2025屆陜西省西安市高新第一中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆陜西省西安市高新第一中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．2．已知的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式是（）A． B．C． D．3．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．4．棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，過(guò)正方體中兩條異面直線，的中點(diǎn)作直線，則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．15．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．6．若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，均存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長(zhǎng)分別是5，12，13，當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8，則球的體積為()A．1605π3 B．6428．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．9．在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．2 C．3 D．11．已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a等于()A． B． C．- D．-12．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直角坐標(biāo)系中起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量滿足，且，，，存在，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14．已知函數(shù)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),且,當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.15．已知向量，滿足，，且已知向量，的夾角為，，則的最小值是__．16．的展開(kāi)式中，x5的系數(shù)是_________．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求最大時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上，右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，設(shè)，連接交橢圓于另一點(diǎn)．求證：直線過(guò)定點(diǎn)并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍．19．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅(jiān)持開(kāi)展愛(ài)國(guó)衛(wèi)生運(yùn)動(dòng)，從人居環(huán)境改善、飲食習(xí)慣、社會(huì)心理健康、公共衛(wèi)生設(shè)施等多個(gè)方面開(kāi)展，特別是要堅(jiān)決杜絕食用野生動(dòng)物的陋習(xí)，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，隨機(jī)收集了該區(qū)居民六類日常生活習(xí)慣的有關(guān)數(shù)據(jù).六類習(xí)慣是：（1）衛(wèi)生習(xí)慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)整理，得到下表：衛(wèi)生習(xí)慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況類膳食合理狀況類作息規(guī)律狀況類有效答卷份數(shù)380550330410400430習(xí)慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6假設(shè)每份調(diào)查問(wèn)卷只調(diào)查上述六類狀況之一，各類調(diào)查是否達(dá)到良好標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機(jī)選取1份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者的概率；（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計(jì)他在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣的概率；（3）利用上述六類習(xí)慣調(diào)查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習(xí)慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習(xí)慣良好者（）.寫(xiě)出方差，，，，，的大小關(guān)系.21．（12分）如圖，已知在三棱臺(tái)中，，，.（1）求證：；（2）過(guò)的平面分別交，于點(diǎn)，，且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長(zhǎng).提示：臺(tái)體的體積公式（，分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，為棱臺(tái)的高）.22．（10分）已知函數(shù)，,使得對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)根，且，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因?yàn)?所以,所以.所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，結(jié)合的取值范圍求出的值，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得，得，，，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.3、A【解析】

先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】，，，因此，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

連結(jié)并延長(zhǎng)PO，交對(duì)棱C1D1于R，則R為對(duì)棱的中點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)H，則OH⊥MN，推導(dǎo)出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)．【詳解】如圖，MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長(zhǎng)PO，交對(duì)棱C1D1于R，則R為對(duì)棱的中點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)H，則OH⊥MN，∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，∴MH＝＝＝，∴MN＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長(zhǎng)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．5、A【解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功6、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)椋?，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，均存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當(dāng)、時(shí)，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題的求解，屬于中檔題.7、A【解析】

設(shè)球心為O，三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1，該圓與邊B【詳解】如圖，設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O，則由球的幾何知識(shí)得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A．【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：（1）構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這是解決與球有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用的方法．（2）若直角三角形的兩直角邊為a,b，斜邊為c，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c8、D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

連接，，因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，在等腰中，取的中點(diǎn)為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計(jì)算能力.10、A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和．【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，.又當(dāng)時(shí)，，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．11、A【解析】分析：計(jì)算，由z1，是實(shí)數(shù)得，從而得解.詳解：復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實(shí)數(shù)，所以，即.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可設(shè)，，，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及恒成立思想可設(shè)，的最小值即為點(diǎn)，到直線的距離，求得，可得不大于．【詳解】解：，且，可設(shè)，，，，可得，可得的終點(diǎn)均在直線上，由于為任意實(shí)數(shù)，可得時(shí)，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，可得，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式，可得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的求法，以及兩點(diǎn)的距離的運(yùn)用，考查直線方程的運(yùn)用，以及點(diǎn)到直線的距離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

由題意可知：為上的單調(diào)函數(shù)，則為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為上的增函數(shù)，則在，單調(diào)遞增，求導(dǎo)，則恒成立，則，根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍．【詳解】若方程無(wú)解，則或恒成立，所以為上的單調(diào)函數(shù)，都有，則為定值，設(shè)，則，易知為上的增函數(shù)，，，又與的單調(diào)性相同，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，，恒成立，當(dāng)，時(shí)，，，，，，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，輔助角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15、【解析】

求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點(diǎn)O的最小距離，由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示，設(shè)，由題，得，又，所以，則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，取AB的中點(diǎn)為M，則，設(shè)以AB為直徑的圓與線段OM的交點(diǎn)為E，則的最小值是，因?yàn)?，又，所以的最小值?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到圓的相關(guān)知識(shí)與余弦定理，考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.16、-189【解析】由二項(xiàng)式定理得，令r=5得x5的系數(shù)是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結(jié)論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點(diǎn)，最大值為圓的直徑，直線過(guò)圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因?yàn)?，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為，即.（2）因?yàn)橹本€（t為參數(shù)）表示的是過(guò)點(diǎn)的直線，曲線C的普通方程為，所以當(dāng)最大時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系，考查化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析，；（3）.【解析】

(1)根據(jù)題意列出關(guān)于的等式求解即可.(2)先根據(jù)對(duì)稱性,直線過(guò)的定點(diǎn)一定在軸上,再設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,進(jìn)而求得的方程,并代入,化簡(jiǎn)分析即可.(3)先分析過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)的值,再分析存在時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得出韋達(dá)定理再代入求解出關(guān)于的解析式,再求解范圍即可.【詳解】解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦距為,由題意得,由,可得則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；證明：根據(jù)對(duì)稱性,直線過(guò)的定點(diǎn)一定在軸上,由題意可知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得到,設(shè)點(diǎn),則．所以,所以的方程為,令得,將,代入上式并整理,,整理得,所以,直線與軸相交于定點(diǎn)．當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí),直線的方程為,此時(shí),當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,且在橢圓上,聯(lián)立方程組,消去,整理得,則．所以所以,所以,由得,綜上可得,的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本量求解以及定值和范圍的問(wèn)題,需要分析直線的斜率是否存在的情況,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及所求的解析式,結(jié)合參數(shù)的范圍進(jìn)行求解.屬于難題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標(biāo)系，通過(guò)求向量與向量的夾角，轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大??；（2）先求出面的一個(gè)法向量，再用點(diǎn)到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建系，設(shè)所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因?yàn)椋?，設(shè)是面的一個(gè)法向量，所以有即，令，，故，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點(diǎn)到面的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．20、（1）（2）（3）【解析】

（1）設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者“的事件為，根據(jù)古典概型求出即可；（2）設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，設(shè)事件為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣“，則（E），求出即可；（3）根據(jù)題意，寫(xiě)出即可．【詳解】（1）設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者“的事件為，有效問(wèn)卷共有（份，其中受訪者中膳食合理習(xí)慣良好的人數(shù)是人，故（A）；（2）設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，根據(jù)題意，可知（A），（B），（C），設(shè)事件為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣“則.所以該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣至少具備2個(gè)良好習(xí)慣的概率為0.766.（3）．【點(diǎn)睛】本題考