中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第17講 圖形的相似（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第17講圖形的相似（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實際問題．3.掌握圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個圖形放大或縮?。?.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會根據(jù)坐標(biāo)描出點的位置或由點的位置寫出它的坐標(biāo)，靈活運用不同方式確定物體的位置．【知識導(dǎo)圖】【考點梳理】考點一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項.如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.2、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項或外項）（交換內(nèi)項）（交換外項）（同時交換內(nèi)項和外項）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項、后項）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB0.618AB.考點二、相似圖形相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成的比相等.相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.(2)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(2)如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；(3)如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.考點三、位似圖形位似圖形的定義：兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，不經(jīng)過交點的對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.2.位似圖形的分類：(1)外位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段之外.(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段上.3.位似圖形的性質(zhì)位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上；位似圖形的對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比；位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個關(guān)鍵點，并任取一點作為位似中心；第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點連線；第三步：在連線上取關(guān)鍵點的對應(yīng)點，使之滿足放縮比例；第四步：順次連接截取點.【典型例題】題型一、比例線段例1.已知三個數(shù)1,2,,請你再添上一個(只填一個)數(shù),使它們能構(gòu)成一個比例式,則這個數(shù)是_________.分析：這是一道開放型試題,由于題中沒有告知構(gòu)成比例的各數(shù)順序,故應(yīng)考慮各種可能位置.【思路點撥】這是一道開放型試題,由于題中沒有告知構(gòu)成比例的各數(shù)順序,故應(yīng)考慮各種可能位置.【答案與解析】根據(jù)比例式的概念，可得：1×÷2=；2×÷1=21×2÷=【總結(jié)升華】要構(gòu)成一個比例式，根據(jù)比例式的概念：如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．【變式】將一個菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說法不正確的是()A．菱形的各角擴(kuò)大為原來的2倍B．菱形的邊長擴(kuò)大為原來的2倍C．菱形的對角線擴(kuò)大為原來的2倍D．菱形的面積擴(kuò)大為原來的4倍【答案】A.題型二、相似圖形例2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當(dāng)點E與點B重合時，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【思路點撥】利用相似三角形的特征和等高三角形的面積比等于底邊之比（共底三角形的面積之比等于高之比）.【答案】C.【解析】解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正確；②如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點H與點B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵M(jìn)G⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位線，∴GC=AC=MH，故②正確；③如圖2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．將△ACF順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③錯誤；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AE?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，故④正確．故選：C．【總結(jié)升華】考查了相似形綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．例3．如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點，E是BC延長線上一點，且AF=EC，連結(jié)EF，DE，DF，M是FE中點，連結(jié)MC，設(shè)FE與DC相交于點N．則4個結(jié)論：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，則BF=2；正確的結(jié)論有（）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【思路點撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△ADF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，而∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，于是∠DGN≠∠DNG，判斷出①錯誤；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF，然后判斷出△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DEF=45°，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判斷出②正確；連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=EF，然后判斷出直線CM垂直平分BD，判斷出③正確；過點M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BF=2MH，判斷出④正確．【答案】C.【答案與解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠DEF=45°，∵∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判斷出①錯誤；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（對頂角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正確；連接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，∴∠FDE=∠ADC=90°，∵M(jìn)是EF的中點，∴MD=EF，∵BM=EF，∴MD=MB，在△DCM與△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM=∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分線AC上，∴MC垂直平分BD；故③正確；過點M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45°，∵M(jìn)C=，∴MH=×=1，∵M(jìn)是EF的中點，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位線，∴BF=2MH=2，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有②③④．故選C．【總結(jié)升華】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式】如圖8，△ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點為M.求證：求這個矩形EFGH的周長.【答案】（1）證明：∵四邊形EFGH為矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴；（2）解：由（1）得：設(shè)HE=xcm，MD=HE=x，∵AD=30，∴AM=30-x，∵HG=2HE，∴HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x（cm），可得

