2025屆浙江省高中發(fā)展共同體高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆浙江省高中發(fā)展共同體高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.3.的內(nèi)角的對邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.4.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過的直線與軸交于點(diǎn),線段與交于點(diǎn).若,則的方程為()A. B. C. D.5.設(shè)且,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.6.《九章算術(shù)》中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵中,,,當(dāng)陽馬體積的最大值為時(shí),塹堵的外接球的體積為()A. B. C. D.7.已知,,是平面內(nèi)三個(gè)單位向量,若,則的最小值()A. B. C. D.58.《周易》是我國古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個(gè)八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個(gè)爻組成,其中“”表示一個(gè)陽爻,“”表示一個(gè)陰爻).若從含有兩個(gè)及以上陽爻的卦中任取兩卦,這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽爻的概率為()A. B. C. D.9.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.10.已知集合,,,則()A. B. C. D.11.半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體,是由正方體切截而成的,它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形為面的半正多面體.如圖所示,圖中網(wǎng)格是邊長為1的正方形,粗線部分是某二十四等邊體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)z滿足(其中i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的虛部是()A. B.1 C. D.i二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示,在直角梯形中,,、分別是、上的點(diǎn),,且(如圖①).將四邊形沿折起,連接、、(如圖②).在折起的過程中,則下列表述:①平面;②四點(diǎn)、、、可能共面;③若,則平面平面;④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.14.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例:勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù),則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________.15.已知的終邊過點(diǎn),若,則__________.16.若,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別是,,離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、(不與點(diǎn)、重合),直線與直線相交于點(diǎn),求證:、、三點(diǎn)共線.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于,兩點(diǎn),求線段的長.19.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.20.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效,對全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測試,根據(jù)測試成績評(píng)定“合格”、“不合格”兩個(gè)等級(jí),同時(shí)對相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化:“合格”記分,“不合格”記分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績,統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624(Ⅰ)若測試的同學(xué)中,分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為,完成列聯(lián)表,并判斷:是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識(shí)有關(guān)?是否合格性別不合格合格總計(jì)男生女生總計(jì)(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中,共選取人進(jìn)行座談,現(xiàn)再從這人中任選人,記所選人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)(,其中表示的方差)來評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的成效,若,則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的;否則認(rèn)定教育活動(dòng)無效,應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?附表及公式:,其中.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值.22.(10分)已知直線過橢圓的右焦點(diǎn),且交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)是,(1)求橢圓的方程;(2)過原點(diǎn)的直線l與線段AB相交(不含端點(diǎn))且交橢圓于C,D兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】令,可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象(如圖所示).當(dāng)時(shí),.由得.設(shè)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn),則有,解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),有,解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛:已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解.2、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.3、C【解析】

由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.4、D【解析】

由題可得,所以,又,所以,得,故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得,所以,又,所以,得,,所以橢圓的方程為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.5、A【解析】項(xiàng),由得到,則,故項(xiàng)正確;項(xiàng),當(dāng)時(shí),該不等式不成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤;項(xiàng),當(dāng),時(shí),,即不等式不成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤;項(xiàng),當(dāng),時(shí),,即不等式不成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述,故選.6、B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進(jìn)而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點(diǎn)睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).7、A【解析】

由于,且為單位向量,所以可令,,再設(shè)出單位向量的坐標(biāo),再將坐標(biāo)代入中,利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】解:設(shè),,,則,從而,等號(hào)可取到.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題.8、B【解析】

基本事件總數(shù)為個(gè),都恰有兩個(gè)陽爻包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè),由此求出概率.【詳解】解:由圖可知,含有兩個(gè)及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦,取出兩卦的基本事件有(巽,離),(巽,兌),(巽,乾),(離,兌),(離,乾),(兌,乾)共個(gè),其中符合條件的基本事件有(巽,離),(巽,兌),(離,兌)共個(gè),所以,所求的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題滲透傳統(tǒng)文化,考查概率、計(jì)數(shù)原理等基本知識(shí),考查抽象概括能力和應(yīng)用意識(shí),屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=10、D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示,求出該幾何體的棱長,可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,可求出其體積.【詳解】如下圖所示,將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長為2的正方體中,由三視圖可知,該幾何體的棱長為,它是由棱長為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,該幾何體的體積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,幾何體的體積,對于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點(diǎn)得到,屬于中檔題.12、A【解析】

