山東專(zhuān)用2024新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)板塊1命題區(qū)間精講精講9空間幾何體的表面積與體積學(xué)案含解析

PAGE1-空間幾何體的表面積與體積命題點(diǎn)1空間幾何體的直觀圖和截面圖1．斜二測(cè)畫(huà)法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，,圖形變更))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不變更，,相對(duì)位置不變更))2．常見(jiàn)三類(lèi)空間幾何體的截面圖軸截面、橫截面與斜截面：利用截面圖可將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決，確定截面的形態(tài)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．[高考題型全通關(guān)]1．[教材改編]水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個(gè)()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形A[AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2，在Rt△AOB中，AB＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，同理AC＝2，所以△ABC是等邊三角形．]2．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過(guò)直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為()A．eq\r(2)B．eq\f(9,8)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(6),2)B[取C1D1，B1C1的中點(diǎn)分別為P，Q，連接PQ，PD，NP，QB，B1D1.易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，所以四邊形ANPD為平行四邊形，則AN∥DP.又BD和DP為平面BDPQ的兩條相交直線，所以平面BDPQ∥平面AMN，即平面α為平面BDPQ.由PQ∥DB，PQ＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)，得四邊形BDPQ為梯形，其高h(yuǎn)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),4).所以平面α截該正方體所得截面的面積為eq\f(1,2)(PQ＋BD)·h＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(\r(2),2)))×eq\f(3\r(2),4)＝eq\f(9,8).故選B．]3．已知表面積為12π的圓柱的上下底面的中心分別為O1，O2.若過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是正方形，則O1O2＝()A．2eq\r(3)B．2eq\r(2)C．eq\r(3)D．eq\r(2)B[因?yàn)閳A柱的軸截面是正方形，設(shè)底面半徑為r，則母線長(zhǎng)為2r，所以圓柱的表面積為2πr2＋2πr·2r＝12π，解得r＝eq\r(2)，所以O(shè)1O2＝2r＝2eq\r(2)，故選B．]4．[多選]如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則()A．直線D1D與直線AF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為eq\f(9,8)D．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等BC[假設(shè)D1D⊥AF，因?yàn)镈D1⊥AE，所以D1D⊥平面AEF，又D1D⊥平面ABCD，所以平面AEF∥平面ABCD，明顯不正確，故選項(xiàng)A不正確；連接AD1，D1F(圖略)，因?yàn)镋F∥AD1，所以平面AEF即平面AEFD1，因?yàn)锳1G∥D1F，所以A1G∥平面AEFD1，所以選項(xiàng)B正確；平面AEF截正方體的截面為梯形AEFD1，EF＝eq\f(\r(2),2)，AD1＝eq\r(2)，梯形的高為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),4)，所以其面積為eq\f(\r(2)＋\f(\r(2),2),2)×eq\f(3\r(2),4)＝eq\f(9,8)，故選項(xiàng)C正確；連接CG交EF于點(diǎn)H(圖略)，明顯H不是EF的中點(diǎn)，所以C，G到平面AEF的距離不相等，選項(xiàng)D不正確．]5．(2024·四川五校聯(lián)考)在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，過(guò)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．6eq\r(13)＋3eq\r(2)[如圖，延長(zhǎng)EF和A1B1相交于M，連接AM交BB1于H，延長(zhǎng)FE和A1D1相交于N，連接AN交DD1于G，連接FH，EG，可得截面五邊形AHFEG.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為6的正方體，且E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，所以EF＝3eq\r(2)，AG＝AH＝2eq\r(13)，EG＝FH＝eq\r(13)，截面的周長(zhǎng)為AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝6eq\r(13)＋3eq\r(2).]6．已知球O是正三棱錐A-BCD的外接球，BC＝3，AB＝2eq\r(3)，點(diǎn)E在線段BD上，且BD＝3BE，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面中面積最小的截面圓的面積是________．2π[如圖，設(shè)△BCD的中心為點(diǎn)O1，球O的半徑為R，則A，O，O1三點(diǎn)共線．連接O1D，O1E，OD，OE，則O1D＝eq\r(3)，AO1＝eq\r(AD2－O1D2)＝3.在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，即R＝2，所以O(shè)O1＝1.在△O1DE中，DE＝eq\f(2,3)BD＝2，∠O1DE＝30°，所以由余弦定理得O1E＝eq\r(3＋4－2×\r(3)×2×cos30°)＝1.所以O(shè)E＝eq\r(2).