平面向量的綜合應(yīng)用(要點(diǎn)歸納+夯實(shí)基礎(chǔ)練)

第四節(jié)平面向量的綜合應(yīng)用

【要點(diǎn)歸納】

一、向量在平面幾何中的應(yīng)用

平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平

行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題.

1.證明線段平行或點(diǎn)共線問即，包括相似問題，常用共線向量定理：a//b,且上00

[X|=1T2，

存在唯一的入￡R,使。Myi=0或，<1=（X1，yi）,b=（X2>”）；

ly="2，

2.證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：al_b=_a/=0_u>_KM+），iy2=0_;

3.求夾角問題，利用夾角公式.

二、平面向量在物理中的應(yīng)用

1.由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解和合成與向量的加法和減法

相似，可用向量的知識(shí)來解決.

2.物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，是力F與位移S的數(shù)量積，即W=F5=|FHS|-cos0（0

為尸與S的夾角）.

【夯實(shí)基礎(chǔ)練】

1.（2022?云南省昆明市第一中學(xué)第六次月考）已知向量。=（一2,1）,0=（1"）,則下列說

法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

①若々J"九則7的值為-2；②卜一母的最小值為1；③若卜+*,一.，則z■的

值為2；④若。與〃的夾角為鈍角，則:"的取值范圍是7<2

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【解析】對于①，若〃_Lb,則-2+7=0,解得了=2,①錯(cuò)；

對于②，p-^|=7（-2-l）2+（l-r）2=yl（T-\）2+9>3,②錯(cuò)；

對于③，由,+4=），得J（_2+l）2+（l+4=卜2-1）2+（—）2,解得

r=2,③正確；

對于④，因￡與人的夾角為鈍角，則〃?匕=不一2<0,解得7<2,又。與〃不共線，

即一2701,解得丁工一!，因此，r的取值范圍是7<2且匯工一！，④錯(cuò)，所以說法錯(cuò)誤

22

的個(gè)數(shù)是3.故選：D

【答案】D

2.(2022?西南四省名校高三第二次大聯(lián)考)已知平面向量。,b,c滿足：忖=3,忖=2,

|c|=l,且(24+孫。一〃?〃-2=0,則?-2母的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

【解析】V|(2^+/?)?<?=卜功+2閆0?忖=慳+?(當(dāng)%+〃/共線時(shí)取“=”

號)，+4〃6+4<4。+//+4〃力，.,.(〃./?)<36=>-6<?Z?<6,又

|a-2^|=a+4Z?--?Z?=25-4a-Z?<49,|a-2Z?|=7.故選：D.

【答案】D

3.(2022?四川省成都市第七中學(xué)高三二模)設(shè)b為非零向量，A,//eR,則下列命題

為真命題的是()

A.若a?(〃-〃)=(),則a=2B.若B=2a,貝!jIa|十I〃|=|a+〃|

C.若4。+〃〃=0,則％=〃=0D.若|。|>|〃|,則(a+〃)(。一〃)>0

【解析】對于A,a^-b)=0<^al(a-b),結(jié)論不成立，命題為假；

對于B,當(dāng).與.方向相反時(shí)，結(jié)論不成立，命題為假；

對于C,當(dāng)￡與石共線時(shí)，結(jié)論不成立，命題為假；

對于D,若|￡|>由,則|。|2>|川，即則/一片>0,所以

(a+b)(a-b)=a2-b>0?命題為真.故選：D.

【答案】D

4.(2022?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三九模)已知工為單位向量，向量。滿足：

(〃-e)(a-5e)=0,則,+1的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

【解析】可設(shè)e=(l,0)，a=(x,y)，則

(a-ej(a-5ej=(x-l,y)(x-5,y)=x2-6x+5+y2=0,即(X-3)2+丁=4,則

KW5,—2WyW2,|a+e|=7(x+l)2+y2=Av-4,當(dāng)％=5時(shí)，，8X一4取得最

大值為6,即@+4的最大值為6.故選：C

【答案】C

5.(2022?河北省衡水中學(xué)高三二模)(多選)己知％=(1,2),/J=(-4j),則()

A.若￡〃〃，則f=8B.若5_L〃，則￡=2

C.|日-石I的最小值為5D.若向量力與向量）的夾角為鈍角，

則f＜2

【解析】由d〃力，得1=-8,A不正確；

由G_Lb,得-4+2E=0,t=2,B正確；

.川=J（_5）2+（.2）2,當(dāng)，=2時(shí)，|d—切取得最小值5,C正確；

當(dāng)4?＜0時(shí)，即T+2rv0,得，＜2,當(dāng)。與B反向時(shí)，r=-8,故若向量d與向

量b的夾角為鈍角，則/＜—8,或一8＜，＜2,D不正確.故選：BC.

