《機(jī)械設(shè)計(jì)》課件第3章

3.1變應(yīng)力的基本類型及特征參數(shù)3.2材料的疲勞特性3.3機(jī)械零件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算3.4機(jī)械零件的接觸強(qiáng)度3.5機(jī)械零件疲勞強(qiáng)度計(jì)算的相關(guān)系數(shù)習(xí)題第3章機(jī)械零件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算3.1變應(yīng)力的基本類型及特征參數(shù)

3.1.1變應(yīng)力的基本類型

1.穩(wěn)定循環(huán)變應(yīng)力

1)對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力

對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力的最大應(yīng)力σmax和最小應(yīng)力σmin的絕對(duì)值相等而符號(hào)相反，即σmax＝-σmin,如圖3-1(a)所示。例如，轉(zhuǎn)動(dòng)的軸上作用一方向不變的徑向力，則軸上各點(diǎn)的彎曲應(yīng)力都屬于對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力。

2)脈動(dòng)循環(huán)變應(yīng)力

脈動(dòng)循環(huán)變應(yīng)力中的σmin＝0，如圖3-1(b)所示。例如，齒輪輪齒單側(cè)工作時(shí)的齒根彎曲應(yīng)力就屬于脈動(dòng)循環(huán)變應(yīng)力。

3)非對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力

非對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力中最大應(yīng)力σmax和最小應(yīng)力σmin的絕對(duì)值不相等，如圖3-1(c)所示。這種應(yīng)力在一次循環(huán)中，σmax和σmin可以具有相同的符號(hào)(正或負(fù))或不同的符號(hào)。圖3-1幾種典型的穩(wěn)定循環(huán)變應(yīng)力

2.非穩(wěn)定循環(huán)變應(yīng)力

1)規(guī)律性非穩(wěn)定變應(yīng)力

規(guī)律性非穩(wěn)定變應(yīng)力按一定規(guī)律周期性變化，且變化幅度也按一定規(guī)律周期性變化，如圖3-2(a)所示。例如專用機(jī)床的主軸、高爐上料機(jī)構(gòu)的零件等所受變應(yīng)力屬于此類。

2)隨機(jī)性非穩(wěn)定變應(yīng)力

隨機(jī)性非穩(wěn)定變應(yīng)力的變化不呈周期性，而帶有偶然性，如圖3-2(b)所示。例如作用在汽車行駛部分零件上的應(yīng)力。對(duì)于這種應(yīng)力，應(yīng)根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)得出載荷及應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，然后用統(tǒng)計(jì)疲勞強(qiáng)度的方法來處理。圖3-2非穩(wěn)定循環(huán)變應(yīng)力3.1.2變應(yīng)力的特征參數(shù)變應(yīng)力可以由變載荷或靜載荷產(chǎn)生。按正弦曲線變化的等幅循環(huán)應(yīng)力是最簡(jiǎn)單的變應(yīng)力(見圖3-1)，它具有變應(yīng)力最基本的特征。等幅循環(huán)應(yīng)力的特征參數(shù)及其關(guān)系如下：

(3-1)(3-2)

(3-3)式中：σmax——循環(huán)中的最大應(yīng)力；

σmin——循環(huán)中的最小應(yīng)力；

σm——平均應(yīng)力，為循環(huán)中應(yīng)力不變部分，即靜載分量；

σa——應(yīng)力幅，為循環(huán)中應(yīng)力變動(dòng)部分，即動(dòng)載分量;

r——循環(huán)特征(應(yīng)力比)，為最小應(yīng)力與最大應(yīng)力之比。

已知以上五個(gè)參數(shù)中的任意兩個(gè)參數(shù)就可以確定出變應(yīng)力的類型和特征。幾種典型的變應(yīng)力的循環(huán)特性和應(yīng)力特點(diǎn)如表3-1所示。當(dāng)零件(例如彈簧)受變切應(yīng)力作用時(shí)，以上概念仍然適用，只需將公式中的σ改成τ即可。3.2材料的疲勞特性

3.2.1材料的疲勞曲線

疲勞曲線是用一批標(biāo)準(zhǔn)試件進(jìn)行疲勞實(shí)驗(yàn)得到的。以規(guī)定的循環(huán)特征r的變應(yīng)力(通常取r=-1或r=0)加于標(biāo)準(zhǔn)試件，經(jīng)過N次循環(huán)后不發(fā)生疲勞破壞時(shí)的最大應(yīng)力稱為疲勞極限應(yīng)力σrN。通過實(shí)驗(yàn)，可以得到不同的σrN時(shí)相應(yīng)的循環(huán)次數(shù)N，將結(jié)果繪制成疲勞曲線。典型的疲勞曲線如圖3-3所示。在循環(huán)次數(shù)約為103以前，相當(dāng)于曲線中的AB段，材料試件發(fā)生破壞的最大應(yīng)力值基本不變，或者說下降得很小，因此我們把在應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N≤103時(shí)的變應(yīng)力強(qiáng)度看做是靜應(yīng)力強(qiáng)度的狀況。圖3-3典型的疲勞曲線

1.有限壽命區(qū)