，解得，x=12，2x=24

所以矩形EFGH的周長為：2×（12+24）=72（cm）．答：矩形EFGH的周長為72cm．例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為，直線BC經(jīng)過點，，將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形，此時直線、直線分別與直線BC相交于點P、Q．（1）四邊形OABC的形狀是，當(dāng)時，的值是；（2）①如圖1，當(dāng)四邊形的頂點落在軸正半軸時，求的值；②如圖2，當(dāng)四邊形的頂點落在直線上時，求的面積．（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，是否存在這樣的點P和點Q，使？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OA′B′C′是矩形，當(dāng)α=90°時，可知，根據(jù)比例的性質(zhì)得出；（2）①由△COP∽△A'OB'，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出CP=，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出CQ=3，則BQ可求；②先利用AAS證明△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即可求出；（3）當(dāng)點P位于點B的右側(cè)時，過點Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，根據(jù)S△POQ=S△POQ，即可證明出PQ=OP；設(shè)BP=x，在Rt△PCO中，運用勾股定理，得出x=，進(jìn)而求得點P的坐標(biāo)．【答案與解析】（1）∵O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），∴OA=BC=8，OC=AB=6，∴四邊形OABC的形狀是矩形；當(dāng)α=90°時，P與C重合，如圖，根據(jù)題意，得，則；（2）①如圖1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，∴△COP∽△A'OB'，∴，即，∴CP=,BP=BC－CP=

.同理△B'CQ∽△B'C'O，，即，∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11，∴;②圖2，在△OCP和△B′A′P中，，∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，解得x=．∴S△OPB′==；（3）過點Q作QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，∵S△POQ=PQ?OC，S△POQ=OP?QH，∴PQ=OP．設(shè)BP=x，∵BP=BQ，∴BQ=2x，如圖4，當(dāng)點P在點B左側(cè)時，OP=PQ=BQ+BP=3x，在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，解得x1=1+，x2=1-（不符實際，舍去）．∴PC=BC+BP=9+，∴P1（-9-，6）．如圖5，當(dāng)點P在點B右側(cè)時，∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，解得x=．∴PC=BC-BP=8-=，∴P2（-，6），綜上可知，存在點P1（-9-，6），P2（-，6），使BP=BQ．【總結(jié)升華】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應(yīng)線段相等，能夠用一個未知數(shù)表示同一個直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．例5．如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．①求證：ADE∽BEF；②設(shè)正方形的邊長為4，AE=，BF=．當(dāng)取什么值時，有最大值?并求出這個最大值．【思路點撥】本題涉及到的考點有相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值以及正方形的性質(zhì)．【答案與解析】（1）證明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，∴∠ADE+∠AED=90°，又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，∴∠ADE=∠BEF，∴△ADE∽△BEF由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x得：，即：，得：y==（0＜x＜4）（3）解：當(dāng)x=2時，y有最大值，y的最大值為1．該函數(shù)圖象在對稱軸x=2的左側(cè)部分是上升的，右側(cè)部分是下降的．【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．確定個二次函數(shù)的最值是，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．題型三、位似圖形例6.如圖，用下面的方法可以畫出△AOB的“內(nèi)接等邊三角形”，閱讀后證明相應(yīng)的問題.畫法：(1)在△AOB內(nèi)畫等邊△CDE，使點C在OA上，點D在OB上；(2)連結(jié)OE并延長，交AB于點E′，過E′作E′C′∥EC，交OA于點C′，作E′D′∥ED，交OB于點D′；(3)連結(jié)C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形.請判斷△C′D′E′是否是等邊三角形，并說明理由.【思路點撥】由畫法可知，△CDE和△C′D′E′是位似圖形.【答案與解析】△C′D′E′是等邊三角形.證明：∵C′E′∥CE，∴△OEC∽△OE′C′，∴，∠C′E′D′=∠CED=60°，∴△C′D′E′∽△CDE.∵△CDE為等邊三角形，∴△C′D′E′為等邊三角形.【總結(jié)升華】重點考查閱讀理解能力和知識的遷移能力.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共7小題）1．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點的縱坐標(biāo)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)CD∥OB得出，根據(jù)AC：OC＝1：2，得出，根據(jù)C、D兩點縱坐標(biāo)分別為1、3，得出OB＝6，即可得出答案．【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D兩點縱坐標(biāo)分別為1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B點的縱坐標(biāo)為6，故選：C．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出，是解題的關(guān)鍵．2．（2022?徐州）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（）A．5 B．6 C． D．【分析】證明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根據(jù)三角形的面積關(guān)系求得結(jié)果．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，故選：C．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式，關(guān)鍵在于證明三角形相似．3．（2022?