專題10 平方差公式的應(yīng)用和幾何背景 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題10平方差公式的應(yīng)用和幾何背景閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2023八上·華鎣期末）如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，把剩下部分沿圖1中的虛線剪開后重新拼成一個(gè)梯形（如圖2），利用這兩幅圖形面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是（）A． B．C． D．【答案】D【規(guī)范解答】解：圖1的陰影部分面積為，圖2的陰影部分面積為=，即.故答案為：D.【思路點(diǎn)撥】用大正方形的面積減去小正方形的面積表示出圖1中陰影部分的面積，利用梯形的面積計(jì)算公式表示出圖2的面積，進(jìn)而根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等即可得出答案.2．（2分）（2023八上·扶溝期末）如圖中能夠用圖中已有圖形的面積說明的等式是（）A． B．C． D．【答案】B【規(guī)范解答】解：如圖，長方形②與③的面積相等，正方形④和⑤的面積相等，∴，，∴，故答案為：B.【思路點(diǎn)撥】對(duì)圖形進(jìn)行標(biāo)注，長方形②與③的面積相等，正方形④和⑤的面積相等，則S①+S②=(x+2)(x-2)，S①+S③=(S①+S③+S④)-S④=x2-4，據(jù)此可得等式.3．（2分）（2022七上·中山期末）如圖，從邊長為a的大正方形中去掉一個(gè)邊長為b的小正方形，然后將剩余部分剪后拼成一個(gè)長方形，則這個(gè)長方形的周長為（）A． B． C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：如圖可知，拼接后的長方形的長為，寬為，這個(gè)長方形的周長，故答案為：C．

【思路點(diǎn)撥】先求出拼接后的長方形的長和寬，再利用長方形的周長公式計(jì)算即可.4．（2分）（2022八上·太原月考）在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（a>b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）A． B．C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：圖甲陰影部分的面積為，圖乙中陰影部分的面積等于兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，故答案為：C．

【思路點(diǎn)撥】利用不同的表達(dá)式表示陰影部分的面積即可得到答案。5．（2分）（2022八上·無為月考）計(jì)算：（）A．5000a B．1999a C．10001a D．10000a【答案】D【規(guī)范解答】解：，故答案為：D．

【思路點(diǎn)撥】將代數(shù)式變形為，再利用平方差公式計(jì)算即可。6．（2分）（2022八上·樂山期中）下列能用平方差公式計(jì)算的是（）A． B．C． D．【答案】A【規(guī)范解答】解：A、（-x+y）（x+y），能用平方差公式計(jì)算，故A符合題意；

B、（-x+y）（x-y）=-（x-y）2，不能用平方差公式，故B不符合題意；

C、（x+2）（2+x）=（x+2）2，不能用平方差公式，故C不符合題意；

D、（2x+3）（3x-2），不能用平方差公式，故D不符合題意；

故答案為：A【思路點(diǎn)撥】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：（a+b）（a-b）=a2-b2，再對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷.7．（2分）（2022七下·長興期末）如圖，把一塊面積為100的大長方形木板被分割成2個(gè)大小一樣的大正方形①，1個(gè)小正方形②和2個(gè)大小一樣的長方形③后，如圖擺放，且每個(gè)小長方形③的面積為16，則標(biāo)號(hào)為②的正方形的面積是（）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】C【規(guī)范解答】解：設(shè)正方形①的邊長為a，正方形②的邊長為b，

∴長方形③的長=a+b，寬=a-b，

∵長方形③的面積為16，

∴（a+b）（a-b）=16，

∴a2-b2=16（1）

∵大長方形的長=2a+b，大長方形的寬=2a-b，

∵大長方形的面積為100，

∴（2a+b）（2a-b）=100，

∴4a2-b2=100（2）

由（2）-（1）×4，得：3b2=36，

∴b2=12，

∴正方形②的面積=b2=12.

