2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（選擇題）：空間向量與立體幾何（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（選擇題）：空間向量與立體幾何（10題）一．選擇題（共10小題）1．（2024?利通區(qū)校級模擬）某禮品店銷售的一裝飾擺件如圖所示，由球和正三棱柱加工組合而成，球嵌入正三棱柱內(nèi)一部分且與上底面三條棱均相切，正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長為6，球的體積為323A．5 B．6 C．7 D．82．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1滿足棱長都相等且AA1⊥平面ABC，D是棱CC1的中點，E是棱AA1上的動點．設(shè)AE＝x，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（）A．先增大再減小 B．減小 C．增大 D．先減小再增大3．（2024?新縣校級模擬）如圖，已知四面體ABCD的棱AB∥平面α，且AB＝2，其余的棱長均為2．四面體ABCD以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)x弧度，且四面體ABCD始終在水平放置的平面α的上方．如果將四面體ABCD在平面α內(nèi)正投影面積看成關(guān)于x的函數(shù)，記為S（x），則函數(shù)S（x）的最小正周期與S（x）取得最小值時平面ABC與平面α所成角分別為（）A．2π，0 B．π，π2 C．2π，4．（2024?平湖市校級模擬）設(shè)x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，A．22 B．10 C．3 D．5．（2024?故城縣校級模擬）生活中的建筑模型多與立體幾何中的圖形有關(guān)聯(lián)，既呈現(xiàn)對稱美，也具有穩(wěn)定性．已知某涼亭的頂部可視為如圖所示的正四棱錐S﹣ABCD，其所有棱長都為6，且AC，BD交于點O，點E在線段SC上，且CE=13SC，則△SAD的重心GA．355 B．2355 C．3356．（2024?回憶版）已知正三棱臺ABC﹣A1B1C1的體積為523，AB＝6，A1B1＝2，則A1A與平面ABCA．12 B．1 C．2 D．7．（2024?蘇州模擬）已知正四棱錐S﹣ABCD的8條棱長均相等，O為頂點S在底面內(nèi)的射影，則（）A．側(cè)棱SA與底面ABCD所成的角的大小為π3B．側(cè)面SAB與底面ABCD所成的角的大小為π4C．設(shè)P是正方形ABCD邊上的點，則直線SP與底面所成角的最大值是π4D．設(shè)M，N是正方形ABCD邊上的兩點，則二面角S﹣MN﹣O的值大于π8．（2024?榆林三模）已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)棱與底面邊長的比值為3，則三棱錐P﹣ABC的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A．13 B．223 C．689．（2024?博愛縣校級一模）已知二面角α﹣l﹣β的平面角為θ(0＜θ＜π2)，A∈α，B∈β，C∈l，D∈l，AB⊥l，AB與平面A．[12，1) B．[12，310．（2024?昌黎縣校級模擬）定義兩個向量u→與v→的向量積u→×v→是一個向量，它的模|u→×v→|=|uA．42 B．4 C．43 D．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（選擇題）：空間向量與立體幾何（10題）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?利通區(qū)校級模擬）某禮品店銷售的一裝飾擺件如圖所示，由球和正三棱柱加工組合而成，球嵌入正三棱柱內(nèi)一部分且與上底面三條棱均相切，正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長為6，球的體積為323A．5 B．6 C．7 D．8【考點】點、線、面間的距離計算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為R，由球的體積求出R，求出正三棱柱底面正三角形的內(nèi)切圓半徑r，設(shè)球心為O，正三角形的內(nèi)切圓圓心為O1，取B1C1的中點M，并將這三點順次連接，由球的幾何性質(zhì)求出OO1，即可得到答案．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，三棱柱上底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為r，因為球的體積為323π，則43πR因為正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長為6，所以底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為r=32×6×設(shè)球心為O，正三角形的內(nèi)切圓圓心為O1，取B1C1的中點M，并將這三點順次連接，則由球的幾何知識可得△OO1M為直角三角形，所以O(shè)O于是該幾何體最高點到正三棱柱下底面的距離為2+1+4＝7．故選：C．【點評】本題考查了空間中點到平面的距離問題，球的體積公式的應(yīng)用，球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，正棱柱幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力、空間想象能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．2．