曲線的BC段，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，使材料疲勞破壞的最大應(yīng)力不斷下降。仔細(xì)檢查試件在這一階段的破壞斷口狀況，總能見到材料已發(fā)生塑性變形的特征。C點(diǎn)相應(yīng)的循環(huán)次數(shù)大約為104(也有文獻(xiàn)中認(rèn)為約在105，現(xiàn)在工程實(shí)際上多以104為準(zhǔn))。這一階段的疲勞破壞，因?yàn)橐寻殡S著材料的塑性變形，所以用應(yīng)變-循環(huán)次數(shù)來說明材料的行為更符合實(shí)際。因此，人們把這一階段的疲勞現(xiàn)象稱為應(yīng)變疲勞。由于應(yīng)力循環(huán)次數(shù)相對(duì)很少，所以也叫低周疲勞。有些機(jī)械零件在整個(gè)使用壽命期間應(yīng)力變化次數(shù)只有幾百到幾千次，但應(yīng)力值較大，故其疲勞屬于低周疲勞范疇。例如飛機(jī)起落架、炮筒和壓力容器等的疲勞均屬于低周疲勞。但對(duì)絕大多數(shù)通用零件來說，當(dāng)其承受變應(yīng)力作用時(shí)，其應(yīng)力循環(huán)次數(shù)一般都大于104，所以本章不討論低周疲勞問題。當(dāng)N≥104時(shí)，稱為高周循環(huán)疲勞。圖3-3中曲線CD代表有限疲勞階段。D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的疲勞極限ND稱為循環(huán)基數(shù)，用N0表示。在此范圍內(nèi)，試件經(jīng)過一定次數(shù)的交變應(yīng)力作用后會(huì)發(fā)生疲勞破壞。曲線CD段上任何一點(diǎn)所代表的疲勞極限，稱為有限壽命疲勞極限。

2.無限壽命區(qū)

當(dāng)N≥N0時(shí)，疲勞曲線為水平線，對(duì)應(yīng)于N0點(diǎn)的極限應(yīng)力σr稱為持久疲勞極限，對(duì)稱循環(huán)時(shí)用σ-1表示，脈動(dòng)循環(huán)時(shí)用σ0表示。

所謂“無限”壽命，是指零件承受的變應(yīng)力水平低于或等于材料的持久疲勞極限σr，工作應(yīng)力總循環(huán)次數(shù)可大于循環(huán)基數(shù)N0，并不是說永遠(yuǎn)不會(huì)產(chǎn)生破壞。

3.疲勞曲線方程

一般情況下，疲勞強(qiáng)度的設(shè)計(jì)問題主要根據(jù)圖3-3中CD段曲線進(jìn)行，CD段的曲線方程為

(3-4)

同理 (3-4′)

式中：C、C′——實(shí)驗(yàn)常數(shù)；

m——隨材料和應(yīng)力狀態(tài)而定的指數(shù)，如鋼材彎曲疲勞

時(shí)m＝9，鋼材線接觸疲勞時(shí)m＝6。若已知循環(huán)基數(shù)N0和疲勞極限σr、τr，則N次循環(huán)的疲勞極限為

(3-5)

(3-6)

式中，kN——壽命系數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，材料的疲勞極限σr是在N＝N0時(shí)求得的，當(dāng)N＞N0時(shí)，應(yīng)取N＝N0計(jì)算。各種金屬材料的N0大致在106～25×107之間，但通常材料的疲勞極限是在107(也有定為106或5×106)循環(huán)次數(shù)下實(shí)驗(yàn)得來的，所以計(jì)算kN時(shí)取N0＝107。對(duì)于硬度低于350HBS的鋼,若N＞107，取N＝N0＝107，kN＝1；硬度高于350HBS的鋼，若N＞25×107，取N＝25×107。對(duì)于有色金屬也規(guī)定當(dāng)N＞25×107時(shí)，取N＝25×107。3.2.2材料的極限應(yīng)力線圖

疲勞曲線一般是在對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力條件下得出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)于非對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力，不同的循環(huán)特征r對(duì)疲勞極限的影響也不相同，其影響可以用疲勞極限應(yīng)力圖表示。

以σm和σa兩參數(shù)確定不同循環(huán)特征r時(shí)的應(yīng)力水平，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得到以σm-σa為坐標(biāo)系的疲勞極限應(yīng)力圖。圖3-4(a)所示塑性材料的疲勞極限應(yīng)力圖近似呈拋物線，圖3-4(b)所示脆性材料的疲勞極限應(yīng)力圖呈直線。圖3-4中，橫坐標(biāo)σm為平均應(yīng)力，縱坐標(biāo)σa為應(yīng)力幅，曲線上A(0，σ-1)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力的強(qiáng)度，點(diǎn)的坐標(biāo)表示出脈動(dòng)循環(huán)應(yīng)力的強(qiáng)度，C(σB，0)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出靜應(yīng)力的強(qiáng)度。圖3-4疲勞極限應(yīng)力圖工程上為計(jì)算方便，常將塑性材料疲勞極限應(yīng)力圖進(jìn)行簡(jiǎn)化，常用的一種簡(jiǎn)化疲勞極限應(yīng)力圖如圖3-5所示。由于對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力的平均應(yīng)力σm=0，最大應(yīng)力等于應(yīng)力幅，因此對(duì)稱循環(huán)疲勞極限在圖3-5中以縱坐標(biāo)軸上的A′點(diǎn)來表示。由于脈動(dòng)循環(huán)變應(yīng)力的平均應(yīng)力及應(yīng)力幅均為因此脈動(dòng)循環(huán)疲勞極限以原點(diǎn)O所作的45°射線上的D′點(diǎn)來表示。連接A′、D′得直線A′D′。由于這條直線與不同循環(huán)特性時(shí)試驗(yàn)所求得的疲勞極限應(yīng)力曲線非常接近，故用此直線代替曲線是可以的，所以直線A′D′上任何一點(diǎn)都代表了一定循環(huán)特性時(shí)的疲勞極限。橫軸上任一點(diǎn)都代表應(yīng)力幅等于零的應(yīng)力，即靜應(yīng)力。取C點(diǎn)的坐標(biāo)值等于材料的屈服極限σS，并自C點(diǎn)作一直線與直線CO成45°的夾角，交A′D′的延長(zhǎng)線于G′，則CG′上的任何一點(diǎn)均代表