故答案為：C.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)正方形①邊長為a，正方形②邊長為b，表示出長方形③長=a+b，寬=a-b，由長方形③面積為16，可得（a+b）（a-b）=16，整理得a2-b2=16（1）；大長方形長=2a+b，大長方形寬=2a-b，由大長方形面積為100，可得（2a+b）（2a-b）=100，整理得4a2-b2=100（2），再由（2）-（1）×4，得3b2=36，解得b2=12，即可正方形②的面積.8．（2分）（2022七下·電白月考）式子化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：設(shè)S=，∴（2-1）S=（2-1）∴S====，=故答案為：C．

【思路點(diǎn)撥】將代數(shù)式變形為（2-1），再利用平方差公式計(jì)算即可。9．（2分）（2021七下·北侖期中）如圖有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測(cè)得陰影部分面積為2，圖2將正方形AB并列放置后構(gòu)造新正方形，測(cè)得陰影部分面積為20，若將3個(gè)正方形A和2個(gè)正方形B并列放置后構(gòu)造新正方形如圖3，（圖2，圖3中正方形AB紙片均無重疊部分）則圖3陰影部分面積（）A．22 B．24 C．42 D．44【答案】C【規(guī)范解答】解：設(shè)A的邊長為a，B的邊長為b.

由圖1可得，

S陰影=a2-b2=2;

由圖2可得，

S陰影=(a+b)2-a2-b2=ab=10;

由圖3,得

S陰影=(2a+b)2-3a2-2b2

=4a2+4ab+b2-3a2-2b2

=a2-b2+4ab

=2+4×10

=42.故答案為：C.【思路點(diǎn)撥】利用圖1和圖2，得到a2-b2=2和ab=10.同樣的，用a、b表示圖3的陰影面積，結(jié)合整體代換，可求值.關(guān)鍵還在于掌握a+b,a-b,a2+b2,ab這四個(gè)式子之間得關(guān)系.10．（2分）（2019七下·西湖期末）如圖，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，，表示四個(gè)相同長方形的兩邊長（）.則①；②；③；④，中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【規(guī)范解答】解：由圖得x-y=n,x+y=m,

則(x-y)(x+y)=x2-y2=mn,

x-y+x+y=2x=m+n,

(x+y)-(x-y)=2y=m-n,

∴4xy=(m+n)(m-n)=m2-n2,

∴,

∴

∴①②③正確，④錯(cuò)誤；

故答案為：A.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖示把m、n用含x、y的代數(shù)式表示，兩式結(jié)合，把x,y用m,n的代數(shù)式表示，根據(jù)x、y的值分別求出各選項(xiàng)左式的結(jié)果再比較即可判斷。閱卷人二、填空題(共10題；共20分)得分11．（2分）（2022八上·豐臺(tái)期末）如圖1，在邊長為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形．根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可以列出的等式為．【答案】【規(guī)范解答】解：由題可知，圖1陰影部分面積為兩個(gè)正方形的面積差，即，圖2是長為，寬為的長方形，因此面積為，∵兩個(gè)圖形陰影部分面積相等，∴，故答案為：．

【思路點(diǎn)撥】分別求出兩圖形中陰影部分的面積，再根據(jù)兩陰影部分的面積相等，即得等式.12．（2分）（2022八上·泗縣期中）計(jì)算：．【答案】【規(guī)范解答】解：，故答案為：．

【思路點(diǎn)撥】將代數(shù)式變形為，再利用平方差公式計(jì)算即可。13．（2分）（2022七上·楊浦期中）觀察下列各式：；；；……根據(jù)前面各式的規(guī)律可得到．【答案】-1【規(guī)范解答】解：由題目中的規(guī)律可以得出：-1，故答案為：-1．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)前幾項(xiàng)的數(shù)據(jù)與序號(hào)的關(guān)系可得規(guī)律-1。14．（2分）（2022八上·錦江開學(xué)考）．【答案】【規(guī)范解答】解：，故答案為：．【思路點(diǎn)撥】把（2x+3y）看成一個(gè)整體，先利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再利用完全平方公式將原式展開即可.15．（2分）（2022七下·嵊州期末）已知是方程組ax+by=4ax?by=6的解，則的值是．【答案】6【規(guī)范解答】解：∵是方程組ax+by=4ax?by=6的解，∴2a?2b=42a+2b=6即a?b=2∴==2×3=6，故答案為：6．【思路點(diǎn)撥】將方程組的解代入方程組中，得到關(guān)于a，b的方程組，再利用平方差公式（=）代入計(jì)算.16．（2分）（2022七下·南潯期末）如圖，把三個(gè)大小相同的正方形甲，乙，丙放在邊長為9的大正方形中，甲與丙的重疊部分面積記為Ｓ1，乙與丙的重疊部分面積記為Ｓ2，且均為正方形，正方形甲、乙一組鄰邊的延長線構(gòu)成的正方形面積記為Ｓ3，若Ｓ1－Ｓ2＝2Ｓ3，且Ｓ3＝1，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【規(guī)范解答】解：設(shè)正方形甲、乙、丙的邊長為a，