【答案】BC

6.（2022-甘肅省蘭州大學(xué)附屬中學(xué)高三第三次月考）在LABC中，若

OAOB=OBOC=OCOA,則下列說法正確的是（）

A.O是AABC的外心B.。是/.ABC的內(nèi)心

C.。是-A5C的重心.D.。是二A5C的垂心

【解析】VOAOB=OBOC,???O3（OA—OC）=0,AOBC4=0,

：.OB.LCA,同理由04?0萬=。?。乂，得到Q4J_3C,???點(diǎn)。是AABC的三條高的

交點(diǎn).故選：D

【答案】D

7.（2022?北京四中高三（下）階段性測試一）在A45C中，AB=AC=1,。是AC的中點(diǎn),

則切＞CO的取值范圍是（）

311313

A.B.（-00,-）C.D.

444444

【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算得到BDCD=[BC+CDjCD=BCCD+-.設(shè)

BC=x,NBCD=e,BCCD=-三C4se+L=^^XG（O,2），代入上式得到結(jié)果為

244''

---，一|.故答案為：Ao

I44J

【答案】A

8.（2022?重慶市第八中學(xué)高三第七次調(diào)研檢測）在，A3C中，角B,C的邊長分別為"c,

點(diǎn)。為的外心，若從+/=2"則5c-4。的取值范圍是（）

1

A.B.（0,2）c.—,4-00D.

4

【解析】取8C的中點(diǎn)O,則OD±BC,所以

BCAO=BC^AD+DO）=BCAD+BCDO=BCAD

=（AC-AB）-j（AC+AB）=^AC-AB

2

b2-b=b-\一：.因?yàn)椤?=給一從>o,則Z?S—2)vO，即

4

0v6v2.所以一故選：D.

4

【答案】D

9.(2022?湖南省長郡中學(xué)高三第四次月考)(多選)下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)=4cos21+巴］的一個(gè)對稱中心為(一2，0)

B.在△ABC中，AB=\,AC=3,。是8C的中點(diǎn)，則ADBC=4

C.在△ABC中，4<8是8$2480$28的充分不必要條件

D.定義min{a,。}=<：’"一：，已知〃x)=min{sinx,cosx}，則/(x)的最大值為

~T

【解析】A：2x^—+―=—?—,所以(―是7(x,|的一個(gè)對稱中心，正

確；

BAD=^AB+AC^.BC=AC-AB,則

AO?=g(A4+Ad)?(46—A期=g(A(^—AB?)=4,正確；

C：充分性：AvB,則。<匕，由正弦定理可知，sinA<sinB,又sinA,sinB>0有

siYAvsi/B,則l—2sin2AAl—si/B,即cos2A>cos2B,充分性成立，必要性：由

cos2A>cos2B.可知：sinA<sinB,則A<3,必要性成立，不正確；

D：y=sinx,y=COST是周期為2萬的函數(shù)，

.3乃_.7T_.

sinx,------+2k冗<x<-+2K7T

j=min{sinjr,cosx)=-44,左￡Z且周期為2萬的函數(shù),

cosX,—+2k7r<x<—+2k冗

44

10.（2022?吉林省吉林市模擬［已知直線］:%+y—2=0與圓0:/+）尸=］0相交于A,

8兩點(diǎn)，則4m0口的值為（）

A.-8B.16C.-16D.8

【解析】因?yàn)橹本€/:x+y—2=0與圓0:爐+丁=11相交于4，8兩點(diǎn),

x2+y2=ll

所以,解得：A（—l,3）,3（3,—l）.

x+y-2=0

所以ABOA=(4,Y)(—1,3)=T—12=—16.故選：C.

