何背景】 11【考點5整式乘除的計算與化簡】 17【考點6整式混合運算的應(yīng)用】 19【考點7因式分解的概念】 25【考點8因式分解（提公因式與公式法綜合）】 27【考點9因式分解（十字相乘法）】 29【考點10因式分解（分組分解法）】 34【考點11利用整體思想分解因式】 36【考點12利用拆項法分解因式】 39【考點13利用添項法分解因式】 43【考點14利用因式分解進行有理數(shù)的簡算】 47【考點15利用因式分解判定三角形的形狀】 49【考點16利用因式分解求值】 54【考點17因式分解的探究題】 56【考點18因式分解的應(yīng)用】 61【考點1整式的乘法】【例1】（2022·福建·大同中學(xué)八年級期中）計算2x+3y?42x+ay+b得到的多項式不含x、y的一次項，其中a，b是常數(shù)，則a?b的值為（

A．1 B．?1 C．?7 D．7【答案】B【分析】先利用多項式與多項式乘法法則，展開后合并同類項，再令含x、y的一次項的系數(shù)均為零，列方程組求解即可得到答案．【詳解】解：2x+3y?4=4=4∵展開后多項式不含x、y的一次項，∴2b?8=0∴a=3∴a?b=?1，故選B．【點睛】此題考查了多項式與多項式的乘法，熟練掌握多項式與多項式乘法法則、合并同類項、“不含某一項則某一項的系數(shù)為零”的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·江西景德鎮(zhèn)·七年級期中）小邢同學(xué)在計算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的結(jié)果為x2+3x?18，而且小穎同學(xué)在計算(x+a)(x+b)時將“+a”看成了“?a”，算的結(jié)果為(1)求出a、b的值；(2)計算出(x+a)(x+b)的正確結(jié)果，【答案】(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12【分析】（1）根據(jù)題意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根據(jù)多項式乘以多項式法則求出即可．【詳解】（1）根據(jù)題意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）當(dāng)a＝-3，b＝-4時，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式法則和解方程，能正確運用多項式乘以多項式法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·江蘇·揚州市江都區(qū)第三中學(xué)七年級期中）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了(a+b)n(n=1，1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)1

4

6

4

1

(a+b)……

……請依據(jù)上述規(guī)律，寫出(x?2x)2022展開式中含A．2022 B．?4044 C．?2020 D．4042【答案】B【分析】首先確定x2020【詳解】解：由題意：，(x?2=x可知，(x?2x)∴(x?2x)故選B．【點睛】本題考查楊輝三角，解題的關(guān)鍵是靈活運用楊輝三角的規(guī)律解決問題．【變式1-3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）設(shè)a1,a2,a3,?a【答案】M＞N．【分析】設(shè)a2+a3+…+a2021=m，代入M、N中化簡后比較即可．【詳解】解：設(shè)a2+a3+…+a2021=m，則M=（a1+m）（m+a2022）=a1m+m2+a2022m+a1a2022，N=（a1+m+a2022）m=a1m+m2+a2022m，M-N=a1a2022，∵a1，a2，…，a2022都是正數(shù)，∴a1a2022＞0，∴M-N＞0，∴M＞N．【點睛】本題考查了整式乘法的混合運算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，設(shè)a2+a3+…+a2021=m，利用多項式乘多項式的法則計算出M、N是解題的關(guān)鍵．【考點2整式乘法的應(yīng)用】【例2】（2022·浙江寧波·七年級期中）如圖①，現(xiàn)有邊長為b和a+b的正方形紙片各一張，長和寬分別為b、a的長方形紙片一張，其中a<b．把紙片I、III按圖②所示的方式放入紙片II內(nèi)，已知圖②中陰影部分的面積滿足S1=8S2，則a，A．3b=4a B．2b=3a C．3b=5a D．b=2a【答案】A【分析】用含a，b的代數(shù)式表示出S1，S2，即可得出答案．【詳解】由題意可得：S1=(a+b)2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，∵S1∴2ab=8(ab-a2)，∴2ab=8ab-8a2∴b=4b-4a∴4a=3b，故選：A．【點睛】本題考查了整式的混合運算，用含a，b的代數(shù)式表示出S1，S2是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·山東泰安·期中）如圖①所示，在一個邊長為a的正方形紙片上剪去兩個小長方形，得到一個如圖②的圖案，再將剪下的兩個小長方形拼成一個新的長方形，如圖③所示，則新長方形的面積可表示為__________．【答案】a【分析】根據(jù)圖形表示出新長方形的長與寬，即可確定出面積．【詳解】解：根據(jù)題意得：新長方形的長為a?b，寬為a?3b，則新長方形面積為a?ba?3b故答案為：a2【點睛】本題考查了列代數(shù)式及整式的加減，明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·安徽·宿城第一初級中學(xué)七年級期中）如圖，一個長方形中剪下兩個大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示）留下一個“T”型的圖形（陰影部分）(1)用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．(2)若y=3x=30米，“T”型區(qū)域鋪上價格為每平方米20元的草坪，請計算草坪的造價．【答案】(1)2(2)34000元【分析】（1）利用大長方形的面積減去兩個小正方形的面積可得“T”型圖形的面積，再根據(jù)整式的乘法與加減法法則進行化簡即可得；（2）根據(jù)y=3x=30米可得x=10米，代入（1）中的結(jié)論可得“T”型圖形的面積，再根據(jù)草坪每平方米20元即可得．【詳解】（1）解：“T”型圖形的面積=2x+y=2=2x答：“T”型圖形的面積為2x（2）解：由y=3x=30米得：x=10米，則“T”型圖形的面積=2x所以草坪的造價為1700×20=34000（元），答：草坪的造價為34000元．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式以及合并同類項的應(yīng)用，根據(jù)圖形正確列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·浙江·余姚市舜水中學(xué)七年級期中）如圖，長為10，寬為x的大長方形被分割成7小塊，除陰影部分A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短一邊長為y．(1)由圖可知，每個小長方形較長一邊長為________．（用含y的代數(shù)式表示）(2)分別用含x，y的代數(shù)式表示陰影部分A，B的面積．(3)當(dāng)y取何值時，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x的值無關(guān)？并求出此時陰影部分A與陰影部分B的面積之差．【答案】(1)10?2y(2)S(3)當(dāng)y=52時，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x【分析】（1）由圖形可直接填空；（2）由長方形面積公式結(jié)合圖形即可解答；（3）計算出S陰影部分A?S陰影部分B=2y2?10y?x4y?10，即得出當(dāng)4y?10=0時，陰影部分A（1）由圖可知每個小長方形較長一邊長為10?2y．故答案為：10?2y；（2）S陰影部分S陰影部分（3）S陰影部分A∵2y2∴當(dāng)4y?10=0時，陰影部分A與陰影部分B的面積之差與x的值無關(guān)，解得：y=5∴S陰影部分【點睛】本題主要考查列代數(shù)式，整式混合運算的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【考點3利用乘法公式求值】【例3】（2022·江蘇·揚州市邗江區(qū)實驗學(xué)校七年級期中）若x2+（k﹣1）x+9是一個完全平方式，則k值為_____．【答案】7或﹣5【分析】這里首末兩項是x和3這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去x和3的積的2倍，故k﹣1＝±6．【詳解】解：∵（x±3）2＝x2±6x+9＝x2+（k﹣1）x+9，∴k﹣1＝±6，解得k＝7或﹣5．故答案為：7或﹣5．【點睛】本題考查完全平方式，熟練掌握完全平方公式的運用是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·湖南株洲·七年級期中）已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，則ab值是（）A．﹣8 B．12 C．8 D．9【答案】C【分析】先求出（a-b）2，然后將a2+b2＝20代入即可求得ab．【詳解】解：∵（a-b）2=a2+b2-2ab=4，a2+b2＝20∴20-2ab=4，解得：ab=8．故選：C．【點睛】本題主要考查了運用完全平方公式變形求值，靈活應(yīng)用完全平方公式和整體代入思想成為解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·湖北武漢·八年級期中）如圖，正方形的邊長為m＋5，面積記為S1，長方形的兩邊長分別為m＋3，m＋9，面積記為S2（其中m為正整數(shù)）．若某個圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個，則m＝_______．【答案】7【分析】先根據(jù)正方形和長方形的面積公式計算出S1和S2，由此可得S2﹣S1＝2m+2，再根據(jù)S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個可得2m+2＝16，由此即可求得答案．【詳解】解：∵S1＝（m+5）2＝m2+10m+25，S2＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，∴S2﹣S1＝（m2+12m+27）﹣（m2+10m+25）＝2m+2，∵m為正整數(shù)，∴S2與S1都是正整數(shù)，∵某個圖形的面積S介于S1，S2之間（不包括S1，S2），S的整數(shù)值有且只有15個，∴2m+2＝16，解得：m＝7，故答案為：7．【點睛】本題考查完全平方公式、多項式乘多項式法則以及整式加減等相關(guān)知識，能夠根據(jù)題意得到2m+2＝16是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級期中）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項式x2+bx+c（【知識理解】(1)若多項式x2+kx+16是一個完全平方式，那么常數(shù)k的值為（A．4