的變應(yīng)力狀況。圖3-5材料的疲勞極限應(yīng)力圖于是，零件材料(試件)的極限應(yīng)力曲線即為折線A′G′C。材料中發(fā)生的應(yīng)力如果處于OA′G′C區(qū)域以內(nèi)，則表示不發(fā)生疲勞破壞；如果發(fā)生在該區(qū)域以外，則表示一定要發(fā)生破壞；如正好發(fā)生在折線A′G′C上，則表示工作應(yīng)力狀況正好達(dá)到極限狀態(tài)。

圖3-5中直線A′G′的方程可由已知兩點(diǎn)坐標(biāo)A′(0，σ-1)及 求得，即

(3-7)

直線CG′的方程為式中：——試件受循環(huán)彎曲應(yīng)力時(shí)的極限應(yīng)力幅與極限平均應(yīng)力；

ψσ——試件受循環(huán)彎曲應(yīng)力時(shí)的材料常數(shù)，其值由試驗(yàn)及下式?jīng)Q定:

(3-9)

根據(jù)試驗(yàn)，對(duì)于碳鋼，ψσ≈0.1～0.2；對(duì)于合金鋼，ψσ≈0.2～0.3。3.3機(jī)械零件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算

3.3.1零件的極限應(yīng)力圖

由于零件幾何形狀、尺寸大小及加工質(zhì)量等因素的影響，使得零件的疲勞極限要小于材料試件的疲勞極限。如零件的對(duì)稱循環(huán)彎曲疲勞極限以σ-1e表示，材料的對(duì)稱循環(huán)彎曲疲勞極限用σ-1表示，則在考慮了綜合影響系數(shù)Kσ后三者關(guān)系為

(3-10)

這就是說，當(dāng)已知Kσ及σ-1時(shí)，就可以不經(jīng)試驗(yàn)而估算出零件的對(duì)稱循環(huán)彎曲疲勞極限σ-1e。對(duì)于非對(duì)稱循環(huán)，Kσ是試件與零件極限應(yīng)力幅的比值。于是材料的極限應(yīng)力圖中的直線A′D′G′應(yīng)按比例向下移，成為如圖3-6所示的直線ADG，而極限應(yīng)力曲線的CG′部分，由于是按照靜應(yīng)力的要求來考慮的，故不需進(jìn)行修正。所以，零件的極限應(yīng)力曲線即由折線AGC表示。直線AG的方程，由已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)及求得

(3-11)或(3-12)圖3-6零件的極限應(yīng)力圖

直線CG的方程為

(3-13)

式中：——零件受循環(huán)彎曲應(yīng)力時(shí)的極限應(yīng)力幅；

——零件受循環(huán)彎曲應(yīng)力時(shí)的極限平均應(yīng)力;

ψσe——零件受循環(huán)彎曲應(yīng)力時(shí)的材料常數(shù)。

ψσe可按下式計(jì)算:

(3-14)

式中，Kσ——彎曲疲勞極限的綜合影響系數(shù)。

Kσ可按下式計(jì)算:

(3-15)

式中：kσ——零件的有效應(yīng)力集中系數(shù)(腳標(biāo)σ表示在正應(yīng)力條件下，下同)；

εσ——零件的尺寸系數(shù)；

βσ——零件的表面質(zhì)量系數(shù)；

βq——零件的強(qiáng)化系數(shù)。以上各系數(shù)的值見有關(guān)資料或本章3.5節(jié)。對(duì)于零件受切應(yīng)力時(shí)，也可仿照上述各式并以τ代換σ，即可得出相應(yīng)的極限應(yīng)力曲線方程:

(3-16)或

(3-17)及

(3-18)

式中：ψτe——零件受循環(huán)切應(yīng)力時(shí)的材料常數(shù)。

ψτe可按下式計(jì)算:

(3-19)式中：ψτ——試件受循環(huán)切應(yīng)力時(shí)的材料常數(shù)，ψτ≈0.5ψσ；

Kτ——剪切疲勞極限的綜合影響系數(shù)。

Kτ可按下式計(jì)算：

(3-20)式中：kτ、ετ、βτ——含義與上述kσ、εσ、βσ相對(duì)應(yīng)，腳標(biāo)τ則表示在切應(yīng)力條件下。3.3.2單向穩(wěn)定變應(yīng)力時(shí)零件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算

