2019-2020年高中數(shù)學-8.1橢圓及其標準方程(第一課時)大綱人教版必修

2019-2020年高中數(shù)學8.1橢圓及其標準方程(第一課時)大綱人教版必修●課時安排3課時●從容說課圓錐曲線是平面解析幾何的主要研究對象，圓錐曲線的有關(guān)知識不僅在生產(chǎn)、日常生活中，而且在科學技術(shù)中也有著廣泛的應用，尤其是今后進一步學習數(shù)學的基礎(chǔ)，橢圓、雙曲線、拋物線都是平面內(nèi)符合某種條件的點的軌跡，在第七章中，學生己學過求簡單曲線方程和利用方程研究曲線幾何性質(zhì)的初步知識，因而，在本章中，可以把橢圓、雙曲線、拋物線合起來作為一個整體，先討論它們的定義，再求它們的方程，最后研究它們的幾何性質(zhì)及應用，但這樣做教學難度較大，所以教材對每種曲線按定義、方程、幾何性質(zhì)幾項來討論，以橢圓為學習圓橢曲線的重點，并以之來介紹求圓錐曲線方程和利用方程來研究幾何性質(zhì)的一般方法.由此可見本節(jié)內(nèi)容所處地位之重要.通過本節(jié)內(nèi)容的學習，學生一方面認識了橢圓與圓的區(qū)別與聯(lián)系，另一方面也為利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)以及為學生類比橢圓的研究過程和方法，為以后學習雙曲線、拋物線奠定了基礎(chǔ).●課題§8.1.1橢圓及其標準方程（一）●教學目標（一）教學知識點1.圓錐曲線的概念.2.橢圓的定義、焦點、焦距.3.橢圓的標準方程.（二）能力訓練要求1.使學生明確圓錐曲線的概念.2.使學生理解并掌握橢圓的定義、焦距.3.使學生掌握橢圓的標準方程及其推導方法.（三）德育滲透目標1.使學生認識并理解世間一切事物的運動都是有規(guī)律的.2.培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋求規(guī)律、認識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力.3.使學生通過運動規(guī)律，認清事物運動的本質(zhì).●教學重點橢圓的定義及其標準方程.●教學難點橢圓標準方程的推導——比較復雜的根式的化簡.●教學方法講授法本節(jié)課是圓錐曲線部分的起始課，涉及到的概念都是全新的，因此要通過媒體直觀的演示，使學生明確并理解概念；在橢圓標準方程的推導過程中，遇到了比較復雜的根式化簡問題，由于這部分內(nèi)容初中沒有詳細介紹過，不能完全滿足本章學習的需要，因此要通過講授與學生的認真練習，進而達到突破難點之目的●教具準備多媒體課件兩個：（一）P90章頭圖，先作兩個圓錐（頂對頂，上面的圓錐是倒立的，且上面圓錐的母線是下面圓錐母線的延長線），然后用與圓錐軸線成不同角的平面截圓錐，得到橢圓、雙曲線、拋物線等，給學生一個直觀的印象，使學生對圓錐曲線有一個初步的感性認識.（二）傾斜著圓錐形水杯的水面的邊界線；汽車的罐截面輪廊線；發(fā)電廠通風塔的外形線；攔洪堤的曲線；探照燈反光鏡的軸截面的曲線.同桌的兩位同學準備無彈性的細繩一條（約10cm長，兩端各結(jié)一個套），圖釘兩個；教師準備無彈性細繩一條（約50cm長，兩端各結(jié)一個套）圖釘兩個.投影片一張：本課時教案后面的預習內(nèi)容及預習提綱●教學過程Ⅰ.課題導入［師］1997年初，中國科學院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息：從1997年2月中旬起，海爾·波普彗星將逐漸接近地球，4月以后又將漸漸離去，并預測3000年后，它還將光臨地球上空.1997年2月至3月間，許多人目睹了這一天文現(xiàn)象.天文學家是如何計算出彗星出現(xiàn)的準確時間呢？原來，海爾·波普彗星運行的軌道是一個橢圓，通過觀察它運行中的一些有關(guān)數(shù)據(jù)，可以推算出它的運行軌道的方程，從而算出它運行的周期及軌道的周長，預測它接近地球或漸漸離去的時間.在太陽系中，天體運行的軌道除橢圓外，還有雙曲線、拋物線等.在初中幾何里我們知道，用一個垂直于圓錐軸的平面截圓錐，得到的截面是一個圓，如果改變平面與圓錐軸線的夾角，會得到一些不同的圖形，（利用多媒體課件，做平面截圓錐的演示，將各個不同的圖形，用不同的顏色表示出來），這些圖形分別是橢圓、雙曲線、拋物線等，因此，通常把橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.