B．8

C．±8

D．±16(2)若多項式x2+4x+m是一個完全平方式，那么常數(shù)(3)配方：x2?6x?10=x?3【知識運用】(4)通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式x2(5)利用配方法因式分解：a2+2a?3=a(6)已知m2+2mn+2n2?8n+16=0(7)若M=a+1a?3，N=2a?1a?2，則【答案】(1)C(2)4(3)19，(x+1)(4)3(5)1，(a+3)(a?1)(6)?4,4(7)<【分析】（1）直接利用完全平方公式求解即可；（2）直接利用完全平方公式求解即可；（3）利用配方法求解即可得；（4）利用配方法求解即可得；（5）先利用配方法計算，然后利用平方差公式因式分解；（6）先利用配方法計算，然后利用平方的非負性求解即可；（7）利用兩個整式作差即可比較大?。驹斀狻浚?）解：x∴k=±2×4=±8，故選：C（2）x2∴m=4，故答案為：4；（3）x2x2故答案為：19；x+12（4）x2∵x?22∴x?22故答案為：3；（5）a====(a+3)(a?1)故答案為：1；(a+3)(a?1)（6）m2m2(m+n)2∴m+n=0且n?4=0，解得：n=4，m=-4，故答案為：-4；4；（7）M-N=(a+1)(a?3)-2(a?1)(a?2)=a=a=?a=?(a?2)∴M<N，故答案為：<．【點睛】題目主要考查完全平方公式的計算及配方法、多項式的大小比較、因式分解等，熟練掌握整式的運算法則是解題關(guān)鍵．【考點4乘法公式的幾何背景】【例4】（2022·四川·金堂縣淮口中學(xué)校七年級期中）用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為x，寬為y(xy)的四個全等長方形拼成一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可得到(x?y)2、(x+y)2、利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知xy，x+y=3，5xy=54，求x-y（2）已知|a+b?4|+(ab?2)2=0，求a3+b3值．備注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+【答案】（x?y【分析】根據(jù)正方形的面積兩種計算方法，一種是邊長的平方，一種是大正方形減去四個長方形的面積，即可得到等式；根據(jù)正方體的體積的兩種算法得到等式，一種是棱長的立方，一種是小正方體和長方體的和計算；（1）將條件代入等式計算即可；（2）中先從條件中得到a+b＝4，ab＝2，然后將其代入等式計算即可．【詳解】解：如圖1，方法一：已知邊長直接求面積為（x?y方法二：陰影部分面積是大正方形的面積減去四個長方形的面積，所以面積為(x+y)∴等量關(guān)系式為：（x?y故答案為：（x?y如圖2，方法一：已知棱長直接求體積為（a+b方法二：正方體的體積是長方體和小正方體的體積和，即a3∴等量關(guān)系式為：（a+b故答案為：（a+b（1）將x+y＝3，xy=54代入得（x?y∵x＞y，∴x﹣y＝2．（2）∵|a+b?4|+（∴a+b＝4，ab＝2，將其代入（a+b即64＝∴a3+b3＝【點睛】本題主要利用圖象探究式的等量關(guān)系，要結(jié)合圖象分析，后面是等量關(guān)系的應(yīng)用，先分析適用于等量關(guān)系的條件然后代入計算即可．【變式4-1】（2022·河南南陽·八年級期中）探究活動：(1)如圖①，可以求出陰影部分的面積是_____（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)如圖②，若將圖①中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是_____（寫成多項式乘法的形式）；(3)比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式_____．(4)知識應(yīng)用：運用你得到的公式解決以下問題：計算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；(5)若4x2?9y2＝10，4x+6y【答案】(1)a(2)（a+b）（a﹣b）(3)a2?b2＝（a+b）（(4)a(5)2x﹣3y的值為5【分析】（1）用大正方形的面積減去小正方形的面積即可；（2）根據(jù)長方形面積公式解答即可；（3）由（1）、（2）即可得到公式；（4）根據(jù)平方差公式，得到a+b2（5）將4x2?9y2=10，化為（2x+3y）（2x-3y）=0的形式，再由4x+6y（1）S陰故答案為：a2（2）拼成的長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），∴S陰故答案為：a+ba?b（3）由（1）、（2）可得，a2?b2＝（a+b）（故答案為：a2?b2＝（a+b）（（4）原式＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝a+b2＝a2（5）4x2?9y2＝（2x+3y∵4x+6y＝4，∴2x+3y＝2，∴2x﹣3y＝10÷2＝5，故2x﹣3y的值為5．【點睛】此題考查了平方差公式的幾何背景，用不同方法表示同一個圖象的面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·福建·明溪縣教師進修學(xué)校七年級期中）閱讀理解：若x滿足210?xx?200=?204，試求解：設(shè)210?x=a，x?200=b，則ab=?204，且a＋b＝(210－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=解決問題(1)若x滿足2022?xx?2010=22，則2022?x(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求2022?xx?2002(3)如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為40平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少？【答案】(1)100(2)?810(3)96【分析】（1）根據(jù)材料解法，設(shè)2022?x=a，x?2010=b，則ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(x－2010)＝12，根據(jù)（2）根據(jù)材料解法，設(shè)2022?x=a，x?2002=b，則a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，根據(jù)a+b2（3）由圖及題中條件得到正方形CFGH的邊長為10?x，正方形CEMN的邊長為6?x，由長方形CEPF的面積為40平方單位得到10?x6?x（1）解：設(shè)2022?x=a，x?2010=b，則ab=22，且a＋b＝(2022－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=（2）解：設(shè)2022?x=a，x?2002=b，則a＋b＝(2022－x)＋(∵a+b2∴a2+b2=a+b2（3）解：由圖及題中條件可知正方形CFGH的邊長為10?x，正方形CEMN的邊長為6?x，則由長方形CEPF的面積為40平方單位得到10?xx?6∴陰影部分面積為10?x2設(shè)10?x=a，x?6=b，則ab=?40，且a＋b＝(10－x)＋(∵a+b2∴10?x2∵a2∴陰影部分面積為96．【點睛】本題考查對完全平方公式幾何意義的應(yīng)用能力，讀懂題意，掌握材料中的解法，結(jié)合圖形進行完全平方公式的靈活運用是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·湖南·常德市第二中學(xué)七年級期中）（1）①如圖1，已知正方形ABCD的邊長為a，正方形FGCH的邊長為b，長方形ABGE和EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積是______（寫成平方差的形式）；②將圖1中的長方形ABGE和EFHD剪下來，拼成圖2所示的長方形，則長方形AHDE的面積是______（寫成多項式相乘的形式）；（2）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式______．