∵正方形甲、乙一組鄰邊的延長線構(gòu)成的正方形面積記為S3，且S3=1，大正方形邊長為9，

∴2a+1=9，

∴a=4，

設(shè)正方形S1，S2的邊長分別為x，y，

∴x+y+1=4，即x+y=3①，

又∵S1-S2=2S3，

∴x2-y2=2，即（x+y）（x-y）=2，

∴（x-y）=②，

由①得：x2+2xy+y2=9，

由②得：x2-2xy+y2=，

∴4xy=，

∴xy=，

∴S陰影=（x+1）（y+1）-S3=xy+x+y+1-1，

∴S陰影=+3=.

故答案為：.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)正方形甲、乙、丙的邊長為a，由正方形甲、乙一組鄰邊延長線構(gòu)成的正方形面積記為S3，且S3=1，大正方形邊長為9，推出2a+1=9，解得a=4，設(shè)正方形S1，S2的邊長分別為x，y，從而得到x+y+1=4，即x+y=3①，再由S1-S2=2S3，得x2-y2=2，利用平方差公式可求得（x-y）=②，再利用完全平方公式得x2+2xy+y2=9，x2-2xy+y2=，則4xy=，即得xy=，最后根據(jù)陰影部分正方形的面積（x+1）（y+1）-S3=xy+x+y+1-1，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解.17．（2分）（2022九上·福建競(jìng)賽）若素?cái)?shù)p，使得是一個(gè)完全平方數(shù)，則p=.（若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù).）【答案】11【規(guī)范解答】解：設(shè)，為正整數(shù).則，即.∴.由為整數(shù)，為正整數(shù)，且，得，或，或，或.解得，或，或，或.又為素?cái)?shù)，所以.所以當(dāng)素?cái)?shù)時(shí)，是一個(gè)完全平方數(shù).故答案為：11.【思路點(diǎn)撥】設(shè)4p2+p+81=n2（n為正整數(shù)），兩邊同時(shí)乘以16，再利用完全平方公式化簡可得(8p+1)2+1295=16n2，利用平方差公式分解可得(4n-8p-1)(4n+8p+1)=5×7×37，據(jù)此可得n、p的方程組，求出n、p的值，結(jié)合P為素?cái)?shù)就可得到p的值.18．（2分）（2021七下·麗水期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)嘗試將正方形紙片剪去一個(gè)小正方形，剩余部分沿虛線剪開，拼成新的圖形?，F(xiàn)給出下列3種不同的剪、拼方案，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的方案是。(請(qǐng)?zhí)钌险_的序號(hào))【答案】①②【規(guī)范解答】解：①陰影部分的面積=a2-b2，拼湊的矩形的面積=（a+b）（a-b），

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；

②陰影部分的面積=a2-b2，如圖，先取點(diǎn)，再作ME⊥AD，NF⊥AD，

∵M(jìn)E=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b，

∴拼湊的平行四邊形的面積=（a+b）（a-b），

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；

③陰影部分的面積=a2-b2，拼湊的矩形的面積=（a+b）2b≠（a+b）（a-b）；

故答案為：①②.

【思路點(diǎn)撥】看圖先把陰影部分的面積表示出來，再根據(jù)矩形的面積公式或平行四邊形的面積公式分別求出拼湊而成的面積，兩者比較即可判斷.19．（2分）（2021七上·金牛期末）已知下列等式：；①；②；③；④……由此規(guī)律，則．【答案】1581525【規(guī)范解答】解：∵①；②；③；④，……，∴，∴13+23+33+…+503-(13+23+33+…+203)=(1+2+3+…+50)2-(1+2+3+…+20)2=12752-2102=1581525．故答案為：1581525．

【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)前4項(xiàng)的結(jié)果推出一般規(guī)律：，然后把原式變形為n=50和n=20時(shí)的兩個(gè)等式之差，再利用平方差公式計(jì)算即可.20．（2分）（2020七下·簡陽期中）已知a1=，a2=，a3=，…，an=，Sn=a1?a2…an，則S2015=.【答案】【規(guī)范解答】解：…故答案為：【思路點(diǎn)撥】利用平方差公式將各式變形，可得規(guī)律an=，據(jù)此將進(jìn)行變形，然后約分即可.第Ⅱ卷主觀題第Ⅱ卷的注釋閱卷人三、解答題(共8題；共60分)得分21．（10分）（2022八上·樂山期中）運(yùn)用公式進(jìn)行簡便計(jì)算.（1）（5分）；（2）（5分）.【答案】（1）解：原式=（10.2-1.2）2=81（2）解：原式=

=【思路點(diǎn)撥】（1）利用完全平方公式分解因式，可得到（10.2-1.2）2，然后進(jìn)行計(jì)算.