在作機(jī)械零件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，首先要求出零件危險(xiǎn)剖面上的最大應(yīng)力σmax及最小應(yīng)力σmin，并據(jù)此計(jì)算出平均應(yīng)力σm及應(yīng)力幅σa。然后在極限應(yīng)力圖的坐標(biāo)上，標(biāo)出相應(yīng)于σm及σa的一個(gè)工作應(yīng)力點(diǎn)M或N，見圖3-7。圖3-7零件的應(yīng)力在極限應(yīng)力圖坐標(biāo)上的位置顯然，在強(qiáng)度計(jì)算時(shí)所用的極限應(yīng)力應(yīng)是零件的極限應(yīng)力曲線AGC上的某一個(gè)點(diǎn)所代表的應(yīng)力。到底用哪一個(gè)點(diǎn)來表示極限應(yīng)力才算合適，這要根據(jù)零件應(yīng)力的變化規(guī)律來定。根據(jù)零件應(yīng)力的變化規(guī)律以及零件與相鄰零件互相約束情況的不同，通常有下述三種典型的應(yīng)力變化規(guī)律：①變應(yīng)力的循環(huán)特性保持不變，即r＝C(常數(shù))，例如絕大多數(shù)轉(zhuǎn)軸中的應(yīng)力狀態(tài)；②變應(yīng)力的平均應(yīng)力保持不變，即σm＝C，例如振動(dòng)著的受載彈簧的應(yīng)力狀態(tài)；③變應(yīng)力的最小應(yīng)力保持不變，即σmin＝C，例如緊螺栓聯(lián)接中螺栓受軸向變載荷時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。

1.r＝C的情況當(dāng)r＝C時(shí)，需找到一個(gè)其循環(huán)特性與零件工作應(yīng)力的循環(huán)特性相同的極限應(yīng)力值。因?yàn)?/p>

(3-21)

式中，C′——常數(shù)。所以，如圖3-8所示，從坐標(biāo)原點(diǎn)引射線通過工作應(yīng)力點(diǎn)M(或N)與極限應(yīng)力曲線交于(或)，得到(或)，則在此射線上任何一個(gè)點(diǎn)所代表的應(yīng)力循環(huán)都具有相同的循環(huán)特性值，而(或)所代表的應(yīng)力值就是在計(jì)算中所要用的極限應(yīng)力。圖3-8r=C時(shí)的極限應(yīng)力聯(lián)解OM及AG兩直線方程，可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)值和，然后把它們加起來，就可以求出對(duì)應(yīng)于M點(diǎn)的零件的極限(疲勞極限)應(yīng)力，結(jié)果為

(3-22)

于是，計(jì)算安全系數(shù)Sca及強(qiáng)度條件為

(3-23)

對(duì)應(yīng)于N點(diǎn)的極限應(yīng)力點(diǎn)位于直線CG上，此時(shí)的極限應(yīng)力即為屈服極限σS。這就是說，工作應(yīng)力為N點(diǎn)時(shí)，可能發(fā)生的是屈服失效，故只需進(jìn)行靜強(qiáng)度計(jì)算。在工作應(yīng)力為單向應(yīng)力時(shí)，其強(qiáng)度計(jì)算式為

(3-24)

分析圖3-8可知，凡是工作應(yīng)力點(diǎn)位于OAGC區(qū)域內(nèi)，在應(yīng)力比等于常數(shù)的條件下，極限應(yīng)力為屈服極限，故只需進(jìn)行靜強(qiáng)度計(jì)算。

2.σm＝C的情況當(dāng)σm＝C時(shí)，需找到一個(gè)其平均應(yīng)力與零件工作應(yīng)力的平均應(yīng)力相同的極限應(yīng)力。在圖3-9中，通過工作點(diǎn)M(或N)作縱軸的平行線，交疲勞極限曲線于(或)點(diǎn)，則

(或)直線上任何一點(diǎn)所代表的應(yīng)力循環(huán)都具有相同的平均應(yīng)力值。因此(或)點(diǎn)代表應(yīng)力增長(zhǎng)規(guī)律的極限應(yīng)力。圖3-9σm=C時(shí)的極限應(yīng)力由直線方程和疲勞直線AG方程聯(lián)解，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)及，把它們加起來，就可以求得對(duì)應(yīng)于M點(diǎn)的零件的極限(疲勞極限)應(yīng)力，同時(shí)也知道了零件的極限應(yīng)力幅，它們分別是

(3-25)(3-26)

按最大應(yīng)力求得的計(jì)算安全系數(shù)Sca及強(qiáng)度條件為

(3-27)

按應(yīng)力幅求得的安全系數(shù)及強(qiáng)度條件為

(3-28)由于按最大應(yīng)力求得的計(jì)算安全系數(shù)Sca和應(yīng)力幅求得的安全系數(shù)是不相等的，因此應(yīng)當(dāng)同時(shí)核驗(yàn)這兩種安全系數(shù)。對(duì)應(yīng)于N點(diǎn)的極限應(yīng)力點(diǎn)，位于塑性極限線CG上，故仍按式(3-24)進(jìn)行屈服強(qiáng)度安全系數(shù)的核驗(yàn)。

