2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之雙曲線

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之雙曲線一．選擇題（共10小題）1．（2024?安徽二模）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則雙曲線離心率的最小值為A． B． C． D．2．（2024?昆明一模）雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．3．（2024?四川模擬）已知雙曲線的漸近線方程為，則A． B．1 C． D．34．（2024?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．若△為等邊三角形，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．5．（2024?浙江模擬）雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，直線過點(diǎn)且平行于的一條漸近線，交于點(diǎn)，若，則的離心率為A． B．2 C． D．36．（2024?江西一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)．若，且△的面積為8，則的方程為A． B． C． D．7．（2024?回憶版）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為A．4 B．3 C．2 D．8．（2024?漢中一模）已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則A． B．4 C． D．9．（2024?天津）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、．是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2，△是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A． B． C． D．10．（2024?阜陽模擬）已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?安徽模擬）已知雙曲線，過原點(diǎn)的直線，分別交雙曲線于，和，四點(diǎn)，，，四點(diǎn)逆時(shí)針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是A．四邊形一定是平行四邊形 B．四邊形可能為菱形 C．的中點(diǎn)可能為 D．的值可能為12．（2024?長沙模擬）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)，在直線上，且，線段，分別交于，兩點(diǎn)，過作的垂線，垂足為．設(shè)的面積為，的面積為，則A． B． C．恒為定值 D．的最小值為13．（2024?河北模擬）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線順次交兩條漸近線和的右支于、、，且，則下列結(jié)論正確的是A．離心率為 B． C． D．14．（2024?烏魯木齊模擬）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)作斜率為的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，且，則的可能取值是A． B． C． D．15．（2024?保定三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支相交于，兩點(diǎn)，若，且，則A． B． C．的離心率為 D．直線的斜率為三．填空題（共5小題）16．（2024?回憶版）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為．17．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是．18．（2024?吳忠模擬）若雙曲線的一條漸近線方程是，則的離心率為．19．（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，若，則．20．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，且，則的離心率是．四．解答題（共5小題）21．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點(diǎn)．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．22．（2024?江西模擬）已知雙曲線的離心率為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求的方程；（2）若直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求的值．23．（2024?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，、，為雙曲線上的點(diǎn)．（1）求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離；（2）若，求直線的方程；（3）若，其中、兩點(diǎn)均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．24．（2024?濮陽模擬）已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．（1）求的方程．（2）若過點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)（不同于雙曲線的頂點(diǎn)），問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．25．（2024?青島模擬）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，的離心率為2．點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于，兩點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，直線為△的等線．（1）求的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3）設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明：在點(diǎn)處的切線為△的等線．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之雙曲線參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?安徽二模）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)滿足，則雙曲線離心率的最小值為A． B． C． D．【考點(diǎn)】：雙曲線的性質(zhì)【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，求出數(shù)量積，再由橢圓可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的最小值．【解答】解：設(shè)，則，所以，由題意可得，，所以，，，所以，即，所以離心率，故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．2．（2024?昆明一模）雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】直接利用雙曲線方程求解漸近線方程即可．【解答】解：雙曲線的漸近線方程是：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題．3．（2024?四川模擬）已知雙曲線的漸近線方程為，則A． B．1 C． D．3【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)雙曲線方程確定漸近線方程為，結(jié)合已知條件得到方程，解出即可．【解答】解：該雙曲線的漸近線方程為且，則，可解得，滿足．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．若△為等邊三角形，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意，因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，所以，，因?yàn)椤鳌?，所以，，即，故點(diǎn)，因?yàn)?，則，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)的運(yùn)用，雙曲線離心率的求法，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2024?浙江模擬）雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，直線過點(diǎn)且平行于的一條漸近線，交于點(diǎn)，若，則的離心率為A． B．2 C． D．3【答案】【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】先求出直線的方程，聯(lián)立直線與曲線方程，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由題意得，，，直線的方程為，聯(lián)立與可得，，若，則，所以，所以，化簡得，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2024?江西一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)．若，且△的面積為8，則的方程為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，，由條件得，根據(jù)三角形中位線，可得，再結(jié)合，即可求解．