圓錐曲線是我們生活中常見的曲線，例如傾斜著的圓錐形水杯的水面的邊界線，汽車油罐截面的輪廓線，發(fā)電廠通風的外形線，攔洪壩的曲線，探照燈反光鏡的軸截面的曲線，等等，這些邊界線、輪廓線、外形線，都是一些有規(guī)律的曲線，并且在實際生活、生產(chǎn)中有著廣泛的應用，那么怎樣進一步加深對這些曲線的認識呢？本章將分別學習如何建立這些曲線的方程，然后利用方程研究它們的性質(zhì)，并介紹運用這些性質(zhì)解決實際問題的一些簡單實例.（板書章題、單元題、課題）Ⅱ.講授新課［師］請同學們同桌一組用圖釘穿過準備好的無彈性細繩兩端的套內(nèi)，并且把圖釘固定在兩個定點上，然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動，看畫出的是怎樣的一條曲線（請兩位同學在黑板上作，要求兩定點F1、F2的距離小于繩長，并將圖形畫在黑板上的適當位置，以備在后面求方程時利用之）.（學生動手，實際作圖）［師］作圖完畢的請舉手.（教師環(huán)視學生完成情況）哪位同學來談談自己作出的是什么曲線？［生甲］我們作出的圖形是橢圓，與黑板上的一樣.［生乙］我們作出的是線段.［師］生乙同學，你談談你們作出的為什么是線段呢？［生乙］我們的繩長與兩定點F1、F2的距離相等.［師］生甲同學注意了嗎？你們作圖時，繩長與兩定點間距離有什么關(guān)系呢？［生甲］我們作圖時繩長大于兩定點間的距離.[師]好[生丙]老師，我們作圖時，開始沒法作出圖形，后來作出了橢圓.[師]為什么開始沒法作出圖形呢？[生丙]開始時，我們倆先確定了定點，誰知用圖釘穿進繩子兩端的套內(nèi)后，兩圖釘不能同時固定在定點上——繩子不夠長，后來調(diào)整了兩定點的距離，才作出了圖形.[師]很好，通過具體的實際操作，我們發(fā)現(xiàn)了一個非常值得注意的問題，即繩長大于兩定點間的距離時，我們作出的圖形是橢圓；繩長等于兩定點間的距離時，我們作出的圖形是線段；繩長小于兩定點間的距離時，我們不能作出任何圖形.[師]繩長實質(zhì)上是動點到兩定點的距離的和，同學們?nèi)匀灰越M為單位，照我們開始所述的方法再畫一個橢圓.（學生作圖）[師]比比看，兩次畫出的橢圓一樣嗎？有什么區(qū)別？[生]不一樣，有的“瘦”些，有的“胖”些.[師]這就奇怪了，繩長沒有變，也就是說動點到兩定點的距離和沒有變，為什么畫出的橢圓有的扁有的圓呢？（學生思考，相互討論交流）[生]兩定點間的距離越小，橢圓越圓；兩定點間的距離越大，橢圓越扁.［師］很好，從上面的畫圖過程可以看出，（結(jié)合黑板的圖形指出）曲線上任意一點與點F1、F2的距離的和等于定長，也可以說，這條曲線是與點F1、F2的距離的和為定長的點的軌跡（或點的集合），我們把這樣的曲線叫做橢圓.同學們不僅畫出了橢圓，請同學們給出橢圓的定義.（學生可能表述的不盡嚴密，教師再引導學生準確地表述.）定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.（板書）［師］由橢圓的定義，我們可以知道它的基本幾何特征，但對于這種新曲線還具有哪些特性，我們還幾乎一無所知，因此需要建立橢圓的方程，以便于我們對其作進一步的認識.請同學們回憶一下，求曲線方程的方法步驟是什么？［生丁］①建系、取點②列式③代換④化簡⑤證明.［師］生甲回答正確嗎？誰還有什么補充？［生戌］正確.一般情況下，步驟⑤可以省略不寫，如有特殊情況，可予以必要的說明.另外根據(jù)情況，也可省略步驟②，直接列出方程.［師］好,再請同學們考慮一下建系的一般原則有哪些？［生］原點取在定點或定線段的中點，坐標抽取在定直線上和圖形的對稱軸上.［師］好,同學們的回答完全正確.下面我們一起根據(jù)橢圓的定義，來求出橢圓的方程.（利用前面作出的圖形）先請一位同學來建立坐標系.［生乙］以F1F2的中點O為原點，直線F1F2為x軸，建立如圖所示的坐標系（學生敘述，教師作圖并板書）［師］設M（x,y）是橢圓上任意一點（板書）請同學們注意：定義中提供的信息，動點與F1、F2的距離和等于常數(shù)，這個常數(shù)可看作是已知的，這是其一，其二兩定點F1、F2之間的距離可看作已知的，于是我們可以……（接著板書）設橢圓的焦距為2c（c＞0），那么F1、F2的坐標分別是（-c,0）,(c,0)，又設M與F1、F2的距離的和等于2a（請注意，我們把焦距設為2c，避免了F1、F2的坐標域為分數(shù)的形式）.