德州）如圖，把一根長為4.5m的竹竿AB斜靠在石壩旁，量出竿長1m處離地面的高度為0.6m，則石壩的高度為（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m【分析】根據(jù)DC∥BF，可得＝，進(jìn)而得出BF即可．【解答】解：過點B作BF⊥AD于點F，∵DC⊥AD，BF⊥AD，∴DC∥BF，∴△ACD∽△ABF，∴＝，∴＝，解得：BF＝2.7．故選：A．【點評】本題考查了相似三角形應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．4．（2022?鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法，步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測點的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點的距離約為（）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【分析】根據(jù)圖形估計出橫向距離，再根據(jù)“跳眼法”的步驟得到答案．【解答】解：觀察圖形，橫向距離大約是汽車的長度的2倍，∵汽車的長度大約為4米，∴橫向距離大約是8米，由“跳眼法”的步驟可知，將橫向距離乘以10，得到的值約為被測物體離觀測點的距離值，∴汽車到觀測點的距離約為80米，故選：C．【點評】本題考查的是圖形的相似以及“跳眼法”，正確估計出橫向距離是解題的關(guān)鍵．5．（2022?攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別為BC、CD的中點，BF、DE相交于點G，過點E作EH∥CD，交BF于點H，則線段GH的長度是（）A． B．1 C． D．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，求出DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，求出FH＝BH，根據(jù)勾股定理求出BF，求出FH＝BH＝，根據(jù)三角形的中位線求出EH，根據(jù)相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，∵點E、F分別為BC、CD的中點，∴DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，∵EH∥CD，∴FH＝BH，∵BE＝CE，∴EH＝CF＝，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∴BH＝FH＝BF＝，∵EH∥CD，∴△EHG∽△DFG，∴，∴＝，解得：GH＝，故選：A．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．6．（2022?東營）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，點M，N分別是邊BC、CD上的動點，∠BAC＝∠MAN＝60°，連接MN、OM．以下四個結(jié)論正確的是（）①△AMN是等邊三角形；②MN的最小值是；③當(dāng)MN最小時S△CMN＝S菱形ABCD；④當(dāng)OM⊥BC時，OA2＝DN?AB．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】由四邊形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，則△ABC和△ADC都是等邊三角形，再證明△BAM≌△CAN，得AM＝AN，而∠MAN＝60°，則△AMN是等邊三角形，可判斷①正確；當(dāng)AM⊥BC時，AM的值最小，此時MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2可求得MA＝AM＝，可判斷②正確；當(dāng)MN的值最小，則BM＝CM，可證明DN＝CN，根據(jù)三角形的中位線定理得MN∥BD，則△CMN∽△CBD，可求得S△CMN＝S△CBD＝S菱形ABCD，可判斷③正確；由CB＝CD，BM＝CN得CM＝DN，再證明△OCM∽△BCO，得＝，所以O(shè)C2＝CM?CB，即OA2＝DN?AB，可判斷④正確．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，故①正確；當(dāng)AM⊥BC時，AM的值最小，此時MN的值也最小，∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，∴MN＝AM＝AB?sin60°＝2×＝，∴MN的最小值是，故②正確；∵AM⊥BC時，MN的值最小，此時BM＝CM，∴CN＝BM＝CB＝CD，∴DN＝CN，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴＝＝＝，∴S△CMN＝S△CBD，∵S△CBD＝S菱形ABCD，∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，故③正確；∵CB＝CD，BM＝CN，∴CB﹣BM＝CD﹣CN，∴CM＝DN，∵OM⊥BC，∴∠CMO＝∠COB＝90°，∵∠OCM＝∠BCO，∴△OCM∽△BCO，∴＝，∴OC2＝CM?CB，∴OA2＝DN?AB，故④正確，故選：D．【點評】此題重點考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試題中的拔高區(qū)分題．7．（2022?衢州）西周數(shù)學(xué)家商高總結(jié)了用“矩”（如圖1）測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖2的位置，從矩的一端A（人眼）望點E，使視線通過點C，記人站立的位置為點B，量出BG長，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y(tǒng)（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝x B．y＝x+1.6 C．y＝2x+1.6 D．y＝+1.6【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，F(xiàn)G＝AB＝1.6m，EG＝y(tǒng)m，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：由圖2可得，AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，F(xiàn)G＝AB＝1.6m，EG＝y(tǒng)m，∴EF＝（y﹣1.6）m，∵CD⊥AF，EF⊥AF，∴CD∥EF，∴△ADC∽△AFE，∴，即，∴，化簡，得y＝x+1.6，故選：B．【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二．填空題（共6小題）8．（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的1.2倍．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解決此題．【解答】解：由題意得，5m被稱物＝6m砝碼．∴m被稱物：m砝碼＝6：5＝1.2．故答案為：1.2．【點評】本題主要考查比例，熟練掌握比例的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022?東營）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長為．【分析】設(shè)AD交EH于點R，由矩形EFGH的邊FG在BC上證明EH∥BC，∠EFC＝90°，則△AEH∽△ABC，得＝，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，可以列出方程＝，解方程求出EH的值即可．【解答】解：設(shè)AD交EH于點R，∵矩形EFGH的邊FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于點D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的長為，故答案為：．【點評】此題重點考查矩形的性質(zhì)、兩條平行線之間的距離處處相等、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”列方程是解題的關(guān)鍵．10．（2022?錦州）如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，連接BE交AC于點F．若AB＝6，則△AEF的面積為3．【分析】由正方形的性質(zhì)可知AE＝3，AD//BC，則可判斷△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△AEF＝S△ABE．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝AB＝6，AD∥BC，∵E為AD的中點，∴AE＝AB＝3，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴S△AEF：S△ABF＝1：2，∴S△AEF＝S△ABE＝××3×6＝3．故答案為：3．