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于的一條漸近線的對稱點(diǎn)為，令漸近線為．即，，則到的距離為，所以，又．所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椤鞯拿娣e為8，因?yàn)?，且，所以，所以，即，又，所以，，所以雙曲線方程為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024?回憶版）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為A．4 B．3 C．2 D．【答案】【考點(diǎn)】求雙曲線的離心率【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由已知結(jié)合雙曲線的定義及性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)椋?，點(diǎn)在該雙曲線上，所以，，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了雙曲線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?漢中一模）已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則A． B．4 C． D．【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】利用雙曲線的方程求解漸近線，求出的值．【解答】解：根據(jù)，得到，則焦點(diǎn)在軸，故漸近線為，則，故．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?天津）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、．是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2，△是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解【分析】設(shè)，，則，由△是面積為8的直角三角形，可得，，由直線的斜率為2，可得，即，從而求出，的值，進(jìn)而求出，的值，得到雙曲線的方程．【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖：設(shè)，，則，因?yàn)椤魇敲娣e為8的直角三角形，所以，，因?yàn)橹本€的斜率為2，所以，所以，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，即，所以，所以雙曲線的方程為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2024?阜陽模擬）已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】由雙曲線的焦距可得，求得雙曲線的方程和所求漸近線的斜率．【解答】解：因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以，解得，可得雙曲線的方程為，所以該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）11．（2024?安徽模擬）已知雙曲線，過原點(diǎn)的直線，分別交雙曲線于，和，四點(diǎn)，，，四點(diǎn)逆時(shí)針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是A．四邊形一定是平行四邊形 B．四邊形可能為菱形 C．的中點(diǎn)可能為 D．的值可能為【答案】【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】運(yùn)用雙曲線的方程和性質(zhì)，結(jié)合直線的斜率公式、點(diǎn)差法和對勾函數(shù)的性質(zhì)，對選項(xiàng)分析可得結(jié)論．【解答】解：由雙曲線的中心對稱性可知，，分別關(guān)于原點(diǎn)與，對稱，故，，所以四邊形一定是平行四邊形，而直線，斜率之積為，則與不垂直，所以四邊形不可能為菱形，正確，錯(cuò)；設(shè)，，，，則，，兩式作差得，將，代入，求得，故的方程為，將其與雙曲線聯(lián)立，解得，此時(shí)，故錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)位于第四象限，點(diǎn)位于第一象限，由直線的夾角公式和對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得的取值范圍為，當(dāng)點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)位于第二象限，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，由可得，又因?yàn)?，可得的取值范圍為，綜上的取值范圍為，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．（2024?長沙模擬）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)，在直線上，且，線段，分別交于，兩點(diǎn)，過作的垂線，垂足為．設(shè)的面積為，的面積為，則A． B． C．恒為定值 D．的最小值為【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】對，取的中點(diǎn)，則，以為底，高為，當(dāng)最小時(shí)最小，對，設(shè)，，求出，代入運(yùn)算可得；對，由相似三角形結(jié)合的結(jié)論可得；對，設(shè)，結(jié)合選項(xiàng)的結(jié)論分別將，，，用表示代入運(yùn)算可得．【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，對于，易得點(diǎn)到的距離為，，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，即，又，．故錯(cuò)誤；對于，設(shè)，，則，，又，，．故正確；對于，由題易得，則，．故正確；對于，設(shè)，，則，由選項(xiàng)，同理可得，設(shè)，，可得，，又，則，，解得，同理可得，，令，，則，，，令，則，則，易知在上單調(diào)遞增，所以．故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與雙曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．13．（2024?河北模擬）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線順次交兩條漸近線和的右支于、、，且，則下列結(jié)論正確的是A．離心率為 B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的其他性質(zhì)【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；方程思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】對于項(xiàng)，聯(lián)立直線方程與直線方程、直線方程可求得點(diǎn)、點(diǎn)坐標(biāo)，由，可知為中點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得的值，進(jìn)而可求得離心率，對于項(xiàng)，計(jì)算的值即可，對于項(xiàng)，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)縱坐標(biāo)可知、為線段的三等分點(diǎn)，結(jié)合三角形面積公式判斷即可，對于項(xiàng)，由求解即可．【解答】解：如圖所示，由題意知，，直線方程為，直線方程為，設(shè)直線方程為，，即，，即，對于項(xiàng)，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，所以，整理得，所以離心率，故項(xiàng)錯(cuò)誤；對于項(xiàng)，由項(xiàng)知，直線方程為，即，又因?yàn)椋?，所以，故?xiàng)正確；對于項(xiàng)，過作垂足為，過作垂足為，過作垂足為，如圖所示，由項(xiàng)知，，所以雙曲線方程為，，，聯(lián)立雙曲線的方程與直線方程，可得，，所以，，，所以，所以、為線段的三等分點(diǎn)，即，設(shè)到直線距離為，則，，所以，故項(xiàng)正確；對于項(xiàng)，如圖所示，由項(xiàng)知，，所以，故項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．14．（2024?烏魯木齊模擬）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)作斜率為的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，且，則的可能取值是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解【分析】由題意，設(shè)出直線的方程和，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出直線斜率的取值范圍，再對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可求解．【解答】解：不妨設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時(shí)△恒成立，由韋達(dá)定理得，，因?yàn)?，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，解得，又，則雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，，則，又，，解得，因?yàn)?，所以的取值范圍為，，，因?yàn)樵撾p曲線的漸近線方程為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；易知，，，，．