（3）利用所得公式計算：2【答案】（1）①a2?b2；②【分析】（1）①根據(jù)圖1確定出陰影部分面積即可；②根據(jù)圖2確定出長方形面積即可；（2）根據(jù)兩圖形面積相等得到乘法公式；（3）利用得出的平方差公式計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）①∵正方形ABCD的面積是a2，正方形FGCH的面積是b∴陰影部分的面積是a2②由圖2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b，∴長方形AHDE的面積是(a+b)(a?b)，故答案為：①a2?b（2）由（1）可得到(a+b)(a?b)=a故答案為：(a+b)(a?b)=a（3）原式=4×=4×(1?=4×(1?1=4?1=4．【點睛】此題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．【考點5整式乘除的計算與化簡】【例5】（2022·浙江·嵊州市馬寅初初級中學(xué)七年級期中）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個多項式，形式如下：×?1【答案】?6x+2y?1【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】由題意可得，所捂多項式是：(3=3=?6x+2y?1．故答案為：?6x+2y?1．【點睛】本題主要考查了整式的除法，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·浙江·永嘉縣崇德實驗學(xué)校七年級期中）若定義表示3xyz3，表示?3adcb，則運算A．?72n B．72n C．mn 【答案】A【分析】先根據(jù)定義列出代數(shù)式，然后再利用積的乘方、單項式除法解答即可．【詳解】解：由題意可得：3mn?23÷?3故選A．【點睛】本題主要考查了整單項式除法運算，根據(jù)新定義列出整式是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·山東淄博·期中）王老師給學(xué)生出了一道題：求2x+y2x?y+22x?y2+同學(xué)們看了題目后發(fā)表不同的看法．小明說：“條件y=?1是多余的．”小亮說：“不給y=?1這個條件，就不能求出結(jié)果，所以不多余．”(1)你認為他倆誰說的有道理？為什么？(2)若本題的結(jié)果等于M，試求M的值．【答案】(1)小明說的有道理，理由見解析；(2)3【分析】（1）對2x+y2x?y（2）由（1）可計算得的結(jié)果為3，即M的值為3．（1）解：小明說的有道理，理由如下：2x+y==4=12x∵化簡得結(jié)果為12x2，12x∴條件y=?1是多余的，小明說的有道理；（2）當(dāng)x=12時，∴M=3,即M的值為3．【點睛】此題考查了整式的混合運算，在化簡求值時要特別注意去括號法則的運用.【變式5-3】（2022·重慶市萬州第二高級中學(xué)八年級期中）已知a、b、c為實數(shù)，且多項式x3＋ax2＋bx＋c能被多項式x2＋3x－4整除，（1）求4a＋c的值；（2）若a、b、c為整數(shù)，且c≥a＞1，試確定a、b、c的值．【答案】（1）4a+c＝12；（2）a＝2；b＝﹣7；c＝4．【分析】（1）根據(jù)整除的定義，得到x2+3x﹣4＝0，然后得到關(guān)于a、b、c的方程組，即可得到答案；（2）由于c≥a＞1，又a=3?c4，可知1＜3?c【詳解】解：（1）∵x2+3x﹣4是x3+ax2+bx+c的一個因式，∴x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4，x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解，∴a+b+c=?1①16a?4b+c=64②①×4+②得4a+c＝12③；（2）∵c≥a＞1，又a=3?c∴a＝3?c4＜c，即1＜解得：125又∵a、c是大于1的正整數(shù)，∴c＝3、4、5、6、7，但a=3?c∴c＝4，∴a＝2，∴b＝﹣4﹣34【點睛】本題考查的是多項式除以多項式，注意理解整除的含義，比如A被B整除，另外一層意思也就是說，B是A的一個因式，使這個因式B等于0的值，必是A的一個解．【考點6整式混合運算的應(yīng)用】【例6】（2022·北京·八年級期中）隨著某種產(chǎn)品的原料漲價，因而廠家決定對產(chǎn)品進行提價，設(shè)該產(chǎn)品原價為1元，現(xiàn)在有兩種提價方案：方案1：第一次提價x%，第二次提價y%；方案2：第一次、二次提價均為x%+y%2其中x，y是不相等的正數(shù)，請判斷在分別實施這兩種方案后哪種方案最終價格更高？并用乘法公式證明．【答案】方案2最終價格更高，理由見解析．【分析】先表示出“最方案1最終價格-方案2最終價格”代數(shù)式表示，再利用整式的混合運算，化簡整式，最后得?100+x【詳解】解：方案2最終價格更高．理由如下：最方案1最終價格-方案2最終價格========∵x，y是不相等的正數(shù)∴?所以，兩種方案后方案2最終價格更高．【點睛】題考查了列代數(shù)式、整式混合運算、乘法運算的應(yīng)用，利用的方法為作差法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·重慶·八年級期中）近年來，重慶成為了眾多游客前來旅游的網(wǎng)紅城市．某商場根據(jù)游客的喜好，推出A、B兩種土特產(chǎn)禮盒，A種禮盒內(nèi)有3袋磁器口麻花，3包火鍋底料；B種禮盒里有2袋磁器口麻花，3包火鍋底料，2袋合川桃片．兩種禮盒每盒成本價分別為盒內(nèi)所有土特產(chǎn)的成本價之和．已知每袋合川桃片的成本價是每包火鍋底料成本價的一半，A種禮盒每盒的售價為108元，利潤率為20%．今年10月1日賣出A、B【答案】6920【分析】根據(jù)A種禮盒每盒的售價為108元，利潤率為20%可得1袋磁器口麻花，1包火鍋底料的成本價是30元，設(shè)1袋磁器口麻花成本價是x元，則1包火鍋底料的成本價是(30?x)元，每袋合川桃片的成本價30?x2元，設(shè)今年10月1日賣出A種禮盒m盒，則賣出B中禮盒(80?m)盒，由工作人員在核算當(dāng)日賣出禮盒總成本時把磁器口麻花和火鍋底料的成本價看反了，導(dǎo)致當(dāng)日賣出禮盒的實際總成本比核算時的成本少了280元，可得90m+(80?m)(120?2x)+280=90m+(80?m)[2(30?x)+3x+2×30?x【詳解】∵A種禮盒每盒的售價為108元，利潤率為20%∴A種禮盒每盒的成本價為108÷(1+20%)=90（元∴1袋磁器口麻花，1包火鍋底料的成本價是30元，設(shè)1袋磁器口麻花成本價是x元，則1包火鍋底料的成本價是(30?x)元，∵每袋合川桃片的成本價是每包火鍋底料成本價的一半，∴每袋合川桃片的成本價30?x2∴每盒B種禮盒成本價是2x+3×(30?x)+2×30?x設(shè)今年10月1日賣出A種禮盒m盒，則賣出B中禮盒(80?m)盒，根據(jù)題意可得：90m+(80?m)(120?2x)+280=90m+(80?m)[2(30?x)+3x+2×30?x化簡整理得：mx=80x+15m?1340，∴當(dāng)日賣出禮盒的實際總成本為：90m+(80?m)(120?2x)=90m+9600?160x?120m+2mx=90m+9600?160x?120m+2(80x+15m?1340)=6920元故答案為：6920．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，整式的運算、代數(shù)式的知識，解題的關(guān)鍵熟練掌握整式乘法的性質(zhì)，從而完成求解．【變式6-2】（2022·重慶南開中學(xué)七年級期中）春天是耕種的最佳時節(jié)，我校兩個勞動實踐小組在試驗田里種植了黃瓜、番茄、辣椒三種蔬菜，單位面積種植黃瓜、番茄、辣椒的株數(shù)之比為1：2：2．