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．（2022?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是AC邊上的一點，過點D作DF∥AB，交BC于點F，作∠BAC的平分線交DF于點E，連接BE．若△ABE的面積是2，則的值是．【分析】首先由勾股定理求出AB的長，由面積法得點C到DF的距離為，點E到AB的距離為，從而得出CD＝2，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得AD＝DE＝1，從而解決問題．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝5，∵△ABE的面積是2，∴點E到AB的距離為，在Rt△ABC中，點C到AB的距離為，∴點C到DF的距離為，∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴＝，∴CD＝2，DF＝，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵DF∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝1，∴EF＝DF﹣DE＝﹣1＝，∴＝，故答案為：．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義等知識，熟練掌握相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．12．（2022?阜新）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點，且AE＝2DE，BD與CE相交于點F，若△DEF的面積是3，則△BCF的面積是27．【分析】根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，很容易證明△DEF∽△BCF，相似三角形之比等于對應(yīng)邊比的平方，即可求出△BCF的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，∴∠EDF＝∠CBF，∵∠EFD＝∠CFB，∴△DEF∽△BCF，∵AE＝2DE，AD＝BC，∴DE：BC＝1：3，∴S△DEF：S△BCF＝DE2：BC2，即3：S△BCF＝1：9，∴S△BCF＝27．故答案為：27．【點評】本題考查了相似三角形面積之比，綜合性比較強(qiáng)，學(xué)生要靈活應(yīng)用．13．（2022?丹東）如圖，四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AB，AC上的動點（不與端點重合），且BE＝AF，BF與CE交于點P，延長BF交邊AD（或邊CD）于點G，連接OP，OG，則下列結(jié)論：①△ABF≌△BCE；②當(dāng)BE＝2時，△BOG的面積與四邊形OCDG面積之比為1：3；③當(dāng)BE＝4時，BE：CG＝2：1；④線段OP的最小值為2﹣2．其中正確的是①②．（請?zhí)顚懶蛱枺痉治觥竣僮C明△ABC是等邊三角形，進(jìn)而得出三角形全等的三個條件；②可推出點G是AD的中點，可以得出S△COD＝S△AOD＝2S△DOG，根據(jù)點O是BD的中點，可以得到S△BOG＝S△DOG，進(jìn)一步得出結(jié)果；③根據(jù)AB∥CD得出，從而得出CG＝3，于是BE：CG＝4：3；④可推出∠BPC＝120°，從而得出點P在以等邊三角形BCH的外接圓的上運動，當(dāng)點O、P、I共線時，OP最?。窘獯稹拷猓孩佟咚倪呅蜛BCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正確；②由①知：△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴，∴，∴AG＝3，∴AG＝，∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△DOG，∴S四邊形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，故②正確；③如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△CGF∽△ABF，∴，∴，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正確；④如圖2，由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等邊三角形△BCH，作△BCH的外接圓I，則點P在⊙I上運動，點O、P、I共線時，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝＝3，∴PI＝IH＝，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝＝＝，∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，故④不正確，故答案為：①②．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，確定圓的條件等知識，解決問題的關(guān)鍵熟練掌握“定弦對定角”等模型．三．解答題（共10小題）14．（2022?朝陽）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E，點F為BD延長線上一點，∠DAF＝∠B．（1）求證：AF是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，AD是△AEF的中線，且AD＝6，求AE的長．【分析】（1）由圓周角定理得∠ADC＝90°，則∠ACD+∠DAC＝90°，從而說明OA⊥AF，即可證明結(jié)論；（2）作DH⊥AC于點H，利用△ADH∽△ACD，得，求出AH的長，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出AD＝DE，利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案．【解答】（1）證明：∵AC是直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，∴∠DAF+∠DAC＝90°，∴OA⊥AF，∵OA是半徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：作DH⊥AC于點H，∵⊙O的半徑為5，∴AC＝10，∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，∴△ADH∽△ACD，∴，∴AD2＝AH?AC，∴AH＝，∵AD是△AEF的中線，∠EAF＝90°，∴AD＝ED，∴AE＝2AH＝．【點評】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出AH的長是解題的關(guān)鍵．15．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，EF與⊙O相切于點D，EF∥BC分別交AB，AC的延長線于點E和F，連接AD交BC于點N，∠ABC的平分線BM交AD于點M．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求線段DM的長．【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥EF，由EF∥BC得OD⊥BC，由垂徑定理得，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由平行線分線段定理得DN＝，再證明△BDN∽△ADB，可得BD＝2，最后證明∠BMD＝∠DBM，進(jìn)而即可求解．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵EF與⊙O相切于點D，∴OD⊥EF，∵BC∥EF，∴OD⊥BC，∴，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴＝，∴DN＝，∵∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2（負(fù)值舍去），∵∠ABC的平分線BM交AD于點M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．【點評】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)；找出相似三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2022?徐州）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在陽光下，小明觀察到AB在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180cm．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．