過(guò)點(diǎn)E作圓O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面圓的半徑為eq\r(22－\r(2)2)＝eq\r(2)，所以截面圓的面積為2π.]命題點(diǎn)2空間幾何體的表面積、體積1．求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問(wèn)題的思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要?jiǎng)由睃c(diǎn)．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差求得所給幾何體的表面積．2．求空間幾何體體積的常用方法公式法干脆依據(jù)常見(jiàn)柱、錐、臺(tái)等規(guī)則幾何體的體積公式計(jì)算等積法依據(jù)體積計(jì)算公式，通過(guò)轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更簡(jiǎn)單，或是求出一些體積比等割補(bǔ)法把不能干脆計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體[高考題型全通關(guān)]1．已知圓錐的高為3，底面半徑長(zhǎng)為4.若一球的表面積與此圓錐的側(cè)面積相等，則該球的半徑長(zhǎng)為()A．5B．eq\r(5)C．9D．3B[∵圓錐的底面半徑R＝4，高h(yuǎn)＝3，∴圓錐的母線l＝5，∴圓錐的側(cè)面積S＝πRl＝20π.設(shè)球的半徑為r，則4πr2＝20π，∴r＝eq\r(5).故選B．]2．我國(guó)古代《九章算術(shù)》里，記載了一個(gè)“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈．問(wèn)積幾何？其意思是：今有上下底面皆為長(zhǎng)方形的草垛(如圖所示)，下底寬2丈，長(zhǎng)3丈，上底寬3丈，長(zhǎng)4丈，高3丈．問(wèn)它的體積是多少？該書(shū)供應(yīng)的算法是：上底長(zhǎng)的2倍與下底長(zhǎng)的和與上底寬相乘，同樣下底長(zhǎng)的2倍與上底長(zhǎng)的和與下底寬相乘，將兩次運(yùn)算結(jié)果相加，再乘以高，最終除以6.則這個(gè)問(wèn)題中的芻童的體積為()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈B[由題意知，芻童的體積為[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故選B．]3．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1上靠近C1的三等分點(diǎn)，且三棱錐A1-AEF的體積為2，則四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為()A．12B．8C．20D．18A[設(shè)點(diǎn)F到平面ABB1A1的距離為h，由題意得Veq\s\do6(A1-AEF)＝Veq\s\do6(F-A1AE).又Veq\s\do6(F-A1AE)＝eq\f(1,3)Seq\s\do6(△A1AE)·h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AA1·AB))·h＝eq\f(1,6)(AA1·AB)·h＝eq\f(1,6)S四邊形ABB1A1·h＝eq\f(1,6)Veq\s\do6(ABCD-A1B1C1D1)，所以Veq\s\do6(ABCD-A1B1C1D1)＝6Veq\s\do6(A1-AEF)＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為12.故選A．]4．已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，斜邊AB＝2，點(diǎn)D是斜邊AB上一點(diǎn)(不同于點(diǎn)A，B)．沿線段CD折起形成一個(gè)三棱錐A-CDB，則三棱錐A-CDB體積的最大值是()A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)D[設(shè)AD＝x，將△ACD折起使得平面ACD⊥平面BCD．在△ACD中，由面積公式得eq\f(1,2)CD·h1＝eq\f(1,2)AD·1(h1為點(diǎn)A到CD的距離)，則h1＝eq\f(x,\r(1＋x－12)).由題易知h1為點(diǎn)A到平面BCD的距離，故三棱錐A-CDB體積為V＝eq\f(1,3)S△BCD·h1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BD·1))·h1＝eq\f(1,6)·eq\f(2x－x2,\r(x2－2x＋2))，x∈(0，2)．令t＝eq\r(x2－2x＋2)，則t∈[1，eq\r(2))，故V＝eq\f(1,6)·eq\f(2－t2,t)＝eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,t)－t)).由于eq\f(2,t)－t是減函數(shù)，故當(dāng)t＝1時(shí)，V取得最大值為eq\f(1,6)×(2－1)＝eq\f(1,6).故選D．]5．2024年山東省某鎮(zhèn)重點(diǎn)打造運(yùn)動(dòng)休閑小鎮(zhèn)品牌，修建了運(yùn)動(dòng)休閑廣場(chǎng)，廣場(chǎng)內(nèi)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳可看成是由一個(gè)正方體截去8個(gè)相同的四面體得到的，如圖．若被截正方體的棱長(zhǎng)是50cm，則石凳的表面積為()A．2500(3＋eq\r(3))cm2 B．17500cm2C．7500eq\r(3)cm2 D．5000(3＋eq\r(3))cm2A[由題意知石凳的表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正三角形構(gòu)成，每個(gè)正方形的面積為(25eq\r(2))2cm2，每個(gè)正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)×(25eq\r(2))2cm2，所以石凳的表面積為6×(25eq\r(2))2＋8×eq\f(\r(3),4)×(25eq\r(2))2＝2500(3＋eq\r(3))cm2.]6．(2024·江蘇高考)如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.12eq\r(3)－eq\f(π,2)[正六棱柱的體積為6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)(cm3)，圓柱的體積為π×0.52×2＝eq\f(π,2)(cm3)，則該六角螺帽毛坯的體積為(12eq\r(3)－eq\f(π,2))cm3.]7．(2024·浙江高考)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)