2025年高考數(shù)學復習之小題狂練600題（多選題）：相等關系與不等關系（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學復習之小題狂練600題（多選題）：相等關系與不等關系（10題）一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?廣漢市校級模擬）設a，b，c，d為實數(shù)，且a＞b＞0＞c＞d，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)c＜bc B．a(chǎn)﹣b＜c﹣d C．a(chǎn)d＞bc D．c（多選）2．（2024?邵陽三模）若正數(shù)x，y滿足2x+y＝xy，則（）A．xy≤8 B．8x+y≥18 C．1x2+4（多選）3．已知a＞0，b＞0且a+b＝4，則a3+b3的取值可以為（）A．18 B．14 C．32 D．66（多選）4．（2024?天心區(qū)校級模擬）下列函數(shù)中最小值為2的是（）A．y＝x2+2x+3 B．y=|sinx|+1C．y＝2x+21﹣x D．y=lnx+（多選）5．（2024?蜀山區(qū)校級模擬）已知a，b為不相等的正實數(shù)，滿足a+1A．a(chǎn)+b＞2 B．1aC．ba+16b（多選）6．（2024?河池二模）若a＞0＞b＞c，則下列結論正確的是（）A．a(chǎn)c＞ab B．b2a＞C．a(chǎn)-ba-c＞bc（多選）7．（2024?遵義二模）已知實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，a＞0，則下列結論正確的是（）A．（ac）2＞（bc）2 B．2024a﹣c＞2024a﹣b C．2a+3a＞2b+2b D．若a+b＝2，則a2+b2的最小值為2（多選）8．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝1，下列不等式恒成立的是（）A．1a+1b≥2 B．a(chǎn)+b≥2 C．a(chǎn)3+b3≤（多選）9．（2024?昔陽縣校級模擬）下列結論中，錯誤的結論有（）A．y＝x（4﹣3x）取得最大值時x的值為1 B．若x＜﹣1，則x+1x+1的最大值為﹣C．函數(shù)f(x)=x2+5D．若a＞0，b＞0，且a+b＝2，那么1a+（多選）10．（2024?嶗山區(qū)校級二模）已知正實數(shù)a，b，c，且a＞b＞c，x，y，z為自然數(shù)，則滿足xa-b+yb-c+zc-a＞A．x＝1，y＝1，z＝4 B．x＝1，y＝2，z＝5 C．x＝2，y＝2，z＝7 D．x＝1，y＝3，z＝9

2025年高考數(shù)學復習之小題狂練600題（多選題）：相等關系與不等關系（10題）參考答案與試題解析一．多選題（共10小題）（多選）1．（2024?廣漢市校級模擬）設a，b，c，d為實數(shù)，且a＞b＞0＞c＞d，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)c＜bc B．a(chǎn)﹣b＜c﹣d C．a(chǎn)d＞bc D．c【考點】不等式比較大小．【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算．【答案】AD【分析】利用不等式的性質可判斷AD；舉反例可判斷BC．【解答】解：對于A，因為a＞b＞0＞c，所以ac＜bc，故A正確；對于B，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，所以a﹣b＝1＝c﹣d＝1，故B錯誤；對于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，所以ad＝﹣4＜bc＝﹣1，故C錯誤；對于D，因為a＞b＞0＞c＞d，所以1b可得-db＞-c故選：AD．【點評】本題主要考查了不等式的性質，屬于基礎題．（多選）2．（2024?邵陽三模）若正數(shù)x，y滿足2x+y＝xy，則（）A．xy≤8 B．8x+y≥18 C．1x2+4【考點】運用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式、基本不等式“1”的妙用逐項判斷即可．【解答】解：對于A，正數(shù)x，y滿足2x+y＝xy，則xy=2x+y≥22xy，當且僅當y＝2x解得，xy≥8，A錯誤；對于B，由2x+y＝xy，得1x則8x+y=(8x+y)(1當且僅當yx=16xy，即y＝4x，即y＝6，x對于C，由1x+2y=1因此1x2+對于D，由2x+y＝xy，得xy﹣2x﹣y+2＝2，即（x﹣1）（y﹣2）＝2，由1x+2y=1，得x＞1，y當且僅當3x-1=1y-2，即故選：BCD．【點評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題．（多選）3．已知a＞0，b＞0且a+b＝4，則a3+b3的取值可以為（）A．18 B．14 C．32 D．66【考點】運用基本不等式求最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算．【答案】AC【分析】先利用基本不等式求出ab的范圍，再結合立方和公式即可得解．【解答】解：因為a+b＝4，所以ab≤(a+b)24=4，當且僅當所以ab∈（0，4]，所以a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝4（a2+b2﹣ab），又因為（a+b）2＝16，即a2+b2＝16﹣2ab，則a3+b3＝4（16﹣3ab）∈[16，64）．故選：AC．【點評】本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于基礎題．（多選）4．（2024?天心區(qū)校級模擬）下列函數(shù)中最小值為2的是（）A．y＝x2+2x+3 B．y=|sinx|+1C．y＝2x+21﹣x D．y=lnx+【考點】基本不等式及其應用；函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應用；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】AB【分析】利用基本不等式逐個判斷各個選項即可．【解答】解：對于A，y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，所以y的最小值為2，故A正確，對于B，y=|sinx|+1|sinx|≥2，當且僅當|sinx|=1|sinx|，即sinx＝±1時，等號成立，所以y對于C，y＝2x+21﹣x≥22x?21-x=22，當且僅當2x＝21﹣x，即x=1對于D，當0＜x＜1時，lnx＜0，則y＝lnx+1lnx＜0，所以y的最小值不是2故選：AB．