【解答】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，則DF＝CD＝90（cm），CF＝CD?cos∠DCF＝180×＝90（cm），由題意得：＝，即＝，解得：EF＝135，∴BE＝BC+CF+EF＝（255+90）cm，則＝，解得：AB＝170+60，答：立柱AB的高度為（170+60）cm．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．17．（2022?鎮(zhèn)江）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm，高為42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑AB、CD以及、組成的軸對稱圖形，直線l為對稱軸，點M、N分別是、的中點，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角∠AEC＝66°，發(fā)現(xiàn)并證明了點E在MN上．請你繼續(xù)完成MN長的計算．參考數(shù)據(jù)：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．【分析】連接AC，交MN于點H，設(shè)直線l交MN于點Q，利用三角函數(shù)求出MH，再根據(jù)對稱性求出MN即可．【解答】解：連接AC，交MN于點H，設(shè)直線l交MN于點Q，∵M(jìn)是的中點，點E在MN上，∴∠AEM＝∠CEM＝∠AEC＝33°，在△AEC中，EA＝EC，∠AEH＝∠CEH，∴EH⊥AC，AH＝CH，∵直線l是對稱軸，∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，∴AB∥CD∥MN，∴AC⊥AB，∴AC＝42.9cm，AH＝CH＝cm，在Rt△AEH中，sin∠AEH＝，即＝，則AE＝39，tan∠AEH＝，即＝，則EH＝33，∴MH＝6cm，∵該圖形為軸對稱圖形，∴MQ＝MH+HQ＝6+15＝21（cm），∴MN＝42（cm），即MN的長為42cm．【點評】本題主要考查解直角三角形的知識，熟練運用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2022?襄陽）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，點D為的中點，連接AC，BC，AD，AD與BC相交于點G，過點D作直線DE∥BC，交AC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若＝，CG＝2，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OD，證明OD⊥DE即可；（2）根據(jù)＝相等，再由（1）中＝可得，，從而得到∠CAD＝∠BAD＝∠ABC＝30°，在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)求出AC、AG的長，從而求出△CAG的面積，在Rt△ABD中利用銳角三角函數(shù)求出AD的長，根據(jù)DE∥BC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示，∵點D為的中點，∴OD⊥BC∵DE∥BC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接BD，如圖所示，∵＝，∴BD＝AC∵點D為的中點，∴，∴，∴的度數(shù)＝的度數(shù)＝的度數(shù)＝60°，∴∠CAD＝∠BAD＝30°．∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACG中，tan∠CAD＝，sin∴CA＝，AG＝∵CG＝2，∴CA＝2×＝6，AG＝4．∴BD＝CA＝6，∴S△ACG＝CG?AC＝6．在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，∴AD＝＝＝6．∵DE∥BC，∴△CAG∽△EAD，∴，即，∴S△EAD＝．∴S陰影部分＝S△EAD﹣S△ACG＝．【點評】本題主要考查了切線的判定定理、垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的性質(zhì)，其中利用過圓心，平分弧然后根據(jù)垂徑定理證明半徑垂直于弦是解題的關(guān)鍵．19．（2022?淮安）如圖，湖邊A、B兩點由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計算A、B兩點之間的距離，經(jīng)測量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】通過作高，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，列方程求解即可．【解答】解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC?sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC?cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B兩點之間的距離約為94米．【點評】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)，是正確解答的前提，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是常用的方法．20．（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，cosα＝．小文在C點處測得樓頂端A的仰角為60°，在D點處測得樓頂端A的仰角為30°（點A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（1）求C，D兩點的高度差；（2）求居民樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【分析】（1）過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，在Rt△DCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．（2）過點D作DF⊥AB于F，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，求出x的值，即可得出答案．【解答】解：（1）過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D兩點的高度差為9m．（2）過點D作DF⊥AB于F，由題意可得BF＝DE，DF＝BE，設(shè)AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民樓的高度AB約為24m．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．21．（2022?巴中）四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，直徑AC與弦BD交于點E，直線PB與⊙O相切于點B．（1）如圖1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求證：BA平分∠PBD；（2）如圖2，連接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求證：△OAB∽△CDE．【分析】（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PBA+∠ABO＝90°，再由∠PBA＝30°，可得∠ABO＝60°，從而得到△AOB為等邊三角形，再跟等邊三角形的性質(zhì)可得BE平分∠ABO，即可求證；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角是直角可得∠PBA＝∠OBC＝∠OCB，從而得到∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA，進(jìn)而得到∠AOB＝∠ACD，再由∠BAO＝∠BDC，即可求證．【解答】（1）證明：連接OB，∵直線PB與⊙O相切于點B，∴∠PBO＝90°．∴∠PBA+∠ABO＝90°．∵∠PBA＝30°，∴∠ABO＝60°．又∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形．又∵OE＝AE，∴BE平分∠ABO．∴，∴BA平分∠PBD；（2）證明：∵直線PB與⊙O相切于點B，∴∠PBO＝90°．∴∠PBA+∠ABO＝90°．∵AC為直徑，∴∠ABC＝90°．∴∠OBC+∠ABO＝90°．∴∠OBC＝∠PBA．∵OB＝OC，∴∠PBA＝∠OBC＝∠OCB．∴∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA．∵∠ACD＝∠ABD＝2∠PBA，∴∠AOB＝∠ACD，又∵∠BAO＝∠BDC，∴△OAB∽△CDE．