第一小組種植黃瓜、番茄、辣椒面積之比為3：2：4，第二小組在余下的實驗田里繼續(xù)種植這三種蔬菜，將余下試驗田面積的16種植辣椒，辣椒的種植總面積將達到這三種蔬菜種植總面積的38，且第二小組種植三種蔬菜的總株數(shù)是第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)的【答案】47【分析】設(shè)第一小組已經(jīng)種植黃瓜面積為3m，種植黃瓜的單位面積種植株數(shù)為n，根據(jù)三種蔬菜面積之比及單位面積種植株數(shù)之比可得第一小組已經(jīng)種植番茄面積為2m，已經(jīng)種植辣椒的面積為4m，種植番茄的單位面積種植株數(shù)為2n，種植辣椒的單位面積種植株數(shù)為2n，設(shè)余下的面積為z，第二小組在余下的實驗田里種植辣椒面積的16z，可列方程16z+4m=38(3m+2m+4m+z)，可得z=3m，設(shè)第二小組種植黃瓜面積為a【詳解】解：設(shè)第一小組已經(jīng)種植黃瓜面積為3m，種植黃瓜的單位面積種植株數(shù)為n，∵單位面積種植黃瓜、番茄、辣椒的株數(shù)之比為1：2：2，第一小組種植黃瓜、番茄、辣椒面積之比為3：2：4，∴第一小組已經(jīng)種植番茄面積為2m，已經(jīng)種植辣椒的面積為4m，種植番茄的單位面積種植株數(shù)為2n，種植辣椒的單位面積種植株數(shù)為2n，設(shè)余下的面積為z，∴第二小組在余下的實驗田里種植辣椒面積的16∴1解得z=3m，設(shè)第二小組種植黃瓜面積為a，第二小組種植番茄面積為3m?a?1黃瓜種植面積：3m+a，番茄種植面積：2m+5辣椒種植面積：4m+1第二小組種植三種蔬菜的總株數(shù)為：a×n+(=an+5mn?2an+mn=6mn?an第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)為：3mn+2m×2n+4m×2n=15mn∴6mn?an=解得a=m，黃瓜總株數(shù)：3mn+an=4mn，番茄總株數(shù)：5mn?2an+4mn=7mn4mn最后實驗田里種植黃瓜和番茄的總株數(shù)之比為47【點睛】本題主要考查了代數(shù)式表示數(shù)、代數(shù)式在生活中的的運用和一元一次方程的實際問題等知識，仔細閱讀抓住辣椒的種植總面積將達到這三種蔬菜種植總面積的38，且第二小組種植三種蔬菜的總株數(shù)是第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)的1【變式6-3】（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級期中）南山植物園坐落在省級南山風(fēng)景名勝區(qū)群山之中，與重慶主城區(qū)夾長江面峙，是一個以森林為基礎(chǔ)，花卉為特色的綜合性公園．備受重慶人民的喜愛；每到春季，上山賞花的人絡(luò)繹不絕；一植物園附近的市民嗅到了商機，開辦了植物花卉門市；將A、B、C三種花卉包裝成“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”、“粉色回憶”三種不同的禮盒進行銷售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包裝成“如沐春風(fēng)”禮盒；用A花卉2支、B花卉2支、C種花卉4支包裝成“惜懂少女”禮盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包裝成“粉色回憶”禮盒；包裝費忽略不計，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春風(fēng)”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍；該商家將三種禮盒均以利潤率50%進行定價銷售；某周末，該門市為了加大銷量，將“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”兩種禮盒打八折進行銷售，且兩種禮盒的銷量相同，“粉色回憶”禮盒打九折銷售；銷售完畢后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，三種禮盒的總成本恰好為總利潤的4倍，則該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤與三種禮盒的總利潤的比值為___．【答案】7：15【分析】設(shè)A、B、C三種花卉的成本價分別為x元、y元、z元，根據(jù)題意求得y=4z，x=z，得到“如沐春風(fēng)”禮盒的成本價為28z元，“惜懂少女”禮盒的成本價為14z元，“粉色回憶”禮盒的成本價為20z元，以及得到“如沐春風(fēng)”禮盒的售價為42z，“惜懂少女”禮盒的售價為21z，“粉色回憶”禮盒的售價為30z，再根據(jù)題意約分即可求解．【詳解】解：設(shè)A、B、C三種花卉的成本價分別為x元、y元、z元，則“如沐春風(fēng)”禮盒的成本價為：(2x+4y+10z)元，“惜懂少女”禮盒的成本價為：(2x+2y+4z)元，“粉色回憶”禮盒的成本價為：(2x+3y+6z)元，∵每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，∴y=4z，∴“如沐春風(fēng)”禮盒的成本價為：(2x+26z)元，“惜懂少女”禮盒的成本價為：(2x+12z)元，“粉色回憶”禮盒的成本價為：(2x+18z)元，又∵每盒“如沐春風(fēng)”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍，∴2x+26z=2(2x+12z)，∴x=z，∴“如沐春風(fēng)”禮盒的成本價為：28z元，“惜懂少女”禮盒的成本價為：14z元，“粉色回憶”禮盒的成本價為：20z元，∵該商家將三種禮盒均以利潤率50%進行定價銷售，∴“如沐春風(fēng)”禮盒的售價為：28z?(1+50%)=42z(元)，“惜懂少女”禮盒的售價為：14z?(1+50%)=21z(元)，“粉色回憶”禮盒的售價為：20z?(1+50%)=30z(元)，設(shè)“如沐春風(fēng)”禮盒的銷量為a，“粉色回憶”禮盒的銷量為b，∵“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”兩種禮盒的銷量相同，∴“懵懂少女”禮盒的銷量為a，∵將“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”兩種禮盒打八折進行銷售，“粉色回憶”禮盒打九折銷售，∴“如沐春風(fēng)”禮盒的利潤為：0.8×42z-28z=5.6z(元)，“惜懂少女”禮盒的利潤為：0.8×21z-14z=2.8z(元)，“粉色回憶”禮盒的利潤為：0.9×30z-20z=7z(元)，∵三種禮盒的總成本恰好為總利潤的4倍，∴28z?a+14z?a+20z?b=4(5.6z?a+2.8z?a+7z?b)，整理得：8.4a=8b，“粉色回憶”禮盒的總利潤為：7z?b，三種禮盒的總利潤為：5.6z?a+2.8z?a+7z?b=8.4z?a+7z?b=15z?b，∴該周末“粉色回憶”禮盒的總利潤與三種禮盒的總利潤的比值為：7z?b：15z?b=7：15．故答案為：7：15．【點睛】本題考查了整式的混合運算，理解“利潤率=售價?【考點7因式分解的概念】【例7】（2022·江蘇徐州·七年級期中）下列各式由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A．a(chǎn)b+ac+d=aa+b+d C．a(chǎn)+ba?b=a【答案】B【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故A錯誤；B、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故B正確；C、是整式的乘法，故C錯誤；D、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故D錯誤；故選B．【點睛】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式乘積．【變式7-1】（2022·山東·海川中學(xué)八年級期中）下列多項式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a(chǎn)2﹣a+12 D．a(chǎn)2+2ab﹣【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：選項A、C、D都不能夠用完全平方公式分解，選項B能用完全平方公式分解，即1?2xy+x故選：B．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·云南省個舊市第二中學(xué)八年級期中）下列多項式中，不能進行因式分解的是（