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1滿足棱長都相等且AA1⊥平面ABC，D是棱CC1的中點，E是棱AA1上的動點．設(shè)AE＝x，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（）A．先增大再減小 B．減小 C．增大 D．先減小再增大【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；向量法；空間角；數(shù)學(xué)建模．【答案】D【分析】以A為原點，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角隨著x增大而增大．【解答】解：以A為原點，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱ABC﹣A1B1C1中所在棱長都是2，則B（3，1，0），D（0，2，1），E（0，0，x），BD→=（-3，1，1），BE→=（-設(shè)平面BDE的法向量n→=（a，b，則n→?BD→=-3a+b+c=0n→?BE→=-平面ABC的法向量m→=（0，0，設(shè)平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角為θ，cosθ=|∴cosθ隨著x增大而先增大后減小，∴θ隨著x增大而先減小后增大．故選：D．【點評】本題考查二面角的平面角的變化趨勢的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．3．（2024?新縣校級模擬）如圖，已知四面體ABCD的棱AB∥平面α，且AB＝2，其余的棱長均為2．四面體ABCD以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)x弧度，且四面體ABCD始終在水平放置的平面α的上方．如果將四面體ABCD在平面α內(nèi)正投影面積看成關(guān)于x的函數(shù)，記為S（x），則函數(shù)S（x）的最小正周期與S（x）取得最小值時平面ABC與平面α所成角分別為（）A．2π，0 B．π，π2 C．2π，【考點】直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)對稱性得出S（x）的周期；取AB中點E，可得CE⊥DE，E到CD的距離為22，且直線DC與平面ABC所成的角為π4，AB⊥面CDE，面ABD⊥面ABC，設(shè)CD在平面β的投影為MN，可得MN⊥AB，討論一個周期內(nèi)的情形，當(dāng)x∈[0，2]時，S(x)=2sin(x+π4)，則S（x）min＝1；當(dāng)x∈[-π2，0）時，S(x)=12AB?MN≥22，求出【解答】解：設(shè)過AB且平行于平面α的平面為β，由題意知，四面體ABCD在平面β的上方時和下方時完全對稱，故函數(shù)S（x）的周期為π，取AB中點E，連接CE、DE，如圖，∵AB＝2，AC=BC=2，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC∵AB＝2，AD=BD=2，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD則CE＝DE＝1，而CD=2，故CE2+DE2＝CD2，CE⊥DE∴E到CD的距離為22又DE⊥AB，AB∩CE＝E，AB，CE?平面ABC，∴DE⊥平面ABC，則∠DCE為直線DC與平面ABC所成的角，又∠DCE=∴直線DC與平面ABC所成的角為π4∵AD＝BD，AC＝BC，E為AB中點，∴AB⊥CE，AB⊥DE，又DE∩CE＝E，DE，CE在平面內(nèi)，則AB⊥面CDE，又DE?面CDE，則AB⊥DE，∵CE⊥DE，AB⊥DE，CE∩AB＝E，CE，AB在平面內(nèi)，則DE⊥面ABC，又DE?面ABD，則面ABD⊥面ABC，設(shè)CD在平面β的投影為MN，可得MN⊥AB，下面討論一個周期內(nèi)的情形：當(dāng)x∈S(x)=1∵x∈[0，則22故S（x）min＝1，當(dāng)x∈∵E到CD的距離為22，∴MN≥22，當(dāng)S(x)=12AB?MN≥綜上所述，S(x)此時CD⊥α，又直線DC與平面ABC所成的角為π4∴平面α與平面ABC所成的角為π4故選：D．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題．4．（2024?平湖市校級模擬）設(shè)x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，A．22 B．10 C．3 D．【考點】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直、平行的性質(zhì)，求出b→【解答】解：a→=(1，1，則a→?c→=x-4+2=0因為b→=(1，y，所以y＝﹣2，z＝1，所以b→所以2a所以|2a故選：D．【點評】本題主要考查向量共線、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?故城縣校級模擬）生活中的建筑模型多與立體幾何中的圖形有關(guān)聯(lián)，既呈現(xiàn)對稱美，也具有穩(wěn)定性．已知某涼亭的頂部可視為如圖所示的正四棱錐S﹣ABCD，其所有棱長都為6，且AC，BD交于點O，點E在線段SC上，且CE=13SC，則△SAD的重心GA．355 B．2355 C．335【考點】空間中點到直線的距離及兩平行直線間的距離．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】首先以O(shè)為原點，OA，OB，OS分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可．