【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進(jìn)行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請你幫助該小組計算建筑物的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）【分析】過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根據(jù)已知可設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，然后利用勾股定理進(jìn)行計算可求出DE，CE的長，再設(shè)BF＝y(tǒng)米，從而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF的長，從而求出AC的長，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于y的方程，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，設(shè)DE＝3x米，則CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，設(shè)BF＝y(tǒng)米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y(tǒng)（米），∴AE＝DF＝y(tǒng)米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，經(jīng)檢驗：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB約為31.9米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．23．（2022?資陽）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM＝4，點E為BC邊上的動點（不與B、C重合，過點E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．（1）求證：△ABM∽△EBF；（2）當(dāng)點E為BC的中點時，求DE的長；（3）設(shè)BE＝x，△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用兩個角對應(yīng)相等的三角形全等即可證明△ABM∽△EBF；（2）過點E作EN⊥AD于點N，可得四邊形AMEN為矩形，從而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，從而得到ME＝AN＝2，進(jìn)而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延長FE交DC的延長線于點G．根據(jù)，可得，再證得△ABM∽△ECG，可得，從而得到，再根據(jù)三角形的面積公式，得到函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】（1）證明：∵EF⊥AB，AM是BC邊上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：過點E作EN⊥AD于點N，如圖：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC邊上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四邊形AMEN為矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E為BC的中點，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延長FE交DC的延長線于點G，如圖：∵sinB＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF?DG＝×x?[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x＝時，y有最大值為，答：y＝﹣x2+x，當(dāng)x＝時，y有最大值為．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】1．（2023?邢臺一模）4sin260°的值為（）A．3 B．1 C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可得出答案．【解答】解：．故選：A．【點評】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，正確計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023?邢臺一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF關(guān)于原點O位似，且OB＝2OE，若S△ABC＝4，則S△DEF為（）A．1 B．2 C． D．【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出△DEF與△ABC的面積比，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵△ABC與△DEF關(guān)于原點O位似，OB＝2OE，∴△ABC與△DEF相似比為：2：1，∴△ABC與△DEF面積之比為4：1，∵S△ABC＝4，，S△DEF＝1．故選：A．【點評】此題主要考查了位似變換，熟練掌握位似變換的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，則BC的長為（）A．+1 B．2+2 C．2+1 D．+4【分析】先在Rt△ABD中，利用60°的余弦和正弦求出AD＝2，BD＝2，再在Rt△ACD中，利用正切的定義求出CD，然后計算BD+CD即可．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，sin∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝4×＝2，BD＝4sin60°＝4×＝2，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形：靈活運用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023?深圳模擬）如圖，九年級（1）班課外活動小組利用平面鏡測量學(xué)校旗桿的高度，在觀測員與旗桿AB之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個標(biāo)記E，當(dāng)觀測到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合時，測得觀測員的眼睛到地面的高度CD為1.6m，觀測員到標(biāo)記E的距離CE為2m，旗桿底部到標(biāo)記E的距離AE為16m，則旗桿AB的高度約是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m【分析】根據(jù)題意可知△DCE∽△BAE，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．【解答】解：∵鏡子垂直于地面，∴入射角等于反射角，∴∠DEC＝∠BEA，∵DE⊥AC，BA⊥AC，∴∠DCE＝∠BAE，∴△DCE∽△BAE，∴＝，即＝，∴AB＝12.8（m）．故選：D．【點評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．5．（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，△ABC面積為1，△DEF面積為9，則的值為（）A． B． C． D．2【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到＝，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∵△ABC面積為1，△DEF面積為9，∴＝，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，∴＝，故選：B．【點評】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．6．（2023?吉陽區(qū)一模）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，則點A到BC的距離為（）A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函數(shù)定義，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案．【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D，如圖所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，∴點A到BC的距離為60sin50°，故A正確．故選：A．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用，點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．