）A．a(chǎn)3－3a2＋2a B．a(chǎn)2－2ab＋b2－1 C．－a2＋b2 D．－a2－b2【答案】D【分析】直接利用因式分解的意義分別分析得出答案即可．【詳解】解：A、a3B、a2C、?aD、原式不能分解，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了因式分解的定義，正確分解因式是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·上?！て吣昙壠谥校┫铝懈魇街?，正確分解因式的個數(shù)為（

）①x②x③?2④a⑤(m?n)(2x?5y?7z)+(m?n)(3y?10x+3z)=?(m?n)(8x+2y+4z)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法等，分解的結(jié)果要分解到不能再分解為止，根據(jù)這些基本的分解方法及分解要求逐個選項分析即可．【詳解】①左邊為三項，右邊乘開為兩項，故錯誤；②右邊(x+2y)2=x2+4xy+4y2≠左邊，故錯誤；③公因數(shù)2未提出來，故錯誤；④a3﹣abc+a2b﹣a2c=(a3+a2b)﹣(abc+a2c)=a2(a+b)﹣ac(a+b)=a(a﹣c)(a+b)④正確；⑤等式右邊的(8x+2y+4z)未提取公因數(shù)2，故錯誤．綜上，只有④正確．故選：A．【點睛】本題考查了因式分解的方法，熟練掌握分解的基本方法及分解要求，是解答本題的關(guān)鍵．【考點8因式分解（提公因式與公式法綜合）】【例8】（2022·福建省泉州實驗中學(xué)八年級期中）因式分解：(1)4a(2)a2【答案】(1)4a?2(2)x?y【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先進行公式變形為a2（1）解：4=4=4a?2（2）解：a=a=x?y=x?y【點睛】本題考查了將多項式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法無法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分組分解法進行因式分解，注意因式分解一定要徹底?！咀兪?-1】（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學(xué)校八年級期中）已知a+b=12,ab=?【答案】aba+b2【分析】先將公共因式提出來，然后利用完全平方公式求解即可．【詳解】解：a3=ab=ab當(dāng)a+b=12，原式=?3【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用、完全平方公式，解題的關(guān)鍵是提出公共因式．【變式8-2】（2022·甘肅·臨澤縣第三中學(xué)八年級期中）分解因式．(1)a(2)x【答案】(1)ab(2)x?4【分析】（1）先提取公因式ab，再根據(jù)完全平方公式分解；（2）先提取公因式x?4，再根據(jù)完全平方公式分解．（1）解：a=ab=ab（2）解：x=x?4=x?4【點睛】本題考查了用提公因式法和完全平方公式進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．【變式8-3】（2022·浙江·寧波大學(xué)青藤書院七年級期中）因式分解：(1)mx(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【答案】(1)m（x+y）（x﹣y）(2)（a﹣b）（2m+3n）【分析】（1）直接提取公因式m,再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（a-b），進而分解因式即可．（1）m＝m＝m（x+y）（x﹣y）；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．【點睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式是解題關(guān)鍵．【考點9因式分解（十字相乘法）】【例9】（2022·廣東·揭西縣寶塔實驗學(xué)校八年級期中）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式因式分解．例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．分析：這個式子的常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．請仿照上面的方法，解答下列問題：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；【答案】(1)(x?2)(x＋9)(2)±2，±7(3)x【分析】（1）仿照例題的方法，這個式子的常數(shù)項?18＝?9×2，一次項系數(shù)7＝?2＋9，然后進行分解即可；（2）仿照例題的方法，這個式子的常數(shù)項?8=?4×2，?8=?2×4，?8=?1×8，?8=?8×1，然后進行計算求出p的所有可能值即可；（3）仿照例題的方法，這個式子的常數(shù)項8=(?2)×(?4)，一次項系數(shù)?6=?2+(?4)，然后進行分解計算即可．（1）解：x2＋7x＝x2＋（?2＋9）x＝（x?2）（x＋9）故答案為：（x?2）（x＋9）．（2）解：∵?8＝?4×2，?8＝?2×4，?8＝?1×8，?8＝?8×1，∴p＝?4+2＝?2，p＝?2+4＝2，p＝?1+8＝7，p＝?8+1＝?7，∴若x2＋px＋6可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p故答案為：±2，±7．（3）解：x2?6x（x?2）（x-4）＝0，（x?2）＝0或（x-4）＝0，∴x1=2，【點睛】本題考查了因式分解?十字相乘法，理解并掌握x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q【變式9-1】（2022·上海閔行·七年級期中）在因式分解的學(xué)習(xí)中我們知道對二次三項式x2+a+b(1)x2(2)x2(3)x2(4)2018x2【答案】(1)(x-y)(x+6y)(2)(x-3a)(x-a-2)(3)(x+a-3b)(x-a-2b)(4)(20182x2+1)(x-1)【分析】（1）將-6y2改寫成-y·6，然后根據(jù)例題分解即可；（2）將3a2+6a改寫成?3a?（3）先化簡，將ab+6b2?（4）將2017×2019改寫成(2018-1)(2018+1)，變形后根據(jù)例題分解即可；(1)解：原式=x=(x-y)(x+6y)；(2)解：原式=x=(x-3a)(x-a-2)；(3)解：原式=x=x=x=(x+a-3b)(x-a-2b)；(4)解：原式=2018x=2018=2018=(20182x+1)(x-1)．【點睛】本題考查了十字相乘法因式分解，熟練掌握二次三項式x2+a+b【變式9-2】（2022·浙江杭州·七年級期中）分解因式：x+2x?3【答案】x【分析】原式變形后，利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：原式===x故答案為：x2【點睛】此題考查了因式分解—十字相乘法，熟練掌握十字相乘法是解本題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022·貴州銅仁·七年級期中）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式ax2+bx+ca≠0分解因式呢？我們已經(jīng)知道：a1x+c1a2x+c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x例如，將式子x2?x?6分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項?6也分解為兩個因數(shù)的積，即?6=2×?3；然后把1，1，2，?3按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×?3+1×2=?1，恰好等于一次項的系數(shù)?1請同學(xué)們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：x2(2)【理解與應(yīng)用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：①