【解答】解：以O(shè)為原點，OA，OB，OS分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為正四棱錐S﹣ABCD的所有棱長都為6，所以O(shè)A=32，SO=所以O(shè)（0，0，0），A(32，0，0)，又因為G為△SAD的重心，由三角形重心坐標(biāo)可得G(2設(shè)E（x，y，z），則CE→=(x+32因為CE→=1即E(-22，0，由點到直線的距離公式可得，G到直線OE的距離d=|故選：B．【點評】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．6．（2024?回憶版）已知正三棱臺ABC﹣A1B1C1的體積為523，AB＝6，A1B1＝2，則A1A與平面ABCA．12 B．1 C．2 D．【考點】幾何法求解直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】由正三棱臺的體積公式計算出棱臺的高h(yuǎn)，由臺體的性質(zhì)結(jié)合線面角的定義求解即可．【解答】解：設(shè)棱臺的高為h，三條側(cè)棱延長后交于一點O，則由AB＝3A1B1得：O到上底面A1B1C1的距離為12h，O到下底面ABC的距離為32所以A1A與平面ABC所成角即為OA1與平面A1B1C1所成角∠OA1O1，又S△ABC=34×62＝93，S△所以V=13（93+3解得h=4因為上底面中心O1到頂點A1的距離為23×3所以A1A與平面ABC所成角的正切值為12h23故選：B．【點評】本題主要考查臺體的體積公式，空間中直線與平面所成角的求解，屬于中檔題．7．（2024?蘇州模擬）已知正四棱錐S﹣ABCD的8條棱長均相等，O為頂點S在底面內(nèi)的射影，則（）A．側(cè)棱SA與底面ABCD所成的角的大小為π3B．側(cè)面SAB與底面ABCD所成的角的大小為π4C．設(shè)P是正方形ABCD邊上的點，則直線SP與底面所成角的最大值是π4D．設(shè)M，N是正方形ABCD邊上的兩點，則二面角S﹣MN﹣O的值大于π【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)線面角、面面角等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案．【解答】解：依題意AC∩BD＝O，SO⊥平面ABCD，AC，BD?平面ABCD，所以SO⊥AC，SO⊥BD，設(shè)AC=BD=82，則OA=OB=OC=OD=42，A選項，依題意可知∠SAO是側(cè)棱SA與底面ABCD所成的角，tan∠SAO=4242=1B選項，設(shè)E是AB的中點，連接OE，SE，由于AB⊥OE，AB⊥SE，側(cè)面SAB與底面ABCD的交線為AB，所以側(cè)面SAB與底面ABCD所成角的平面角為∠SEO，由于OE?平面ABCD，所以SO⊥OE，OE＝4，所以tan∠所以側(cè)面SAB與底面ABCD所成的角大于π4，所以BC選項，當(dāng)P點與E點重合時，直線SP與底面所成角為∠SEO＞πD選項，過O作OQ⊥MN，垂足為Q，由于MN?平面ABCD，所以SO⊥MN，由于SO∩OQ＝O，SO，OQ?平面SOQ，所以MN⊥平面SOQ，由于SQ?平面SOQ，所以MN⊥SQ，所以二面角S﹣MN﹣O的平面角為∠SQO，由于OQ?平面ABCD，所以SO⊥OQ，當(dāng)OQ＝0時，SO?平面SMN，則平面SMN⊥平面ABCD，此時二面角S﹣MN﹣O為直角，當(dāng)OQ＞0時，tan∠SQO=42OQ，由于M所以0＜OQ＜所以二面角S﹣MN﹣O的值大于π4故選：D．【點評】本題考查空間角的計算，屬于中檔題．8．（2024?榆林三模）已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)棱與底面邊長的比值為3，則三棱錐P﹣ABC的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A．13 B．223 C．68【考點】幾何法求解直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)三棱錐P﹣ABC的側(cè)棱與底面所成角為∠PAH，即可求解．【解答】解：如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC中點，PH⊥面ABC，設(shè)AB＝a（a＞0），則PA=3a，AD=32所以AH=3則三棱錐P﹣ABC的側(cè)棱與底面所成角為∠PAH，則sin∠故選：B．【點評】本題考查線面角的求法，屬于中檔題．9．（2024?博愛縣校級一模）已知二面角α﹣l﹣β的平面角為θ(0＜θ＜π2)，A∈α，B∈β，C∈l，D∈l，AB⊥l，AB與平面A．[12，1) B．[12，3【考點】幾何法求解二面角及兩平面的夾角．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】作出二面角的平面角以及AB與平面β所成角，并表示出∠BAE=2π3-θ，結(jié)合三角形面積公式以及正弦定理表示出S1S2【解答】解：作AE⊥CD，垂足為E，連接BE，∵AB⊥l，即AB⊥CD，AE∩AB＝A，AE，AB?平面AEB，∴CD⊥平面AEB，BE?平面AEB，∴CD⊥BE，又CD?β，故平面AEB⊥β，平面AEB∩β＝BE，∴BE為AB在β內(nèi)的射影，則∠ABE為AB與平面β所成角，即∠ABE=∵AE⊥CD，CD⊥BE，∴∠AEB為二面角α﹣l﹣β的平面角，即∠AEB=θ(0S1在△ABE中，由正弦定理有：AEsin∠ABE∴AEBE∴∠BAE=π-π∴∠BAE∈(π6∴AEBE=sin∠ABEsin∠BAE=32?故選：C．【點評】本題考查了二面角的平面角及線面角的作法，然后將三角形面積比轉(zhuǎn)化為邊之比來解決問題，屬于中檔題．10．（2024?昌黎縣校級模擬）定義兩個向量u→與v→的向量積u→×v→是一個向量，它的模|u→×v→|=|uA．42 B．4 C．43 D．【考點】空間向量及其線性運(yùn)算；平面向量的概念與平面向量的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)題中條件確定|AB→×AD→|，設(shè)底面△ABD的中心為O，則CO⊥平面ABD，可求得【解答】解：由題意，|AB設(shè)底面△ABD的中心為O，連接CO，AO，則OC⊥平面ABD，又AO，AB，AD?平面ABD，故OC⊥AO，OC⊥AB，OC⊥AD，則AO=3OC=A在△ACO中，cos∠則cos?又AB→×AD所以(AB故選：A．【點評】本題考查空間向量及其運(yùn)算，考查三角形中的幾何計算，屬中檔題．