7．（2023?深圳模擬）數(shù)學(xué)中余弦定理是這樣描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，則BC的值是（）A．5 B． C． D．2【分析】根據(jù)材料中的余弦定理，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，∴BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA＝32+42﹣2×3×4×cos60°＝9+16﹣24×＝25﹣12＝13，∴BC＝或BC＝﹣（舍去），∴BC＝，故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形，理解材料中的余弦定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023?深圳模擬）某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經(jīng)測量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度AB與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比（約等于0.618）．已知CD＝80cm，則AB約是（）A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm【分析】根據(jù)圖形和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到＝≈0.618，然后計算即可．【解答】解：由題意可得，＝≈0.618，解得AB≈49，故選：B．【點評】本題考查黃金分割，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，計算出AB的值．9．（2023?邢臺一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，則添加下列條件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C． D．【分析】已知∠ADC＝∠BAC，則A、D選項可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；C選項雖然也是對應(yīng)邊成比例但無法得到其夾角相等，所以不能推出兩三角形相似；B選項可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似來判定．【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需滿足的條件有：①∠DAC＝∠ABC或CA是∠BCD的平分線；②＝；故選：C．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定方法；熟記三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）10．（2023?福安市一模）若cos（α﹣15）°＝，則α＝45．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：∵cos（α﹣15）°＝，∴（α﹣15）°＝30°，則α＝45．故答案為：45．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．11．（2023?雁塔區(qū)一模）如圖，點P把線段AB的黃金分割點，且AP＜BP．如果AB＝2，那么BP＝1.2（結(jié)果保留小數(shù)）．【分析】由黃金分割的定義得，即可得出答案．【解答】解：∵點P是線段AB的黃金分割點（AP＜BP），∴，∴，故答案為：1.2．【點評】本題考查了黃金分割的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值．12．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知直線AB∥CD∥EF，且AE：EC＝2：3，BD＝15，則DF＝9．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AE：EC＝2：3，BD＝15，∴AE：EC＝BF：DF＝2：3，∴BF：DF＝（BD﹣DF）：DF＝2：3，∴（15﹣DF）：DF＝2：3，∴DF＝9，故答案為：9．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2023?未央?yún)^(qū)校級三模）某綜合實踐活動課，老師要求學(xué)生測量教學(xué)樓外的旗桿高度．組長將成員分為兩，選擇了一個身高1.6m的同學(xué)站立在旗桿影子的前方，并要求組內(nèi)同學(xué)測量他的影子長度，另一組成員測量旗桿的影子長度．經(jīng)過測量，該同學(xué)的影長為1.2m，旗桿影長為9m．那么他們得到旗桿的高度是12m．【分析】在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答．【解答】解：由題意得：∴1.6：1.2＝旗桿的高度：9．∴旗桿的高度為12m．故答案為：12．【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例定理在實際中的應(yīng)用．14．（2023?未央?yún)^(qū)校級三模）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝5，AC＝6，則tanA的值為．【分析】在Rt△ABC中，先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得AB＝10，然后利用勾股定理求出BC＝8，最后利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tanA＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝135°，BC＝6，CD＝2，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的三等分點，AE＝AB，AF＝AD，連接CE，CF，EF，若四邊形ABCD的面積為24，則△CEF的面積是6．【分析】過點D作DG⊥BC交BC延長線于點G，連接BD、AC，求得S△BCD、S△ABD的值，再證明△AEF∽△ABD，利用面積比的關(guān)系得到△AEF的面積，再利用同高的兩個三角形面積比為底之比得到△BCE和△DFC面積之和，最后利用S△CEF＝S四邊形ABCD﹣S△AEF﹣（S△BCE+S△DFC）關(guān)系求得結(jié)果．【解答】解：過點D作DG⊥BC交BC延長線于點G，連接BD、AC，如圖．∵∠BCD＝135°，∴∠DCG＝45°．∴DG＝CD?sin45°＝2×＝2，∴S△BCD＝DG?BC＝×2×6＝6．∴S△ABD＝S四邊形ABCD﹣S△BCD＝24﹣6＝18．∵AE＝AB，AF＝AD，∴＝＝，∵∠EAF＝BAD，∴△AEF∽△ABD．∴＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABD＝×18＝2，又∵＝，∴＝，∴S△BCE＝S△ABC，同理可得：S△DFC＝S△ADC，∴S△BCE+S△DFC＝（S△ABC+S△ADC）＝?S四邊形ABCD＝×24＝16，∴S△CEF＝S四邊形ABCD﹣S△AEF﹣（S△BCE+S△DFC）＝24﹣2﹣16＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了三角形面積的計算，相似三角形的判定與性質(zhì)，面積比等于相似比的平方，三角函數(shù)，常見輔助線的作法，本題正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2023?偃師市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長為3的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動點，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點E坐標(biāo)為（1，0）或（，0）時，△CDE與△ACE相似．【分析】因為DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE與△ACE相似分兩種情況分類討論．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等邊三角形，則OD＝OE＝DE，設(shè)E（a，0），則OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝3﹣a．∵△CDE與△ACE相似，分兩種情況討論：①當(dāng)△CDE∽△EAC時，則∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四邊形AEDC是平行四邊形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴3﹣a＝2a，∴a＝1．