2x②

6x(3)【探究與拓展】對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關(guān)于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，①

分解因式3x②

若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy?18y【答案】(1)(x+3)(x?2)(2)

(2x+7)(x?1)

(2x?y)(3x?2y)(3)(3x?y+4)(x+2y?1)②43或?78【分析】（1）首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項?6也分解為兩個因數(shù)的積，即?6=3×（（2）①把二次項系數(shù)2寫成2=1×2，常數(shù)項寫成?7=?1×7，滿足1×7+(?1)×2=5，寫出分解結(jié)果即可．②把x2項系數(shù)6寫成6=2×3，把y2項系數(shù)2寫成2=?2×（（3）①把x2項系數(shù)3寫成3=1×3，把y2項系數(shù)-2寫成?2=2×（②把x2項系數(shù)1寫成1=1×1，把y2項系數(shù)-18寫成?18=?2×9，常數(shù)項-24寫成?24=3×(?8)或（1）首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項?6也分解為兩個因數(shù)的積，即?6=3×（?2)，所以x2故答案為：(x+3)(x?2)．（2）①把二次項系數(shù)2寫成2=1×2，?7=?1×7，滿足1×7+(?1)×2=5，所以2x2+5x?7=故答案為：(2x+7)(x?1)．②把x2項系數(shù)6寫成6=2×3，把y2項系數(shù)2寫成2=?1×（所以6x2?7xy+2故答案為：(2x?y)(3x?2y)．（3）①把x2項系數(shù)3寫成3=1×3，把y2項系數(shù)-2寫成?2=2×（所以3x2+5xy?2故答案為：(3x?y+4)(x+2y?1)．②把x2項系數(shù)1寫成1=1×1，把y2項系數(shù)-18寫成?18=?2×9，常數(shù)項-24寫成?24=3×(?8)或所以m=3×9+(?2)×(?8)=43或m=9×(?8)+(?2)×3=?78，故m的值為43或-78．【點睛】本題考查了因式分解的十字相乘法，讀懂閱讀材料，理解其中的內(nèi)涵是解題的關(guān)鍵．【考點10因式分解（分組分解法）】【例10】（2022·上海市婁山中學(xué)九年級期中）分解因式：x2【答案】(x+y?2)(x?y+2)##（x-y+2）（x+y-2）【分析】先分組成x2?(y【詳解】解：x===(x+y?2)(x?y+2)故答案為：(x+y?2)(x?y+2)．【點睛】本題考查因式分解，涉及分組分解法、完全平方公式、平方差公式等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2022·上?！て吣昙壠谥校┮蚴椒纸猓??4【答案】(3?2x+y)(3+2x?y)【分析】先把后三項作為一組，運用完全平方公式分解，再運用平方差公式分解．【詳解】解：9?4x【點睛】本題考查了多項式的因式分解，屬于?？碱}型，正確分組、掌握解答的方法是解題關(guān)鍵．【變式10-2】（2022·湖南常德·七年級期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【答案】（x﹣y）（3x+2y﹣1）【分析】先對代數(shù)式進行分解，然后十字相乘進行因式分解，再提取公因式即可．【詳解】解：原式＝（3x2﹣xy﹣2y2）﹣（x﹣y）＝（3x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（3x+2y﹣1）．【點睛】此題考查了因式分解的方法，熟練掌握因式分解的有關(guān)方法是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·福建省福州延安中學(xué)八年級期中）（1）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；②若a，b（a＞b）都是正整數(shù)且滿足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；（2）若a，b為實數(shù)且滿足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a?7b，求整式M的最小值．【答案】（1）①（b-2）(a-2）；②21或16；（2）M的最小值是-10．【分析】（1）①先分組，再運用提公因式法進行因式分解；②先將ab﹣2a﹣2b﹣4＝0變形為ab﹣2a﹣2b+4-8=0，即(b?2)(a?2)=8，然后再解決本題．（2）先將ab﹣a﹣b﹣1＝0變形為ab=a+b+1，再代入M，然后進行變形，得到M=（a﹣3）2+（b-2）2﹣10，最后，探究M的最小值．【詳解】解：（1）①原式=(ab?2a)?(2b?4)=a(b?2)?2(b?2)=(b?2)(a?2)②解：ab﹣2a﹣2b﹣4＝0則ab﹣2a﹣2b+4-8=0，由①可知：(b?2)(a?2)=8∵a，b（a＞b）都是正整數(shù)∴a?2>b?2，且a-2、b-2都是整數(shù)，a?2=8，4，﹣1或?2b?2=1，2，﹣8或?4易得a=10b=1或a=6b=4（其他兩種不符合a，故：2a+b=21或16；（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得ab=a+b+1帶入MM==a=（a﹣3）2+（b-2）2﹣10，∵(a?3)2∴M≥-10，∴M的最小值是﹣10．【點睛】本題考查了分組分解法進行因式分解，熟練掌握運用提公因式法以及公式法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．【考點11利用整體思想分解因式】【例11】（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：x+y2解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A再將“A”還原，得原式=x+y+12．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請利用上述方法將【答案】a【分析】令A(yù)=a2+【詳解】解：令A(yù)=a則原式=AA?4再將A還原，原式=a故答案為：a2【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．【變式11-1】（2022春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．下面是小涵同學(xué)用換元法對多項式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25進行因式分解的過程．解：設(shè)x2+3x＝y(tǒng)原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y(tǒng)2﹣8y+16（第二步）＝（y﹣4）2（第三步）＝（x2+3x﹣4）2（第四步）請根據(jù)上述材料回答下列問題：（1）小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的（）；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果：；（3）請你用換元法對多項式（9x26x+3）（9x26x1）4進行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x-1）2（x+4）2；（3）（3x-1）4．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式將結(jié)果分解到不能分解為止；（3）根據(jù)材料，用換元法進行分解因式．【詳解】解：（1）由y2﹣8y+16＝（y﹣4）2可知，小涵運用了因式分解的完全平方公式法故選：C；（2）（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25，解：設(shè)x2+3x＝y(tǒng)原式＝（y﹣9）（y+1）+25＝y(tǒng)2﹣8y+16＝（y﹣4）2＝（x2+3x﹣4）2=(x-1)2(x+4)2；故答案為：(x-1)2(x+4)2；（3）（9x26x+3）（9x26x1）4設(shè)9x26x=y，原式=(y+3)（y-1）+4，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（9x26x+1）2，=（3x-1）4．【點睛】本題考查了因式分解-換元法，公式法，也是閱讀材料問題，熟練掌握利用公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2022春·湖南永州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：材料1：將一個形如x2＋px＋q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個整體，令x+y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）根據(jù)材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題；①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2【分析】（1）將x2+2x-24寫成x2+（6-4）x+6×（-4），根據(jù)材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；（2）①令x-y=A，原式可變?yōu)锳2-8A+16，再利用完全平方公式即可；②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可變?yōu)锽（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解為（B-3）（B+1），再代換后利用十字相乘法和完全平方公式即可．