由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①③【解析】

連接、交于點(diǎn),取的中點(diǎn),證明四邊形為平行四邊形,可判斷命題①的正誤;利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤;連接,證明出,結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤;假設(shè)平面與平面垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①,連接、交于點(diǎn),取的中點(diǎn)、,連接、,如下圖所示:則且,四邊形是矩形,且,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),且,且,四邊形為平行四邊形,,即,平面,平面,平面,命題①正確;對于命題②,,平面,平面,平面,若四點(diǎn)、、、共面,則這四點(diǎn)可確定平面,則,平面平面,由線面平行的性質(zhì)定理可得,則,但四邊形為梯形且、為兩腰,與相交,矛盾.所以,命題②錯(cuò)誤;對于命題③,連接、,設(shè),則,在中,,,則為等腰直角三角形,且,,,且,由余弦定理得,,,又,,平面,平面,,,、為平面內(nèi)的兩條相交直線,所以,平面,平面,平面平面,命題③正確;對于命題④,假設(shè)平面與平面垂直,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,,,,,,又,平面,平面,.,平面,平面,.,,顯然與不垂直,命題④錯(cuò)誤.故答案為:①③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問題,涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷,考查推理能力,屬于中等題.14、【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法,其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種,所以,所求概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化,考查組合問題,數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).15、【解析】

】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值.【詳解】∵的終邊過點(diǎn),若,.即答案為-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式,屬基礎(chǔ)題.16、13【解析】

由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),,所以,,又,所以,即,由二項(xiàng)式定理:令得:,再由,求出,從而得到的值;【詳解】解:設(shè),,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案為:13【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理,屬于中檔題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】

(1)根據(jù)已知可得,結(jié)合離心率和關(guān)系,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)斜率不為零,設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,消去,得到縱坐標(biāo)關(guān)系,求出方程,令求出坐標(biāo),要證、、三點(diǎn)共線,只需證,將分子用縱坐標(biāo)表示,即可證明結(jié)論.【詳解】(1)由于,將代入橢圓方程,得,由題意知,即.又,所以,.所以橢圓的方程為.(2)解法一:依題意直線斜率不為0,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程,消去得,由題意,得恒成立,設(shè),,所以,直線的方程為.令,得.又因?yàn)椋?,則直線,的斜率分別為,,所以.上式中的分子,.所以,,三點(diǎn)共線.解法二:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由題意,得的方程為,代入橢圓的方程,得,,直線的方程為.則,,,所以,即,,三點(diǎn)共線.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為,,,聯(lián)立方程消去,得.由題意,得恒成立,故,.直線的方程為.令,得.又因?yàn)?,,則直線,的斜率分別為,,所以.上式中的分子所以.所以,,三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系,設(shè)而不求方法解決相交弦問題,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.18、【解析】

由,化簡得,由,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,整理得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,整理得,設(shè),則,根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】由,化簡得,又因?yàn)?,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,消去,整理得,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,消去,整理得,設(shè),則,所以,將,代入上式,整理得.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,結(jié)合弦長公式的運(yùn)用,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)【解析】

(1)利用余弦定理化簡已知條件,由此證得(2)利用正弦定理化簡(1)的結(jié)論,得到,利用三角形的面積公式列方程,由此求得,進(jìn)而求得的值,從而求得角.【詳解】(1)由已知得,由余弦定理得,∴.(2)由(1)及正弦定理得,即,∴,∴,∴.,∴,,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】

(I)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表,計(jì)算出的值,由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(II)利用超幾何分布的計(jì)算公式,計(jì)算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(III)由(II)中數(shù)據(jù),計(jì)算出,進(jìn)而求得的值,從而得出該校的安全教育活動(dòng)是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【詳解】解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知,得分在的頻率為,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為,.性別與合格情況的列聯(lián)表為:是否合格性別不合格合格小計(jì)男生女生小計(jì)即在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為,因此抽取的人中“不合格”有人,“合格”有人,所以可能的取值為,.的分布列為:20151050所以.(Ⅲ)由(Ⅱ)知:.故我們認(rèn)為該校的安全教育活動(dòng)是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn),考查超幾何分布的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算,所以中檔題.21、(1),(2)最大值,最小值

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