∴E（1，0）；②當(dāng)△CDE∽△AEC時，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（3﹣a）＝6﹣2a，∴6﹣2a+＝3，∴a＝．∴E（，0）．綜上所述，點E的坐標(biāo)為（1，0）或（，0）．故答案為：（1，0）或（，0）．【點評】本題主要考查相似三角形，考慮分類討論是本題的關(guān)鍵．17．（2023?市南區(qū)校級一模）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧所在圓的圓心，A是圓弧與直線AG的切點，B是圓弧與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為（π+4）cm2．【分析】設(shè)大圓的半徑為R，利用已知條件求出OQ、QD的長，利用tan∠ODC＝求出大圓的半徑R，再根據(jù)圖中線段關(guān)系得出△AOH為直角三角形，最后求解圖中陰影部分的面積即可．【解答】解：如圖，作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足為M，過點O作OQ垂直于DQ，垂足為Q，∵A到直線DE和EF的距離均為7cm，∴EM＝AM＝7，又∵EF＝12，MN＝DE＝2，∴NG＝MF＝12﹣7＝5，AN＝AM﹣NM＝7﹣2＝5，∴∠AGD＝45°，∵BH∥DG，∴∠AHO＝45°，由于AG是圓弧的切線，∴AG⊥OA，∠AOH＝45°，設(shè)大圓的半徑為R，則AS＝OS＝，OQ＝SN＝5﹣，DQ＝DN﹣QN＝7﹣，∵tan∠ODC＝，∴＝，解得R＝2，圖中陰影部分面積分為扇形AOB和直角△AOH的面積減去小半圓的面積，所以S陰影＝×π×（2）2+×2×2﹣×π×1＝×π×8+4﹣π＝3π+4﹣π＝π+4．故答案為：（π+4）．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形的解法，熟練掌握圓的有關(guān)計算方法是解題的關(guān)鍵．18．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，點E、F分別是邊AB，BC邊上的點（E、F不與端點重合），且EF∥AC．將△BEF沿直線EF折疊，點B的對應(yīng)點為點M，延長EM交AC于點G，若以M、G、F為頂點的三角形與△BEF相似，求BF的長或．【分析】連接并延長BM，BM交EF于點I，BM的延長線交AC于點H，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，由EF∥AC得∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，所以BH⊥AC，由∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，得AC＝＝10，則×10BH＝×6×8＝S△ABC，求得BH＝，再分兩種情況討論，一是△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE，可推導(dǎo)出MH＝BF，MI＝BI＝BF，則3×BF＝，得BF＝；二是△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE，可推導(dǎo)出MH＝BF，則2×BF+BF＝，得BF＝．【解答】解：連接并延長BM，BM交EF于點I，BM的延長線交AC于點H，∵將△BEF沿直線EF折疊，點B的對應(yīng)點為點M，∴EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，∵EF∥AC，∴∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，∴BH⊥AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∴×10BH＝×6×8＝S△ABC，∴BH＝，當(dāng)△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE時，如圖1，∵△BEF≌△MEF，∴△MGF∽△MEF，∴＝＝1，∴GM＝EM＝EB，∵∠BFE＝∠C，∴GM＝EB＝BF?tan∠BFE＝BF?tanC＝BF×＝BF，∵∠GMH＝90°﹣∠FMI＝∠MFE＝∠BFE＝∠C，∴MH＝GM?cos∠GMH＝GM?cosC＝BF×＝BF×＝BF，∵M(jìn)I＝BI＝BF?sin∠BFE＝BF?sinC＝BF×＝BF，∴3×BF＝，∴BF＝；當(dāng)△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE時，如圖2，∵＝tan∠MGF＝tan∠BFE＝tanC＝，∴GM＝MF＝BF，∴MH＝GM?cos∠GMH＝GM?cosC＝BF×＝BF，∴2×BF+BF＝，∴BF＝，綜上所述，BF的長為或，故答案為：或．【點評】此題重點考查勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2023?青島一模）如圖，正方形ABCD中，AD＝12，點E是對角線BD上一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交BC于點F，連接AF，交BD于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接AM，交EF于點N，若點F是BC邊的中點，下列說法正確的是①②③.（填序號）①△AGD∽△FGB；②∠EFG＝∠ABD＝45°；③AM＝10；④S△EAM＝．【分析】利用勾股定理求出AF＝6，再證明△AGD∽△FGB，得出＝2，進(jìn)而求得FG＝2，再根據(jù)∠ABC+∠AEF＝180°，判斷出點A，B，F(xiàn)，E四點共圓，進(jìn)而得出∠EFG＝∠ABD＝45°，由翻折得出：FG＝FM，∠EFM＝∠EFG，可得∠AFM＝90°，利用分割法求出△AEM的面積．【解答】解：如圖，設(shè)對角線的交點為O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝12，∵點F是AB的中點，∴BF＝BC＝6，在Rt△ABF中，AF＝＝＝6，∵AD∥BC，∴△AGD∽△FGB，故①正確，∴＝，∴＝＝2，∴AG＝2FG，∵AG+FG＝AF，∴2FG+FG＝6∴FG＝2，∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∠ABD＝45°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°＝∠ABC，∴∠ABC+∠AEF＝180°，∴點A，B，F(xiàn)，E四點共圓，∴∠EFG＝∠ABD＝45°，故②正確，∵將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，∴FG＝FM，∠EFM＝∠EFG∴FM＝2，∠EFM＝∠EFG＝45°，∴∠AFM＝∠EFM+∠EFG＝45°+45°＝90°，∴AM＝＝＝10．故③正確．連接EC，過點E作EP⊥AD于點P交BC于點Q，過點F作FH⊥BD于點H．∵四邊形是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，DA＝DC，∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴EA＝EC，∵EA＝EF，∴EF＝EC，∵EQ⊥CB，∴FQ＝CQ，∵△APE≌△EQF，∴PE＝FQ＝CQ＝3，∴DE＝3，∵AD∥BF，BD＝12，AF＝6，∴BG：GD＝BF：AD＝FG：AG＝1：2，∴BG＝4，EG＝12﹣3﹣4＝5，F(xiàn)G＝FM＝2，∵FH⊥BH，∴FH＝BH＝3，∴△AEM的面積＝S△AEF+S△EFM﹣S△AFM＝×（6）2+×5×﹣××2＝30，故④錯誤，故答案為：①②③．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，構(gòu)造出相似三角形是解本題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）20．（2023?蓮湖區(qū)一模）為測量一棵大樹的高度，設(shè)計的測量方案如圖所示：標(biāo)桿高度CD＝3m，人的眼睛A、標(biāo)桿的頂端C和大樹頂端M在一條直線上，標(biāo)桿與大樹的水平距離DN＝14m，人的眼睛與地面的高度AB＝1.6m，人與標(biāo)桿CD的水平距離BD＝2m，B、D、N三點共線，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大樹MN的高度．【分析】過點A作AF⊥MN于點F，交CD于點E，證明△ACE∽△AMF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可求解．【解答】解：如圖所示，過點A作AF⊥MN于點F，交CD于點E，依題意，B、D、N三點共線，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，∴四邊形ABDE，ABNF是矩形，∴AE＝BD＝2，CE＝CD﹣AB＝3﹣1.6＝1.4，AF＝BN＝BD+DN＝2+14＝16，F(xiàn)N＝AB＝1.6，∵CD⊥BN，M