【詳解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；（2）①令x-y=A，則原式可變?yōu)锳2-8A+16，A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；②設(shè)B=m2-2m，則原式可變?yōu)锽（B-2）-3，即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．【點睛】本題考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．【變式11-3】（2022春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）先閱讀材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將x+y看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再將A還原，得到原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)中常用的方法，請根據(jù)上面的方法將下面的式子因式分解：（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．【答案】（1）(a+b?1)2；（2）【分析】（1）令A(yù)=a+b，代入后因式分解，再代入即可將原式因式分解．（2）令B=x【詳解】解：（1）令A(yù)=a+b，則原式變?yōu)锳(A?2)+1=A∴(a+b)(a+b?2)+1=(a+b?1)（2）令B=x2∴(x2【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．【考點12利用拆項法分解因式】【例12】（2022秋·江西新余·八年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實分解因式方法還有分組分解法、拆項法等等．（1）分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：例1．a(chǎn)x+by+bx+ay=例2．2xy+（2）拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．請閱讀以下例題：例1．x請你仿照以上例題的方法，解決下列問題：(1)分解因式：①x2?(2)分解因式：a2(3)若多項式ax2?9y2【答案】(1)①x?nx+n+1②(2)a+1(3)a=4，b=2【分析】（1）①將前兩項利用平方差公式分解因式，進而利用提取公因式法分解因式得出答案；②利用分組分解法先將原式整理為x2（2）利用拆項法先將原式變形為[a（3）利用多項式乘以多項式法則進行運算，然后比較系數(shù)即可獲得答案．【詳解】（1）解：①原式==x?n②原式===x?y+3（2）原式=====a+1（3）2x+3y==4x∵ax∴ax比較系數(shù)可得a=4，b=2．【點睛】此題主要考查了拆項法以及分組分解法分解因式，讀懂題目材料并理解所給做法是解題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：把代數(shù)式x2x===(1)探究：請你仿照上面的方法，把代數(shù)式x2(2)拓展：把代數(shù)式x2+4xy?5y2因式分解得______；當(dāng)【答案】(1)x?1(2)x+5yx?y；1或【分析】（1）根據(jù)題目中給出的方法分解因式即可；（2）先將x2+4xy?5y2分解因式得出x2+4xy?5y2=【詳解】（1）解：x====x?1（2）解：x====x+5y∵x2∴當(dāng)x+5y=0或x?y=0時，x2∴x=?5y或x=y時，x2∴xy=?5或xy故答案為：x+5yx?y；1或?5【點睛】本題主要考查了因式分解，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式a2±2ab+b【變式12-2】（2022春·全國·七年級專題練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：x2②拆項法：例如：x2仿照以上方法分解因式：(1)4x(2)x2【答案】(1)2x+1+y(2)x?2【分析】（1）采用分組法，結(jié)合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將原式先變形為x2【詳解】（1）解：4=4==2x+1+y（2）解：x====x?2【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是理解分組分解法，熟練掌握平方差公式，完全平方公式．【變式12-3】（2022秋·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：對于二次三項式x2+2ax+a2，能直接用公式法進行因式分解，得到x2+2ax+a2=x======像這樣把二次三項式分解因式的方法叫做添（拆）項法．請用上述方法將下列各式進行因式分解．(1)x2(2)a4【答案】(1)x+3a(2)a【分析】（1）將式子x2+2ax?3a2，添項（2）將式子a4+4，添項4a【詳解】（1）解：x=x2=x+a2=x+a+2ax+a?2a（2）解：a=a4+4a2【點睛】本題是因式分解及因式分解的應(yīng)用，除了一般因式分解的方法以外，還可以利用添（拆）項法把一此復(fù)雜的式子進行因式分解；同時可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．【考點13利用添項法分解因式】【例13】（2022年河北省邢臺市九年級中考第三次模擬數(shù)學(xué)試題）嘉琪采用一種新的方法將x2x2=x2=x?22=x?2+1x?2?1=x?1x?3(1)③的變形依據(jù)是．(2)仿照嘉琪的做法，分解因式x2【答案】（1）利用平方差公式因式分解；（2）x+1【分析】（1）根據(jù)利用平方差公式分解因式可得答案；（2）將原式變形為x2【詳解】解：（1）③的變形依據(jù)是利用平方差公式因式分解；(2)x2=x=x?3=x?3+4=x+1【點睛】本題考查運用公式法進行因式分解，解題的關(guān)鍵是理解材料中因式分解的方法和步驟，正確的運用乘法公式．【變式13-1】（2022秋·上?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期末）閱讀材料：在代數(shù)式中，將一個多項式添上某些項，使添項后的多項式中的一部分成為一個完全平方式，這種方法叫做配方法．如果我們能將多項式通過配方，使其成為A2?B解：原式===即原式=請按照閱讀材料提供的方法，解決下列問題．分解因式：(1)4x(2)x4【答案】(1)2(2)x【分析】（1）原式按照閱讀材料提供的方法得到4x（2）原式按照閱讀材料提供的方法得到x4【詳解】（1）解：4==2（2）解：x==x【點睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以根據(jù)材料中的例子對所求的式子進行因式分解．【變式13-2】（2022春·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解（也叫作分解因式）．它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具．把x4+4分解因式．該因式只有兩項，而且屬于平方和x22+x4任務(wù)：請你仿照上面的做法，將下列各式分解因式．(1)4m(2)x2【答案】(1)2(2)x+y+1【分析】（1）原式仿照題意添一項4m2n（2）仿照題意求解即可．【詳解】（1）解：4=4==2（2）解：x====x+y+1【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式13-3】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀材料，解答問題：我們已經(jīng)學(xué)過多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實多項式的因式分解還有別的方法．下面再介紹一種方法：“添（拆）項分組分解法”．例題：x3+8=x3=x=x＝________（兩組有公因式，再提公因式）(1)請將上面的例題補充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：64x(3)若a，b，c是△ABC三邊長，滿足3a【答案】(1)x+(2)8x(3)△ABC是等腰三角形，理由見解析．【分析】（1）運用提公因式法分解即可；（2）需要添項，64x4=8x（3）仿照例題運用拆項分組分解法，把19拆成3和16，然后湊成兩個完全平方式，再利用平方式的非負性進行計算．【詳解】（1）解：x===x+2故答案為：x+2x（2）解：64=64===8（3）解：∵3a∴3a∴3a∴3a?1∴a?1=0，b?2=0，∴a=1，b=2．∵a，b，∴b?a＜∴1＜又∵c為整數(shù)，∴c=2，∴b=c=2，∴△ABC是等腰三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，需要學(xué)生必須掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能靈活運用到解題中去．