下面請同學們寫出橢圓的集合.［生庚］由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.（學生回答，教師板書）［師］生庚所列的式子，就是動點M與動點F1、F2的距離之和等于2a，誰來代換一下？［生辛］∵|MF1|=,|MF2|=∴+=2（學生回答，教師板書）［師］上面所得的方程直接反映了橢圓定義所確定的橢圓的本質(zhì)屬性，但為了更進一步利用方程探討橢圓的其他性質(zhì)，需要盡量簡化方程形式，使數(shù)量關(guān)系更加明朗化.那么怎樣化簡呢？［生］將式子有理化.［師］好.化簡的思路正確，但有理化時，要將方程的兩邊同時乘方（同次方），以去掉根號，而對上面的方程兩邊同時平方時，方程左邊要用到和的平方公式，第一項平方去掉了根號，第二項平方也去掉了根號，而兩項積的2倍更復雜了.為了減少復雜性，達到化簡的目的，下面我們一起來對上面的方程進行化簡.請同學們注意:對于含有根式的方程化簡時,如果方程中只有一個根式,則將根式單獨留在方程的一邊,把其他各項移至另一邊,之后方程兩邊同時乘方(同次方)即可;如果方程中含有兩個根式,則需將它們分別放在方程的兩邊,并使其中一邊只含有一個根式,之后再將方程兩邊同時乘方(同次方),再整理,再乘方.(板書)將這個方程移項后,兩邊平方得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y整理得a=a2-cx上式兩邊再平方,得a［(x-c)2+y2］=a4-2a2cx+c2x2(*)整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)由橢圓的定義可知:2a＞2c＞0即a＞c＞0,∴a2-c2＞0令a2-c2=b2,其中b＞0(令a2-c2=b2不僅可以使方程變得簡單整齊,同時在下一節(jié)討論橢圓的幾何性質(zhì)時,我們會看到它還有明確的幾何意義)代入(*)式,得b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以a2b2,得這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1（-c,0）,F2(c,0)，這里c2=a2-b2.Ⅲ.課堂練習如果使點F1、F2在y軸上，a、b、c的意義同上，請同學們再來求一次橢圓的方程.（學生做完之后，教師講授）指出這個方程也是橢圓的標準方程，實際上，學生練習作的圖相當于先將師生共同完成的圖中的x軸、y軸互換得到的.Ⅳ.課時小結(jié)本節(jié)課我們學習了橢圓的定義、焦點、焦距的概念，求出了橢圓的標準方程，請同學們注意：①橢圓有互相垂直的兩條對稱軸（由直觀性看出），其焦點總是在較長的對稱軸上；②若橢圓的對稱軸合于坐標軸，則其方程為橢圓的標準方程；反過來，橢圓的標準方程所表示的橢圓其對稱軸合于坐標軸；③橢圓的兩種標準方程中，總是a＞b＞0,即橢圓的標準方程中，哪個項的分母大焦點就在相應的那個軸上；反過來，焦點在哪個軸上相應的那個項的分母就大.④a、b、c始終滿足c2=a2-b2（不要與勾股定理a2+b2=c2混淆）.如果焦點在x軸上，焦點坐標是（-c,0），（c,0）；如果焦點在y軸上，焦點坐標是（0，-c）,(0,c);⑤在遇到形如Ax2+By2=C的方程中，只要A、B、C同號，方程就是橢圓方程.可以化成即橢圓標準方程的形式.如2x2+3y2=5,可以化成,其表示焦點在x軸上的橢圓，其中a=,b=,c可由c2=a2-b2求得，c=,焦點坐標是（-，0），（，0）；Ⅴ.課后作業(yè)（一）1.課本P95，練習1，2.P96習題8.11（二）1.預習內(nèi)容：課本P93，例1，例2.2.預習提綱：（1）求橢圓的標準方程，關(guān)鍵是什么？（2）求滿足條件的點的軌跡方程，一般方法步驟是怎樣的？如果清楚軌跡類型，是否還需要照這些步驟來做呢？應該怎樣做？●板書設計第八章圓錐曲線方程一橢圓§8.1.1橢圓及其標準方程定義練習小結(jié)2019-2020年高中數(shù)學8.1橢圓及其標準方程(第三課時)大綱人教版必修●教學目標（一）教學知識點1.軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系.2.轉(zhuǎn)移法（代換法）求動點的軌跡方程與橢圓有關(guān)問題的解決.