所以，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?保定三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支相交于，兩點(diǎn)，若，且，則A． B． C．的離心率為 D．直線的斜率為【答案】【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)，，結(jié)合雙曲線的定義與勾股定理可以求得，的值，即可判斷出，選項(xiàng)；再結(jié)合勾股定理可以求得，的關(guān)系，再求出離心率即可判斷選項(xiàng)；求直線的斜率，在直角三角形中，用斜率的定義求正切值可以求得直線的斜率，即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：如圖，由，可設(shè)，，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，，解得，則，所以，故選項(xiàng)正確；，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；在△中，由，得，則，從而的離心率為，故選項(xiàng)正確；又，所以直線的斜率為，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?回憶版）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為．【答案】．【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】對應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解【分析】由題意求出，，利用雙曲線的定義求出和、，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意知，，，所以，解得；又時(shí)，，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的定義與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．17．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是．【答案】．【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)及勾股定理即可求解．【解答】解：設(shè)，，，，又，，又，，，，，，，又，，，，，，又，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題．18．（2024?吳忠模擬）若雙曲線的一條漸近線方程是，則的離心率為．【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征【專題】計(jì)算題【分析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得漸近線方程，根據(jù)其中一條的方程求得和的關(guān)系，進(jìn)而求得和的關(guān)系，則離心率可得．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為，一條漸近線的方程為，，設(shè)，則離心率故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線方程中的，和基本關(guān)系．19．（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，若，則4．【答案】4．【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；方程思想【分析】推得四邊形是平行四邊形，再由雙曲線的定義和平行四邊形的性質(zhì)，推得平行四邊形的鄰邊的長，由余弦定理和向量數(shù)量積的定義，可得所求值．【解答】解：雙曲線的，，，設(shè)在第一象限，在第四象限，設(shè)，，由題意可得，由，，可得四邊形是平行四邊形，則，由雙曲線的定義，可得，即，即有，，在△中，由余弦定理可得，即有，則．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)、余弦定理的運(yùn)用和向量數(shù)量積的定義，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，且，則的離心率是．【答案】．【考點(diǎn)】雙曲線的定義；雙曲線的離心率【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；對應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)題意得到是線段的垂直平分線，從而得到，再利用推得，結(jié)合雙曲線的定義得到關(guān)于，，的齊次方程，進(jìn)而得解．【解答】解：如圖，直線的斜率為．由，得點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，所以是線段的垂直平分線，所以，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由已知得，所以，所以，所以，即，所以，又，為的中點(diǎn)，所以，所以，由雙曲線的定義可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），又題中直線與的右支有交點(diǎn)，所以，即，所以，即，所以，即，所以的離心率為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線離心率相關(guān)計(jì)算知識(shí)，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點(diǎn)．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量【專題】數(shù)形結(jié)合；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；綜合法【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得的取值范圍；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，、，，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積．【解答】解：（1）在雙曲線中，，，則，該雙曲線的左焦點(diǎn)為，若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線交于左支上的兩點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，、，，聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點(diǎn)，所以，，解得，因此，直線的斜率的取值范圍是．（2）因?yàn)?，，由可得，則，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，則點(diǎn)、，，，此時(shí)，，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，由（1）可得，則或，由韋達(dá)定理可得，則，，即，解得，則，所以，．【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了直線與雙曲線的綜合，考查了方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．22．（2024?江西模擬）已知雙曲線的離心率為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求的方程；（2）若直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求的值．【答案】（1）；（2）或．【考點(diǎn)】由雙曲線的離心率求解方程或參數(shù)【專題】邏輯推理；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；對應(yīng)思想；綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息列出等式求出和的值，進(jìn)而可得的方程；（2）設(shè)出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，推出且，再根據(jù)韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形面積公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）記雙曲線的半焦距為，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，①不妨設(shè)的頂點(diǎn)為，漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，②又，③聯(lián)立①②③，解得，，，則的方程為；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時(shí)且△，解得解得且，由韋達(dá)定理得，，所以，又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，解得或，此時(shí)滿足且．故或．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．23．（2024?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，、，為雙曲線上的點(diǎn)．（1）求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離；（2）若，求直線的方程；（3）若，其中、兩點(diǎn)均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3），．