3.σmin＝C的情況當(dāng)σmin＝C時(shí)，需找到一個(gè)其最小應(yīng)力與零件工作應(yīng)力的最小應(yīng)力相同的極限應(yīng)力。因?yàn)棣襪in=σm-σa，所以在圖3-10中過工作點(diǎn)M(或N)，作與橫坐標(biāo)夾角為45°的直線，則此直線上任何一點(diǎn)所代表的應(yīng)力均具有相同的最小應(yīng)力，該直線與疲勞曲線上的交點(diǎn)(或)所代表的應(yīng)力值即計(jì)算時(shí)所采用的極限應(yīng)力。圖3-10σmin=C時(shí)的極限應(yīng)力同理，按上述兩種情況相同的分析方法可以求得對(duì)應(yīng)于M點(diǎn)的極限應(yīng)力點(diǎn)，位于疲勞直線AG上時(shí)的計(jì)算安全系數(shù)Sca及強(qiáng)度條件為

(3-29)

按應(yīng)力幅求得的安全系數(shù)及強(qiáng)度條件為(3-30)

由于Sca和也是不相等的，因此需要同時(shí)核驗(yàn)這兩種安全系數(shù)。

當(dāng)對(duì)應(yīng)于N點(diǎn)的極限應(yīng)力位于塑性極限線上時(shí)，仍按式(3-24)進(jìn)行屈服強(qiáng)度安全系數(shù)計(jì)算。

對(duì)于剪切變應(yīng)力，只需把以上各公式中的正應(yīng)力符號(hào)σ改為切應(yīng)力符號(hào)τ即可。

注意：設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，如難以確定零件的應(yīng)力變化規(guī)律，常采用r＝C的公式；零件應(yīng)力循環(huán)次數(shù)在104<N<N0時(shí)，應(yīng)當(dāng)以有限壽命疲勞極限σrN代替無限壽命疲勞極限σr值(見式(3-5)和(3-6))。3.3.3單向不穩(wěn)定變應(yīng)力時(shí)零件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算

單向不穩(wěn)定變應(yīng)力可分為非規(guī)律性的和規(guī)律性的兩大類。

非規(guī)律性的單向不穩(wěn)定變應(yīng)力，其變應(yīng)力參數(shù)的變化要受到很多偶然因素的影響，是隨機(jī)變化的。承受非穩(wěn)定變應(yīng)力的典型零件，如汽車的鋼板彈簧，作用在它上面的載荷和應(yīng)力的大小，要受到載重量大小、行車速度、輪胎充氣程度、路面狀況以及駕駛員的技術(shù)水平等一系列因素的影響。對(duì)于這一類問題，應(yīng)根據(jù)大量的試驗(yàn)，求得載荷及應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，然后用統(tǒng)計(jì)疲勞強(qiáng)度的方法來處理。規(guī)律性的單向不穩(wěn)定變應(yīng)力，其變應(yīng)力參數(shù)的變化有一個(gè)簡(jiǎn)單的規(guī)律。例如，專用機(jī)床上的軸、高爐上料機(jī)構(gòu)的零件等都可以近似地看做承受規(guī)律性不穩(wěn)定變應(yīng)力的零件。對(duì)于這一類問題，是根據(jù)疲勞損傷線性累積假說(常稱為Miner法則)進(jìn)行計(jì)算的。圖3-11所示為一規(guī)律性不穩(wěn)定變應(yīng)力的示意圖，變應(yīng)力σ1、σ2、…表示循環(huán)待性為r時(shí)，各循環(huán)的最大應(yīng)力；n1、n2…為對(duì)應(yīng)應(yīng)力的作用次數(shù)。把圖3-11中所示的應(yīng)力圖放在材料的σr-N坐標(biāo)上的示意圖如圖3-12所示。根據(jù)σr-N曲線，可以找出僅有σ1作用時(shí)材料發(fā)生疲勞破壞的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N1。假使應(yīng)力每循環(huán)一次都對(duì)材料的破壞起相同的作用，則應(yīng)力σ1每循環(huán)一次對(duì)材料的損傷率即為1/N1，而循環(huán)了n1次的σ1對(duì)材料的損傷率即為n1/N1。如此類推，循環(huán)n2次的σ2對(duì)材料的損傷率即為n2/N2……圖3-11規(guī)律性不穩(wěn)定變應(yīng)力示意圖圖3-12不穩(wěn)定變應(yīng)力在σr-N坐標(biāo)上按圖3-12，若σ4小于材料的持久疲勞極限σr∞，它當(dāng)然可以作用無限多次循環(huán)而不引起疲勞破壞。這就是說，小于材料持久疲勞極限的工作應(yīng)力對(duì)材料不起損傷作用，故在計(jì)算時(shí)可以不予考慮。當(dāng)零件達(dá)到疲勞極限情況時(shí)，各壽命損傷率之和達(dá)到100%，即

一般寫成

(3-31)