【答案】C

11.（2022?重慶模擬）（多選）已知°ABC中，A8=2,8C在43方向上的投影為3,0為

AC的中點(diǎn)，E為3。的中點(diǎn)，則下列式子有確定值的是（）

A.ABBDB.BDACC.CEABD.CEBD

【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，4萬的方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?c

在,8方向上的投影為3,

所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為（5,y）,

A（0,0）,B（2,0）,

因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，￡為3。的中點(diǎn)，

所以D信0,后化斗

（22）（44；

對于A,ABBD=（2,0）（-,^）=l,所以A正確，

22

1y5y2

對于B,8。乂。=（一,2）,[5,y）=一+乙，所以B錯(cuò)誤，

2222

對于C,CEAB=（-y）,（2?°）=-y*所以C正確,

對于D,CE8O=（-口,一3y＞（』,2）二-8一3歹，所以D錯(cuò)誤，故選：AC

442288

12.（2022?重慶市第一中學(xué)高三（上）期中）已知數(shù)列｛4｝（〃€N.）的首項(xiàng)為2,又

（2an-an+i）OA=OC-2OB（zieN*）,其中點(diǎn)O在直線/外，其余二點(diǎn)A,B,。均在/

上，那么數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為（）

A.32-+1B.2小+1C.3-2小-1D.3-2〃-1

【解析】（2%—an+｝）OA=OC-2OB（nGN*）?即（2an-ar+1）OA+2OB=OC,

三點(diǎn)A,B,C均在/上，故—q,+]+2=l,即+[=2a“+l.

即%+1=2（?！?1），設(shè)或=%+1，%|=22，4=3,

故數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，包=3x2"，即可=3?2”7-1.

【答案】C

13.（2022?湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三（上）月考）在平面四邊形A8CO中，已知qABC的

面積是AACD的面積的3倍.若存在正實(shí)數(shù)x,y使得Ad=（：-3）A8+11-（AD成立,

則13+上1的值為（）

xy

A.10B.9C.8D.7

【解析】如圖，連接30,設(shè)AC與8。交于點(diǎn)。，過點(diǎn)5作的_LAC于點(diǎn)E,過

點(diǎn)。作OF_LA。與點(diǎn)尸.

若△ACB的面積是&ADC的面積的3位，則3DF=BE\

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，300=08,

1—?3

所以3（D4+AO）=OA+AB,所以=-+

44

.；—32———(1、——(

設(shè)AC=/IAO=—AB+——A。.因?yàn)锳C二一一3AB+1

44U\

所以(1一,]=3(2一31，所以3+1=10.

IyjlxJXy

【答案】A

14.（2022?河北衡水中學(xué)高三（上）調(diào)研）已知向量d=（-2,l）,/?=（1,/）,則下列說法不

正確的是（）

~~1

A.若?！?,則f的值為--B.^\a+b\=\a-b\t則，的值為2

2

C.|￡+向的最小值為1D.若。與b的夾角為鈍角，則z的取值范圍

是，＜2

【解析】若石/方，則一2xr=lxlnf=—L,A說法正確；若|。+切=|。一力，兩

2

邊平方并化簡得ab=O,即-2+r=0=>r=2,B說法正確；C選項(xiàng)，

|〃+昨|（-1,1+以=Jl+lJ+l,當(dāng)，=一1時(shí)，有最小值為1,C說法正確；若￡與6的

-2+，<0t<2

ab<0

夾角為鈍角，則，=><1=><1，D說法錯(cuò)誤。

一2xf41x1t*一1*一

22

【答案】D

15.（2022?西南大學(xué)附屬中學(xué)校高三第六次月考）已知。，6為單位向量，a,b的夾角

為60。，向量c滿足〃,c=0,且c=%4+b,則實(shí)數(shù)2=.

【解析】'：a,b為單位向量，a,b的夾角為60。，向量c滿足。?0=（）,且c=%a+b,

一/,一\一2一.II

「?十b）=0,即之a(chǎn)+u-b=0,Z+lxlxcos60=0,即4=一5.故答案為：一5.

【答案】--##-0.5

2

16.（2022-天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（下）第三次檢測）如羽，在..ABC中，

NBAC=120,A8=2,AC=1,。是BC邊上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則AD-BC的取值范圍是

A

【解析】在^ABC中，N84C=120,AB=2,AC=1,所以

A5-AC-|AJ?|.|AC|COS120--1,因?yàn)橥逤,D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)2使得

AD=AAC+(\-A)AB,[0<A<\),所以

ADBC=[2AC+(1-2)AB]?BC=[2AC+(1-2)/lB](AC-AB)

=AAC2-(l-A)AB2+(-2+l-A)ABAC=7A-5,因?yàn)镺v之<1,所以

-5<72-5<2,所以的取值范圍是(一5,2).