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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2024年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題:本題共4小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)y=3x+1x(x>0)的最小值是A.4 B.5 C.32 2.已知點(diǎn)P(2,22)是拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d,M是x軸上一點(diǎn),則“點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)Sn為是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且A.a1>0 B.q>0 C.|S4.如圖,已知直線y=kx+m與函數(shù)y=f(x),x∈(a,b)的圖像相切于兩點(diǎn),則函數(shù)y=f(x)?kx有(
)A.2個極大值點(diǎn),1個極小值點(diǎn)
B.3個極大值點(diǎn),2個極小值點(diǎn)
C.2個極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn)
D.3個極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn)二、填空題:本題共12小題,共54分。5.不等式|x?2|>1的解集為______.6.已知向量a=(?1,1),b=(3,4),則<a,7.已知復(fù)數(shù)z=5i1?i,則Imz=______.8.(x9.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,1),若P(ξ<a?3)=P(ξ>1?2a),則實(shí)數(shù)a=______.10.橢圓x2a2+y2=1(a>1)的離心率為11.已知直線l1的傾斜角比直線l2:y=xtan80°的傾斜角小20°,則l112.已知f(x)=lgx?1,g(x)=lgx?3,若|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|,則滿足條件的x的取值范圍是______.13.對于函數(shù)y=f(x),其中f(x)=(x?1)3,0≤x<2,2x,x≥2,若關(guān)于x14.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)字,設(shè)“取到的2個數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件A,“取到的2個數(shù)字均為奇數(shù)”為事件B,則P(B|A)=______.15.如圖,某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐,杯深8cm,上口寬6cm,若以30cm3/s的勻速往杯中注水,當(dāng)水深為4cm時,酒杯中水升高的瞬時變化率v=______cm/s16.如圖,在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P、Q、R在棱AB、BC、BB1上,且PB=12,QB=13,RB=14,以三、解答題:本題共5小題,共78分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)
對于函數(shù)y=f(x),其中f(x)=2sinxcosx+23cos2x?3,x∈R.
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)在銳角三角形ABC中,若18.(本小題14分)
如圖,三棱柱ABC?A1B1C1是所有棱長均為2的直三棱柱,D、E分別為棱AB和棱AA1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:面B1CD⊥面AB19.(本小題14分)
垃圾分類能減少有害垃圾對環(huán)境的破壞,同時能提高資源循環(huán)利用的效率.目前上海社區(qū)的垃圾分類基本采用四類分類法,即干垃圾,濕垃圾,可回收垃圾與有害垃圾.某校為調(diào)查學(xué)生對垃圾分類的了解程度,隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本,按照了解程度分為A等級和B等級,得到如下列聯(lián)表:男生女生總計(jì)A等級402060B等級202040總計(jì)6040100(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答:學(xué)生對垃圾分類的了解程度是否與性別有關(guān)(規(guī)定:顯著性水平α=0.05)?
附:χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d,P(χ2≥3.841)≈0.05.
(2)為進(jìn)一步加強(qiáng)垃圾分類的宣傳力度,學(xué)校特舉辦垃圾分類知識問答比賽.每局比賽由二人參加,主持人A和B輪流提問,先贏3局者獲得獎項(xiàng)并結(jié)束比賽.甲,乙兩人參加比賽,已知主持人A提問甲贏的概率為23,主持人B提問甲贏的概率為12,每局比賽互相獨(dú)立,且每局都分輸贏.現(xiàn)抽簽決定第一局由主持人A提問.
(i)求比賽只進(jìn)行320.(本小題18分)
已知雙曲線Γ:x24?y25=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn).
(1)求F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)和雙曲線Γ的漸近線方程;
(2)如圖,P是雙曲線Γ右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn),圓C是△PF1F2的內(nèi)切圓,設(shè)圓與PF1,PF2,F(xiàn)1F2分別切于點(diǎn)D,E,F(xiàn),當(dāng)圓C的面積為21.(本小題18分)
若無窮數(shù)列{an}滿足:存在正整數(shù)T,使得an+T=an對一切正整數(shù)n成立,則稱{an}是周期為T的周期數(shù)列.
(1)若an=sin(πnm+π3)(其中正整數(shù)m為常數(shù),n∈N,n≥1),判斷數(shù)列{an}參考答案1.D
2.A
3.C
4.B
5.(?∞,1)∪(3,+∞)
6.arccos7.52
8.160
9.?6
10.2
11.312.(0,10]∪[1000,+∞)
13.(0,114.3415.403π16.18117.解:(1)f(x)=2sinxcosx+23cos2x?3=2sinxcosx+3(2cos2x?1)
=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3),
由2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ?5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ?5π1218.解:(Ⅰ)證明:因?yàn)镈為棱AB中點(diǎn),△ABC為正三角形,
所以AB⊥CD;
又因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1是直三棱柱,
所以AA1⊥面ABC,所以AA1⊥CD,
因?yàn)锳B∩AA1=A,
所以CD⊥面ABB1A1,
因?yàn)镃D?面B1CD,
所以面B1CD⊥面ABB1A1;
(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)得CD⊥面ABB1A1,所以CD⊥B1D,CD⊥ED,
所以∠B1DE是二面角B1?CD?E的平面角,
因?yàn)椤鰽BC中,DE=2,B1D=B1E=5,
所以cos∠B1DE=52+19.解:(1)提出原假設(shè)H0:學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān),
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得χ2=100×(40×20?20×20)260×40×60×40=259,
由P(χ2?3.841)≈0.05,且259<3.841,
所以接受原假設(shè),學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān).
(2)(i)比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束,甲贏得比賽的概率為p1=23×12×23=29
比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束,乙贏得比賽的概率為p2=(1?23)×(1?12)×(1?23)=118,
故比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率為p1+p2=29+118=518;
(ii)X的可能取值為0,1,X0123P151337故數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×11820.解:(1)因?yàn)殡p曲線Γ:x24?y25=1,
所以a2=4,b2=5,
所以c2=a2+b2=9,即c=3,
即F1(?3,0),F(xiàn)2(3,0),
所以雙曲線Γ的漸近線方程是y=±52x.
(2)由題意可知|PD|=|PE|,|F1D|=|F1F|,|F2F|=|F2E|,
所以|PF1|?|PF2|=(|PD|+|DF1|?(|PE|+|EF2|)=|DF1|?|EF2|=|FF1|?|FF2|=2a=4,
∴F(2,0),即F是橢圓右頂點(diǎn),
設(shè)圓C的半徑為r(r>0),
因?yàn)閳AC的面積為4π,則πr2=4π,即r=2,
∵CF⊥F1F2,
∴設(shè)直線PF2的斜率為k,則直線PF2的方程為y=k(x?3),即kx?y?3k=0,
由圓心C到直線PF2的距離等于圓的半徑,可得|2k?2?3k|k2+1=2,
解得直線PF2的斜率為k=43.
(3)假設(shè)存在過點(diǎn)F2的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),且使得∠F1AB=∠F1BA,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)為M(21.解:(1)因?yàn)閍n+2m=sin(πm(n+2m)+π3)=sin(πnm+π3+2π)=sin(πnm+π3)=an,
所以{an}是為周期為2m的周期數(shù)列.
(2)①當(dāng)a1=a2時,sina1=0,a1=kπ(k∈Z),
所以當(dāng)a1=kπ(k∈Z)時,{an}是周期為1的周期數(shù)列;
②當(dāng)a1≠kπ(k∈Z)時,記f(x)=x+sinx,則an+1=f(an),
f′(x)=1+cosx≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k1+1)π(k1∈Z)時等號成立.
即f
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