式(3-31)即為疲勞損傷線性累積假說(Miner法則)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。自從此假設(shè)提出后，曾做了大量的試驗(yàn)研究，以驗(yàn)證此假設(shè)的正確性。試驗(yàn)表明，當(dāng)各個(gè)作用的應(yīng)力幅無巨大的差別以及無短時(shí)的強(qiáng)烈過載時(shí)，這個(gè)規(guī)律是正確的；當(dāng)各級(jí)應(yīng)力先作用最大的，然后依次降低時(shí)，式(3-31)中的等號(hào)右邊將不等于1而小于1；當(dāng)各級(jí)應(yīng)力先作用最小的，然后依次升高時(shí)，式(3-31)中等號(hào)右邊要大于1。通過大量試驗(yàn)，可以有如下關(guān)系：

(3-32)當(dāng)式(3-32)右邊的值小于1時(shí)，表示每一循環(huán)變應(yīng)力的損傷率實(shí)際上是大于1/Ni的。這一現(xiàn)象可以解釋為使初始疲勞裂紋產(chǎn)生和使裂紋擴(kuò)展所需的應(yīng)力水平是不同的。遞增的變應(yīng)力不易產(chǎn)生破壞，是由于前面施加的較小應(yīng)力對(duì)材料不但沒有使初始疲勞裂紋產(chǎn)生，而且對(duì)材料起了強(qiáng)化作用；遞減的變應(yīng)力卻由于開始作用了最大的變應(yīng)力，引起了初始裂紋，則以后施加的應(yīng)力雖然較小，但仍能夠使裂紋擴(kuò)展，故對(duì)材料有削弱作用，因此使式(3-32)右邊的值小于1。雖然如此，由于疲勞試驗(yàn)的數(shù)據(jù)具有很大的離散性，從平均意義上來說，在設(shè)計(jì)中應(yīng)用式(3-31)還是可以得出一個(gè)較為滿意的結(jié)果。根據(jù)式(3-4)可得

把它們代入式(3-31)，即得到不穩(wěn)定變應(yīng)力時(shí)的極限條件為

如果材料在上述應(yīng)力作用下還未達(dá)到破壞，則或

(3-33)令(3-34)

式中，σca——不穩(wěn)定變應(yīng)力的計(jì)算應(yīng)力。這時(shí)式(3-33)為

σca<σ-1(3-35)此時(shí)，計(jì)算安全系數(shù)Sca及強(qiáng)度條件為(3-36)

例3-145鋼經(jīng)調(diào)質(zhì)后的性能為200HBS，σ-1＝270MPa，m＝9，N0=107?，F(xiàn)以此材料作試件進(jìn)行彎曲疲勞試驗(yàn)，以對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力σ1＝400MPa作用104次，σ2＝350MPa作用105次,試計(jì)算該試件在此條件下的實(shí)際安全系數(shù)。若以后再以σ3＝320MPa作用于該試件，問還能再循環(huán)多少次才會(huì)使試件破壞?解根據(jù)式(3-34)根據(jù)式(3-36)，試件的計(jì)算安全系數(shù)為

又根據(jù)式(3-4)若要使試件破壞，則由式(3-31)得故

即試件再在σ3＝320MPa作用下，估計(jì)尚可再承受0.187×107次應(yīng)力循環(huán)。3.3.4雙向穩(wěn)定變應(yīng)力時(shí)零件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算在零件上同時(shí)作用有同相位的法向及切向?qū)ΨQ循環(huán)穩(wěn)定變應(yīng)力σa及τa時(shí)，對(duì)于鋼材，經(jīng)過試驗(yàn)得出的極限應(yīng)力關(guān)系式為

(3-37)

式中，——同時(shí)作用的切向及法向應(yīng)力幅的極限值。式(3-37)在坐標(biāo)系上是一個(gè)單位圓，見圖3-13(圖中只畫出第一象限部分)。由于是對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力，故應(yīng)力幅即為最大應(yīng)力。圓弧AB上任何一個(gè)點(diǎn)都代表一對(duì)極限應(yīng)力和。如果作用于零件上的應(yīng)力幅σa及τa在坐標(biāo)上用M表示，則由于此工作應(yīng)力點(diǎn)在極限圓以內(nèi)，尚未達(dá)到極限條件，因而是安全的。引直線OM與弧AB交于M′點(diǎn)，則計(jì)算安全系數(shù)Sca為

(3-38)(圖3-13雙向應(yīng)力時(shí)的極限應(yīng)力圖式中各線段的長(zhǎng)度為

代入式(3-38)得

(3-39)

將式(3-39)代入式(3-37)，得

(3-40)

從強(qiáng)度計(jì)算的觀點(diǎn)來看，τ-1e/τa=Sτ是零件上只承受切向應(yīng)力τa時(shí)的實(shí)際安全系數(shù)，σ-1e/σa=Sσ是零件上只承受法向應(yīng)力σa時(shí)的實(shí)際安全系數(shù)，故

(3-41)即

(3-42)當(dāng)零件上所承受的兩個(gè)變應(yīng)力均為不對(duì)稱循環(huán)變應(yīng)力時(shí)，可先按式(3-23)分別求出Sσ和Sτ，即

然后按式(3-42)求出零件的計(jì)算安全系數(shù)Sca，并使Sca≥S，以滿足疲勞強(qiáng)度要求。3.3.5提高機(jī)械零件疲勞強(qiáng)度的措施