【考點14利用因式分解進行有理數(shù)的簡算】【例14】（2022秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）計算1?122A．512 B．12 C．712【答案】C【分析】原式各括號利用平方差公式變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】原式=1?=1=1=7故選：C．【點睛】本題考查的是平方差公式，掌握運算法則和平方差公式是解題關(guān)鍵．【變式14-1】（2022秋·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）用簡便方法計算20082﹣4016×2007+20072的結(jié)果是_____．【答案】1．【分析】共三項，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答.【詳解】20082﹣4016×2007+20072，＝20082﹣2×2008×2007+20072，＝（2008﹣2007）2，＝1．【點睛】此題考查公式法在有理數(shù)計算中的應(yīng)用，正確分析出所應(yīng)用的公式是解題的關(guān)鍵.【變式14-2】（2022秋·廣東惠州·九年級校考開學(xué)考試）利用因式分解簡便運算：52.82【答案】560【分析】利用平方差法進行因式分解，再進行計算；【詳解】原式＝52.8+47.2＝100×5.6＝560．故答案為：560．【點睛】本題考查利用公式法因式分解進行簡便運算．熟練掌握公式法因式分解是解題的關(guān)鍵．【變式14-3】（2022秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）利用因式分解計算：(1)8.67×15.3+15.3×1.33(2)10×91【答案】(1)153(2)82000【分析】（1）提取公因數(shù)，進行計算即可得；（2）提取公因數(shù)，運用平方差公式進行計算即可得．【詳解】（1）解：原式=15.3×(8.67+1.33)=153．（2）解：原式=10×(=10×(91+9)(91?9)=82000．【點睛】本題考查了因式分解，平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點，正確計算．【考點15利用因式分解判定三角形的形狀】【例15】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┮阎猘、b、c是△ABC的三邊，a2?2ab+b2=0且2A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式將已知等式進行因式分解，得到a=b，且b=c，可得a=b=c，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可得到答案．【詳解】解：∵a2?2ab+b2∴a?b2=0，且∴a?b=0，且b?c=0，∴a=b，且b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形，故選：D．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用∶利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題．熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式15-1】（2022春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC的三邊長a，b，c滿足a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．【答案】見解析.【詳解】試題分析：根據(jù)因式分解法，把原式進行變形，化為ab=0的形式，然后根據(jù)其性質(zhì)求出a、b、c的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀.試題解析：△ABC為等腰三角形．∵a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，∴（a﹣b）2=c（a﹣b），∴（a﹣b）2﹣c（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a﹣b﹣c）=0，∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴a﹣b﹣c≠0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC為等腰三角形．【變式15-2】（2022秋·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）【知識介紹】換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．均值換元法是換元法主要形式之一．【典例分析】已知實數(shù)x，y滿足x+y＝4，試求代數(shù)式x2+y2的最小值．【分析】均值換元法：由x+y＝4，得x與y的均值為2，所以可以設(shè)x＝2+t，再代入代數(shù)式換元求解．【解法】∵x+y＝4，∴設(shè)x＝2+t，y＝2﹣t，∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2＝2t2+8≥8，∴x2+y2的最小值是8．【理解應(yīng)用】根據(jù)以上知識背景，回答下列問題：(1)若實數(shù)a，b滿足a+b＝2，求代數(shù)式a2+b2+2的最小值；(2)已知△ABC的三邊長a，b，c，滿足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，請判斷△ABC的形狀，并求△ABC的周長．(3)若實數(shù)a，b，c滿足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．【答案】(1)4(2)△ABC是等邊三角形，證明見解析(3)a=b=4，c=-1【分析】（1）設(shè)a=1+t，b=1-t，把問題轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）結(jié)論：△ABC是等邊三角形．可以假設(shè)b=4+t，c=4-t，利用非負數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）設(shè)a=3-c+t，b=3-c-t，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出t，c的值可得結(jié)論．(1)解：∵a+b=2，∴可以假設(shè)a=1+t，b=1-t，∴a2+b2+2=（1+t）2+（1-t）2+2=2t2+4≥4，∴a2+b2+2的最小值為4；(2)結(jié)論：△ABC是等邊三角形．理由：∵b+c=8，∴可以假設(shè)b=4+t，c=4-t，∵bc=a2-8a+32，∴16-t2=a2-8a+32，∴t2+（a-4）2=0，∵t2≥0，（a-4）2≥0，∴t=0，a=4，∴b=c=a=4，∴△ABC是等邊三角形；(3)∵a+b+2c=6，∴可以假設(shè)a=3-c+t，b=3-c-t，∵ab=2c2-4c+10，∴（3-c）2-t2=2c2-4c+10，∴c2+2c+1+t2=0，∴（c+1）2+t2=0，∵（c+1）2≥0，t2≥0，∴c=-1，t=0，∴a=b=4．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定，非負數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會模仿例題解決問題．【變式15-3】（2022秋·山東濟寧·九年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校╅喿x下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分項數(shù)多于3的多項式只單純用上述方法就無法分解，如x2?2xy+y1．知識運用：試用“分組分解法”分解因式：x22．解決問題：（1）已知a，b，c為△ABC的三邊，且b2（2）已知四個實數(shù)a，b，c，d，滿足a≠b，c≠d，并且a2①當(dāng)k=1時，求a+c的值②當(dāng)k≠0時，用含有a的代數(shù)式分別表示b，c，d（直接寫出答案即可）【答案】知識運用：x+y+zx?y；解決問題：（1）等腰三角形，理由見解析；（2）①a+c=±6；②b=?3a，c=2a，【分析】知識運用：x2?y2用公式法因式分解，xz?yz提取公因式解決問題：（1）將b2+2ab=c2+2ac寫成b2?（2）①由k=1得到a2+ac=12和c2+ac=24，推出c=2a，就可以算出a和②同①可得c=2a，根據(jù)a2+ac=12k=b2+bc，利用因式分解得到a+b+c=0，同理由c2+ac=24k=d2+ad，得【詳解】解：知識運用原式==x+y+z解決問題（1）bbb+c2a+b+cb?c∵2a+b+c≠0，∴b?c=0，即b=c，∴△ABC是等腰三角形；（2）①當(dāng)k=1時，a2+ac=12，即c2+ac=24，即若a+c≠0則c=2a，把它代入a2+ac=12，得a2當(dāng)a=2時，c=4，則a+c=6，當(dāng)a=?2時，c=?4，則a+c=?6，綜上：a+c的值為6或?6；②當(dāng)k≠0，∵a2∴a+b+ca?b∵a≠b，∴a+b+c=0，同理由c2+ac=24k=d由a2+ac=12k，若a+c=0，則c=?a，b=0，d=0，則此時k就等于0了，矛盾，不合題意，若a+c≠0，則c=2a，b=?a?c