【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解【分析】（1）由已知結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可直接求解；（2）先設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求；（3）由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，先設(shè)，，直線程為，直線方程，結(jié)合弦長公式求出，及平行線與之間的距離，進(jìn)而表示出四邊形的面積，再由函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：（1）由題，右焦點(diǎn)，漸近線方程為，因此焦點(diǎn)到漸近線的距離為；（2）顯然，直線不與軸重合，設(shè)直線方程為，由，得，聯(lián)立方程，得，其中，△恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直線的方程為；（3）延長交雙曲線于點(diǎn)，延長交雙曲線于點(diǎn)．則由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，由題，設(shè)，，直線程為，直線方程，由第（2）問，易得，因?yàn)?，得，即，因而，平行線與之間的距離為，因此，，令，則，故，得在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故（等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）所以，四邊形面積的取值范圍為，．【點(diǎn)評】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)及直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2024?濮陽模擬）已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．（1）求的方程．（2）若過點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)（不同于雙曲線的頂點(diǎn)），問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【考點(diǎn)】雙曲線的定點(diǎn)及定值問題【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息、離心率公式以及，，之間的關(guān)系，列出等式求出和的值，進(jìn)而可得的方程；（2）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，將和用坐標(biāo)表示出來，利用韋達(dá)定理將表述出來，再進(jìn)行化簡求解即可．【解答】解：（1）不妨設(shè)雙曲線的半焦距為，因?yàn)殡p曲線的離心率，且點(diǎn)在上，所以，解得，則的方程為；（2）為定值，理由如下：由（1）知，不妨設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時(shí)，因?yàn)?，所以，同理得，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，所以，兩點(diǎn)在軸同側(cè)，此時(shí)，即，解得，則．故，為定值．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．25．（2024?青島模擬）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，的離心率為2．點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于，兩點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，直線為△的等線．（1）求的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3）設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明：在點(diǎn)處的切線為△的等線．【答案】（1）；（2）12；（3）證明見解答．【考點(diǎn)】雙曲線相關(guān)動(dòng)點(diǎn)軌跡【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，由直線為△的等線及雙曲線的性質(zhì)可求出，的值，從而可得的方程；（2）切線，代入的方程，可得關(guān)于的方程，由△，可得關(guān)于的方程，表示出，進(jìn)一步可得的方程為，求出點(diǎn)，的橫縱坐標(biāo)，結(jié)合面積公式求解即可；（3）表示出切線的方程，易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記，，到的距離為，，，利用點(diǎn)到直線的距離公式推出，即可得證．【解答】解：（1）由題意知，，，顯然點(diǎn)在直線的上方，因?yàn)橹本€為△的等線，所以，，，解得，所以的方程為；（2）設(shè)，，切線，代入，得，所以△，該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，所以，即方程為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，也成立，漸近線方程為，不妨設(shè)在上方，聯(lián)立得，，故，所以是線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，到過的直線距離相等，則過點(diǎn)的等線必滿足：，到該等線距離相等且分居兩側(cè)，所以該等線必過點(diǎn)，即的方程為，由，解得：，所以，所以，所以，所以；（3）證明：設(shè)，由，所以，，故曲線的方程為，由知切線為，即，即，易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記，，到的距離為，，，由（2）知，，所以，由得，，因?yàn)?，所以直線為△的等線．【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．雙曲線的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線（Hyperbola）是指與平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值的點(diǎn)的軌跡，也可以定義為到定點(diǎn)與定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)的點(diǎn)之軌跡．雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線．雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)（focus），定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．標(biāo)準(zhǔn)方程①（a，b＞0），表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；②（a，b＞0），表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．性質(zhì)這里的性質(zhì)以（a，b＞0）為例講解：①焦點(diǎn)為（±c，0），其中c2＝a2+b2；②準(zhǔn)線方程為：x＝±；③離心率e＝＞1；④漸近線：y＝±x；⑤焦半徑公式：左焦半徑：r＝|ex+a|，右焦半徑：r＝|ex﹣a|．【解題方法點(diǎn)撥】例1：雙曲線﹣＝1的漸近線方程為解：由﹣＝0可得y＝±2x，即雙曲線﹣＝1的漸近線方程是y＝±2x．故答案為：y＝±2x．這個(gè)小題主要考察了對漸近線的理解，如果實(shí)在記不住，可以把那個(gè)等號后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個(gè)式子就是它的漸近線．例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x﹣2y＝0，且過點(diǎn)P（4，3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，設(shè)雙曲線方程為﹣y2＝λ（λ≠0），∵雙曲線過點(diǎn)P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求雙曲線方程為﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般來說，這是解答題的第一問，常常是根據(jù)一些性質(zhì)求出函數(shù)的表達(dá)式來，關(guān)鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點(diǎn)在x軸還是y軸，知道這些參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達(dá)式了．【命題方向】這里面的兩個(gè)例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個(gè)解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當(dāng)大的，在這里可以有所取舍，對于基礎(chǔ)一般的同學(xué)來說，盡量的把這些基礎(chǔ)的分拿到才是最重要的，對于還剩下的部分，盡量多寫．2．雙曲線的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實(shí)軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準(zhǔn)線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝03．雙曲線的離心率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)（﹣a，0