1.減少應(yīng)力集中

合理的結(jié)構(gòu)形狀設(shè)計(jì)對(duì)減少應(yīng)力集中，提高零件疲勞強(qiáng)度起著非常重要的作用。在實(shí)際工作中，要力求避免零件形狀的突然變化，必須變化處要使截面緩緩過渡或采用適當(dāng)?shù)膱A角；要避免不必要的鉆孔和開槽，必要的鉆孔和開槽應(yīng)盡可能布置在低應(yīng)力區(qū)，且要避免使用帶尖角的孔和槽；對(duì)不可避免的要產(chǎn)生較大應(yīng)力集中的結(jié)構(gòu)，可采用卸載槽來降低應(yīng)力集中的作用；輪與軸采用過盈配合時(shí)，軸在配合面邊緣處有明顯的應(yīng)力集中，為此可在軸上開卸載槽或減小輪轂的邊緣剛度。

表3-2是一些減少應(yīng)力集中的結(jié)構(gòu)的例子。

2.提高零件表面加工質(zhì)量

因?yàn)榱慵韺拥膽?yīng)力一般比較大(如轉(zhuǎn)軸受彎扭時(shí)的應(yīng)力)，而零件表面刀痕或損傷又會(huì)引起應(yīng)力集中，極易形成疲勞裂紋，所以對(duì)疲勞強(qiáng)度要求高或?qū)?yīng)力集中敏感的零件，都應(yīng)將表面加工得較為精細(xì)光潔；對(duì)工作在腐蝕性介質(zhì)中的零件，應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋砻姹Ｗo(hù)。

3.采用能提高材料疲勞強(qiáng)度的熱處理及強(qiáng)化工藝

對(duì)零件表面進(jìn)行熱處理、化學(xué)熱處理(如高頻淬火、滲碳、滲氮、碳氮共滲等)以及表面冷加工(如表面滾壓、噴丸處理等機(jī)械處理方法)均可使表層材料硬化和產(chǎn)生有利的殘余壓應(yīng)力。殘余壓應(yīng)力和表層工作應(yīng)力疊加，使表面拉應(yīng)力降低(見圖3-14)，增強(qiáng)了表層材料抵抗裂紋萌生及擴(kuò)展的能力，使疲勞強(qiáng)度得到提高。圖3-14滲碳軸受彎曲時(shí)的應(yīng)力分布3.4機(jī)械零件的接觸強(qiáng)度

當(dāng)具有一定曲面的兩物體在壓力下相互接觸時(shí)，便在接觸處產(chǎn)生接觸應(yīng)力。例如，齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)及滾動(dòng)軸承等高副機(jī)構(gòu)，它們?cè)诠ぷ鲿r(shí)，理論上是通過點(diǎn)或線接觸傳遞載荷或運(yùn)動(dòng)。但由于接觸處產(chǎn)生彈性變形，因此實(shí)際接觸處為一很小的面積并產(chǎn)生很大的接觸應(yīng)力。曲面物體相接觸的情況見圖3-15。圖3-15曲面物體相接觸的情況承受壓力前，兩物體沿一條線互相接觸，稱為初始線接觸(見圖3-15(a)、(b))，如直齒輪傳動(dòng)及滾子軸承等。承受壓力前，兩物體互相接觸于一點(diǎn)，稱為初始點(diǎn)接觸(見圖3-15(c)、(d))，如球軸承等。

在上述兩種接觸情況下，若兩曲面的曲率中心位于接觸部位的兩側(cè)，則稱為外接觸(見圖3-15(a)、(c))；若位于同側(cè)，則稱為內(nèi)接觸(見圖3-15(b)、(d))。零件在接觸處產(chǎn)生的接觸應(yīng)力絕大多數(shù)都是隨時(shí)間變化的。在交變接觸應(yīng)力的作用下，經(jīng)過若干循環(huán)次數(shù)后，零件表面材料就可能產(chǎn)生甲殼狀的小片剝落，而在表面上遺留下一個(gè)小坑。這種由于表面材料接觸疲勞而產(chǎn)生物質(zhì)轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象稱為疲勞點(diǎn)蝕(亦稱疲勞磨損)。它是高副機(jī)構(gòu)工作時(shí)的主要損傷形式。表面疲勞點(diǎn)蝕產(chǎn)生的原因，是由于交變接觸應(yīng)力的作用使表層材料產(chǎn)生塑性變形，從而導(dǎo)致表面變硬，并在表面接觸處出現(xiàn)初始裂紋。當(dāng)潤(rùn)滑油被擠入初始裂紋中后，與之接觸的另一零件表面在滾動(dòng)時(shí)將裂紋口封住，使裂紋內(nèi)的潤(rùn)滑油產(chǎn)生很大的壓力，迫使初始裂紋擴(kuò)展。當(dāng)裂紋擴(kuò)展到一定深度后，就會(huì)導(dǎo)致表層材料局部剝落，于是就在零件表面上產(chǎn)生痘斑狀凹坑，形成疲勞點(diǎn)蝕。潤(rùn)滑油的粘度愈低，愈易進(jìn)入初始裂紋中，疲勞點(diǎn)蝕的發(fā)展也就愈迅速。