（2）利用平方差公式可得到，再進(jìn)行計(jì)算，然后約分化簡，可求出結(jié)果.22．（6分）（2022七下·平谷期末）已知，求代數(shù)式的值．【答案】解：=；∵∴∴原式=1；【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)整式的運(yùn)算法則化簡代數(shù)式，再根據(jù)可得，整體代入計(jì)算即可。

23．（8分）（2023八上·永城期末）如圖，在邊長為a的正方形上裁去邊長為b的正方形.（1）（1分）圖1，陰影面積是；（2）（1分）圖2是將圖1中的陰影部分裁開，重新拼成梯形，其面積是；（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）.（3）（1分）由上圖可以得到乘法公式；（4）（5分）運(yùn)用得到的公式，計(jì)算：.【答案】（1）（2）（3）（4）解：.【規(guī)范解答】解：（1）陰影面積是，故答案為：；（2）根據(jù)梯形的面積公式可知面積為，故答案為：；（3）可以得到的乘法公式為，故答案為：；【思路點(diǎn)撥】（1）直接用大正方形的面積減去小正方形的面積即可；

（2）直接根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可；

（3）根據(jù)圖1中陰影部分的面積等于圖2中的陰影部分面積即可得到答案；

（4）直接利用平方差公式計(jì)算即可.24．（7分）（2022七上·芷江月考）計(jì)算（1）（3分）；（2）（4分）已知：，，求：①；②.【答案】（1）解：（2）解：①∵，，∴；②∵，，∴【思路點(diǎn)撥】（1）每一個(gè)因式內(nèi)利用添括號(hào)法則把互為相反數(shù)項(xiàng)結(jié)合在一起，然后利用平方差公式及完全平方公式依次化簡，最后去括號(hào)即可；

（2）①根據(jù)完全平方公式的恒等變形得x2+y2=（x+y）2-2xy，然后整體代入即可算出答案；②根據(jù)完全平方公式將（x-y）2展開，然后整體代入即可算出答案.25．（6分）（2022八上·新城月考）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行類似于二次根式的運(yùn)算時(shí)，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡：方法一：方法二：（1）（3分）請(qǐng)用兩種不同的方法化簡：；（2）（3分）化簡：．【答案】（1）解：方法一：===-；方法二：===-；（2）解：原式=(-+-+-+…+﹣)=(﹣)=．【思路點(diǎn)撥】（1）方法一：給分子、分母同時(shí)乘以-，然后利用平方差公式化簡即可；

方法二：將分子變形為5-3，然后利用平方差公式進(jìn)行分解，再約分即可；

（2）原式可變形為(-+-+-+…+﹣)=(﹣)，據(jù)此計(jì)算.26．（7分）（2022七下·樂亭期末）已知，．（1）（3分）求和的值；（2）（4分）已知，求的值．【答案】（1）解：∵（2m）n＝4，（am）2÷an＝a3，

∴2mn＝22，a2m﹣n＝a3∴mn＝2，2m﹣n＝3．（2）解：∵4m2﹣n2＝15，∴，

∵，∴2m＋n＝5，

聯(lián)立得，

解得，∴m＋n＝3．【思路點(diǎn)撥】（1）利用冪的乘方，同底數(shù)冪的除法計(jì)算方法求解即可；

（2）利用平方差公式可得，再將數(shù)據(jù)代入可得，再求出m、n的值，最后計(jì)算即可。27．（6分）（2022八上·張店期中）乘法公式的探究及應(yīng)用．（1）（1分）如圖1，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)矩形，如圖2，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式：；（2）（1分）216-1可以被10和20之間某兩個(gè)整數(shù)整除，則這兩個(gè)數(shù)分別為．（3）（4分）計(jì)算：．【答案】（1）（a+b）（a-b）=a2-b2（2）15，17（3）解：原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（32-1）（32+1）（34+1）（