【點評】本題主要考查了基本不等式的應用，屬于基礎題．（多選）5．（2024?蜀山區(qū)校級模擬）已知a，b為不相等的正實數(shù)，滿足a+1A．a(chǎn)+b＞2 B．1aC．ba+16b【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；不等式的解法及應用；數(shù)學運算．【答案】ABD【分析】A選項，方程變形得到ab＝1，利用基本不等式求出答案；B選項，由ab＝1變形后，利用基本不等式求出最值；C選項，由由ab＝1變形得到ba+16b=b2ab+16b=b2+16b，構造f(x)=x【解答】解：由a+1a=b+1b故(a-因為a≠b，所以1-1ab=0，所以ab＝1，故由A選項可知，ab＝1，又a＞0，b＞0，故1a當且僅當a=2+1，b=2-1時或a=2-1由A選項可知，ab＝1，又a＞0，b＞0，故ba令f(x)=x2+令f′（x）＞0，解得x＞2，令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，可知f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，2），單調遞增區(qū)間為（2，+∞），故f（x）≥f（2）＝12，故ba+168a2+b2a2+1≥4等價于8a2+b2≥4a2+4，即因為ab＝1，又a＞0，b＞0，故4a2+b2≥4ab＝4，當且僅當2a＝b，即a=22，故選：ABD．【點評】本題主要考查了基本不等式及相關結論，函數(shù)的單調性在最值求解中的應用，屬于中檔題．（多選）6．（2024?河池二模）若a＞0＞b＞c，則下列結論正確的是（）A．a(chǎn)c＞ab B．b2a＞C．a(chǎn)-ba-c＞bc【考點】等式與不等式的性質；不等關系與不等式．【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，結合不等式的性質，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：∵a＞0＞b＞c，∴b﹣c＞0，bc＞0，∴ac-ab=a(b-c)不妨取a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，b2a＝（﹣2）2＝4，c2a＝（﹣3）2＝9，顯然4＜9，故B錯誤；∵a＞0＞b＞c，∴c﹣b＜0，a﹣c＞0，∴a-ba-c-bc=∵a＞0＞b＞c，∴a﹣c＞0，a﹣b＞0，b﹣c＞0，a-∴a-c≥故選：ACD．【點評】本題主要考查不等式的性質，以及特殊值法，屬于基礎題．（多選）7．（2024?遵義二模）已知實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，a＞0，則下列結論正確的是（）A．（ac）2＞（bc）2 B．2024a﹣c＞2024a﹣b C．2a+3a＞2b+2b D．若a+b＝2，則a2+b2的最小值為2【考點】基本不等式及其應用；等式與不等式的性質；不等關系與不等式．【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算．【答案】BC【分析】根據(jù)已知條件，結合不等式的性質，函數(shù)的性質，即可求解．【解答】解：對于A，當c＝0時，（ac）2＝（bc）2，故A錯誤；對于B，a＞b＞c，則a﹣c＞a﹣b，y＝2024x在R上單調遞增，故2024a﹣c＞2024a﹣b，故B正確；對于C，a＞b，則3a＞2a＞2b，2a＞2b，故2a+3a＞2b+2b，故C正確；對于D，a+b＝2，則a2+b2＝a2+（2﹣a）2＝2（a﹣1）2+2，a＞0，當a＝1時，a2+b2的最小值為2，但當a＝1時，b＝1，不符合題意，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查不等式的性質，屬于中檔題．（多選）8．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝1，下列不等式恒成立的是（）A．1a+1b≥2 B．a(chǎn)+b≥2 C．a(chǎn)3+b3≤【考點】基本不等式及其應用；不等關系與不等式．【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式轉化變形，然后對選項逐一判斷，即可證明．【解答】解：對于A，因為a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，所以1+ab≥2ab，所以ab≤1，又1a+1b≥2ab又ab≤1，所以2ab≥21=2對于B，因為a＞0，b＞0，所以ab≤由a2+b2﹣ab＝1，得（a+b）2﹣3ab＝1，則(a+b)2-1=3ab≤3(a+b)24所以（a+b）2≤4，即a+b≤2，故B錯誤；對于C，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），又a2+b2﹣ab＝1，即a3+b3＝a+b，由B選項可知，a+b≤2，所以a3+b3≤2，故C正確；對于D，由a2+b2﹣ab＝1，得(a-則1-34b2又b＞0，所以0＜b≤故選：ACD．【點評】本題考查了不等關系與不等式，基本不等式的應用，考查了轉化思想，屬中檔題．（多選）9．（2024?昔陽縣校級模擬）下列結論中，錯誤的結論有（）A．y＝x（4﹣3x）取得最大值時x的值為1 B．若x＜﹣1，則x+1x+1的最大值為﹣C．函數(shù)f(x)=x2+5D．若a＞0，b＞0，且a+b＝2，那么1a+【考點】運用基本不等式求最值．【專題】計算題；整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算．【答案】ABC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的最值以及基本不等式判斷各選項．【解答】解：對于A，y＝x（4﹣3x）的對稱軸為x=2所以y＝x（4﹣3x）取得最大值時x的值為23，故A對于B，令y=x+1若x＜﹣1，則﹣（x+1）＞0，所以-(x+1)-1x+1≥2所以(x+1)+1x+1≤-2即最大值為﹣3，故B錯誤；對于C，函數(shù)f(x)=x令t=x2+4≥2，當t+1t=2對于D，若a＞0，b＞0，且a+b＝2，1a當ba=2ab且a+b＝所以1a+2b的最小值為故選：ABC．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題．（多選）10．（2024?