（二）能力訓練要求1.使學生理解軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系.2.使學生掌握轉(zhuǎn)移法（代換法）求動點軌跡方程的方法與橢圓有關(guān)問題的解決.(三)德育滲透目標使學生通過尋求量與量之間的關(guān)系，進而掌握解決有關(guān)問題的方法，學會化生疏為熟悉，理解矛盾轉(zhuǎn)化的必然性.●教學重點轉(zhuǎn)移法求動點的軌跡方程.●教學難點轉(zhuǎn)移法求動點的軌跡方程.●教學方法指導學生自學法通過學生自學的實踐，使其感受一類問題的解決方法，教師再予以必要的指導，幫助學生自己獲取知識，使學生體驗成功的喜悅，增強學生自學的興趣，提高學生的自學能力.●教具準備投影片三張第一張：P95例3及圖8—5（記作8.1.3A）第二張：本課時之例4（記作8.1.3B）第三張：本課時教案后面的預習內(nèi)容及提綱（記作8.1.3C）●教學過程Ⅰ.課題導入［師］上節(jié)課我們學習了橢圓標準方程的求法，以及求滿足條件的點的軌跡方程時，若清楚點的軌跡類型該怎么做，請同學們回憶一下，怎樣求橢圓的標準方程呢？［生］根據(jù)焦點位置，設出標準方程，確定方程中的參數(shù)a、b的值，最后寫出橢圓的標準方程.［師］好，那么大家再來回憶一下，求滿足條件的軌跡時，若清楚軌跡類型，怎樣求其方程呢？［生］設出方程，確定方程中的參數(shù)a、b，寫出其方程.［師］很好，下面我們來看一個例子.（打出投影片8.1.3A）Ⅱ.講授新課［師］（讀題）［師］這個題目是求點M的軌跡，同學們已經(jīng)進行了預習，誰來談一下求點的軌跡與求點的軌跡方程有什么不同？［生］求點的軌跡方程，根據(jù)題意求出其方程即可；求點的軌跡，先要根據(jù)題意求出點的軌跡方程，還要根據(jù)方程指出其是怎樣的一種圖形.［師］好，以后同學們在做題中一定要注意這個問題.分析指導：這個題是屬于不清楚點的軌跡類型的，應該用坐標法求其方程，首先需要建系，但由于題中給出了坐標系，所以就不用再建系了，其次，我們來分析動點M的特點：動點M的運動依賴于P點的運動，也就是說動點隨著另一個點的運動而運動.而另一個點又在有規(guī)律的曲線上運動，此時我們就來建立兩個動點坐標間的關(guān)系，利用另一點在有規(guī)律的曲線上運動的這一特點，求出點M的軌跡方程，下面同學們再來將此題的求解過程看一遍，體會一下做題的思路，并熟悉一下兩個動點坐標間的關(guān)系是怎樣尋求的，有不清楚的地方請指出來，我們共同來討論.(學生看課本，教師巡視)［師］有什么問題呢？［生］沒有.［師］我們把這種求點的軌跡方程的方法稱為轉(zhuǎn)移法（代換法）.求動點的軌跡方程時，若動點的運動隨著另一個點的運動而運動，而另一個點的運動又在有規(guī)律的曲線上運動，此時，我們可以用轉(zhuǎn)移法求出動點的軌跡方程.另外，從此題也可以看出，將圓按照某個方向均勻地壓縮（或伸長）可以得到橢圓.Ⅲ.課堂練習1.從圓x2+y2=25上任意一點P向x軸作垂線段PP′，且線段PP′上一點M滿足關(guān)系式|PP′|∶|MP′|=5∶３，求點M的軌跡.答案：Ⅳ.繼續(xù)新課［師］（打出投影片8.1.3B，讀題）［例4］P是橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是焦點，若∠F1PF2=30°，求△PF1F2分析指導：先畫出草圖，根據(jù)題意分析.分析綜合法是我們解決問題常用的方法，分析法是一種執(zhí)果索因的推理方法，即從未知找需知并靠攏已知，綜合法是一種由因?qū)Ч耐评矸椒?，即從已知看可知并推向未知，我們用這種方法對本題試做分析：為求△PF1F2的面積，可用S=底×高或S=absinC等等，把F1F2看作底，底的長度是可求的，那么P到直線F1F2的距離即底邊F1F2上的高如何求呢？這樣行不通！若要知道PF1、PF2的長把PF2看作底，PF2上的高卻需求，因為∠F1PF2=30°，那么能否求出PF1、PF2的長呢？再從已知出發(fā)考慮：|PF1|+|PF2|可求.那么知道兩條線段的和能求出這兩條線段的長嗎？顯然還不行！從已知我們不難知道|PF1|+|PF2|，還可知道|F1F2|以及∠F1PF2，據(jù)此我們利用余弦定理可求出|PF1|與|PF2|的積，有了這個積，又知道∠F1PF2的大小，由公式S=absinC即可求出△（學生解答，請一位同學在