考點卡片1．平面向量的概念與平面向量的模【知識點的認(rèn)識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標(biāo)量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點、終點的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小寫字母a→、b→，…表示．有向向量的長度為模，表示為|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB零向量長度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長度為0單位向量長度為一個單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是相等向量長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．2．空間向量及其線性運(yùn)算【知識點的認(rèn)識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量：A1（求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時，λa→與②當(dāng)λ＜0時，λa→與③當(dāng)λ＝0時，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ(μ注意：實數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±3．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識點的認(rèn)識】一、空間向量及其有關(guān)概念語言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對空間任意兩個向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→?存在λ∈R共面向量定理若兩個向量a→，b→不共線，則向量p→與向量a→，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使p→空間向量基本定理（1）定理：如果三個向量a→、b→、c不共面，那么對空間任一向量p→，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p→=xa（2）推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間一點P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個向量的數(shù)量積（1）a→?b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→?a→?b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a數(shù)量積a→?b→=a1b1+a2b2+a共線a→∥b→?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→?a1b1+a2b2+a3b3夾角公式cos＜a→，4．直線與平面所成的角【知識點的認(rèn)識】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a→，平面的法向量為u→，直線與平面所成的角為θ，a→與u→的夾角為φ，則有sinθ＝|cos5．幾何法求解直線與平面所成的角【知識點的認(rèn)識】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．【解題方法點撥】具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．【命題方向】﹣夾角計算：考查如何使用幾何方法計算直線與平面之間的夾角．6．二面角的平面角及求法【知識點的認(rèn)識】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點O的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點O．3、二面角的平面角求法：（1）定義；（2）三垂線定理及其逆定理；①定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直．②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延長（展）線（面）法；（5）射影公式；（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角；（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設(shè)平面α和β的法向量分別為u→和v→，若兩個平面的夾角為（1）當(dāng)0≤＜u→，v→＞≤π此時cosθ＝cos＜u→，（2）當(dāng)π2＜＜u→，v→＞＜π時，θcosθ＝﹣cos＜u→，7．幾何法求解二面角及兩平面的夾角【知識點的認(rèn)識】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