判斷金屬接觸疲勞強(qiáng)度的指標(biāo)是接觸疲勞極限，即在規(guī)定的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)下不發(fā)生疲勞點(diǎn)蝕的最大應(yīng)力。

影響疲勞點(diǎn)蝕的因素很多，如金屬的表面狀態(tài)、潤(rùn)滑油的粘度、兩接觸體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)等，但其主要因素還是接觸應(yīng)力的數(shù)值大小。在本書所論述的通用零件設(shè)計(jì)中，主要涉及到初始線接觸的情況，因此這里只討論線接觸時(shí)接觸應(yīng)力的計(jì)算。由彈性力學(xué)可知，當(dāng)兩個(gè)半徑為ρ1、ρ2的圓柱體以力F相壓緊時(shí)，接觸面將呈一狹帶形(見圖3-16)，最大接觸應(yīng)力發(fā)生在狹帶中線的各點(diǎn)上，并等于平均接觸應(yīng)力的4/π倍。根據(jù)赫茲(H·Hertz)公式，接觸面的最大接觸應(yīng)力σH為(3-43)式中：

F——作用于接觸面上的總壓力;

B——初始接觸線長(zhǎng)度;

μ1、μ2——兩圓柱體材料的泊松比;

E1、E2——兩圓柱體材料的彈性模量。

接觸疲勞強(qiáng)度條件為

σH≤［σH］ (3-44)圖3-16兩圓柱體接觸受力后的變形與應(yīng)力分布在接觸點(diǎn)(或線)連續(xù)改變位置時(shí)，顯然對(duì)于零件上任一點(diǎn)處的接觸應(yīng)力只能在0~σH之間改變，因此，接觸應(yīng)力是一個(gè)脈動(dòng)循環(huán)變應(yīng)力。在作接觸疲勞計(jì)算時(shí)，極限應(yīng)力也應(yīng)是脈動(dòng)循環(huán)的極限接觸應(yīng)力。3.5機(jī)械零件疲勞強(qiáng)度計(jì)算的相關(guān)系數(shù)3.5.1零件結(jié)構(gòu)的理論應(yīng)力集中系數(shù)用彈性理論或試驗(yàn)的方法(即把零件材料看做理想的彈性體)求出的零件幾何不連續(xù)處的應(yīng)力集中系數(shù)ασ(ατ)稱為理論應(yīng)力集中系數(shù)。引起應(yīng)力集中的幾何不連續(xù)因素稱為應(yīng)力集中源。理論應(yīng)力集中系數(shù)的定義為

(3-45)

式中：σmax(τmax)——應(yīng)力集中源處產(chǎn)生的彈性最大正(切)應(yīng)力；

σ(τ)——應(yīng)力集中源處按材料力學(xué)公式求出的公稱正(切)應(yīng)力。對(duì)于常見的幾種應(yīng)力集中源，ασ(ατ)的數(shù)值可以從表3-3~表3-5中查到。3.5.2有效應(yīng)力集中系數(shù)在有應(yīng)力集中源的試件上，應(yīng)力集中對(duì)其疲勞強(qiáng)度降低的影響可用有效應(yīng)力集中系數(shù)kσ(kτ)來表示，其定義為

(3-46)

式中：σ-1(τ-1)——無應(yīng)力集中源的光滑試件的對(duì)稱循環(huán)彎曲(扭轉(zhuǎn)剪切)疲勞極限；

σ-1k(τ-1k)——有應(yīng)力集中源的試件的對(duì)稱循環(huán)彎曲(扭轉(zhuǎn)剪切)疲勞極限。試驗(yàn)結(jié)果證明，kσ(kτ)總是小于ασ(ατ)。為了工程設(shè)計(jì)上的需要，根據(jù)大量試驗(yàn)總結(jié)出了聯(lián)系理論應(yīng)力集中系數(shù)與有效應(yīng)力集中系數(shù)的關(guān)系式為k-1=q(α-1)

(3-47)式中，q(qσ，qτ)——材料的敏感系數(shù)，其值見圖3-17。在圖3-17中，曲線上的數(shù)字為材料的強(qiáng)度極限。查qσ時(shí)用不帶括號(hào)的數(shù)字，查qτ時(shí)用括號(hào)內(nèi)的數(shù)字。圖3-17鋼材的敏感系數(shù)根據(jù)式(3-47)即可求出有效應(yīng)力集中系數(shù)值為

(3-48)

對(duì)于若干典型的零件結(jié)構(gòu)，在有關(guān)文獻(xiàn)中已直接列出了根據(jù)疲勞試驗(yàn)求出的有效應(yīng)力集中系數(shù)的數(shù)值，參見表3-6~表3-8。3.5.3絕對(duì)尺寸及截面形狀影響系數(shù)零件真實(shí)尺寸及截面形狀與標(biāo)準(zhǔn)試件尺寸(d=10mm)及形狀(圓柱形)不同時(shí)，對(duì)材料疲勞極限的影響用絕對(duì)尺寸及截面形狀影響系數(shù)(簡(jiǎn)稱尺寸及截面形狀系數(shù))εσ(ετ)來表示，其定義為

(3-49)

式中：σ-1d