嶗山區(qū)校級二模）已知正實數(shù)a，b，c，且a＞b＞c，x，y，z為自然數(shù)，則滿足xa-b+yb-c+zc-a＞A．x＝1，y＝1，z＝4 B．x＝1，y＝2，z＝5 C．x＝2，y＝2，z＝7 D．x＝1，y＝3，z＝9【考點】基本不等式及其應用．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，不等式xa-b+yb-c+zc-a＞0等價于[（a﹣b）+（b﹣c）]（xa-b+yb-c）＞z，利用基本不等式求最值，算出不等式左邊的最小值是（x+y）2，因此滿足【解答】解：根據(jù)正實數(shù)a、b、c滿足a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，不等式xa-b+將a﹣c＝（a﹣b）+（b﹣c）代入，整理得[（a﹣b）+（b﹣c）]（xa-b+y因為[（a﹣b）+（b﹣c）]（xa-b+yb-c）＝x+y+x(b-c)a-b+y(a-b)b-c≥當且僅當x(b-c)a-b=y(a-b)若xa-b+yb-c+zc-a＞0恒成立，即對于A，x＝1，y＝1，z＝4時，（x+y）2＝4＝z，故對于B，x＝1，y＝2，z＝5時，（x+y）2＝3+22＞z＝對于C，x＝2，y＝2，z＝7時，（x+y）2＝8＞z＝7，故對于D，x＝1，y＝3，z＝9時，（x+y）2＝4+23＜z＝故選：BC．【點評】本題主要考查不等式的性質、利用基本不等式求最值等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．

考點卡片1．等式與不等式的性質【知識點的認識】1．不等式的基本性質（1）對于任意兩個實數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且2．不等關系與不等式【知識點的認識】不等關系就是不相等的關系，如2和3不相等，是相對于相等關系來說的，比如42與84就是相等關系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集為{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結的特點，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當ab＞0時，a＞b?1a證明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a?1ab＞b?若1a＜∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．3．不等式比較大小【知識點的認識】不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．【命題方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，則p=b2a+a2bA．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q=b2a+a2b-a﹣b=b∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，則p﹣q＝0，此時p＝q，若a≠b，則p﹣q＜0，此時p＜q，綜上p≤q，故選：B方法二：利用函數(shù)的單調性典例2：三個數(shù)(25)-1A．(65)-15＜(65)-解：由指數(shù)函數(shù)的單調性可知，(6由冪函數(shù)的單調性可知，(2則(2故(6故選：B．4．基本不等式及其應用【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者a+b實例解析例1：下列結論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負數(shù)，則2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當0＜x＜解：當x＝0時，y＝0，當x≠0時，y=x用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是這是基本不等式在函數(shù)中的應用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結果．【解題方法點撥】基本不等式的應用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y=x2+7x+10x+1=(x+1)當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（當且僅當技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結合函數(shù)f（x）＝x+a技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．5．運用基本不等式求最值【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者a+b【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2，并且在【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設計等．例如，求解一個代數(shù)式的最小值，或設計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b+1的最大值是解：因為正數(shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1+當且僅當a＝b=1故答案為：6．6．函數(shù)的最值【知識點的認識】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱坐標，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得．【解題方法點撥】①基本不等式法：如當x＞0時，求2x+8x的最小值，有2x+8x②轉化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導法：通過求導判斷函數(shù)的單調性進而求出極值，再結合端點的值最后進行比較．【命題方向】本知識點是常考點，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務必引起重視．本知識點未來將仍然以復合函數(shù)為基礎，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導法