2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.6-利用空間向量證明平行和垂直-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.6-利用空間向量證明平行和垂直-專項(xiàng)訓(xùn)練【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.若兩條不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則l1和l2的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.垂直 D.不確定若α⊥β,則k等于()A.4 B.-4 C.5 D.-53.若平面α的一個(gè)法向量為u1=(-3,y,2),平面β的一個(gè)法向量為u2=(6,-2,z),且α∥β,則y+z的值是()A.-3 B.-4 C.3 D.44.已知直線a的方向向量為a,平面α的法向量為n,下列結(jié)論成立的是()A.若a∥n,則a∥α B.若a⊥n,則a⊥αC.若a∥n,則a⊥α D.若a⊥n,則a∥α5.(多選題)已知平面α的一個(gè)法向量為n1=(1,-2,-12),平面β的一個(gè)法向量為n2A.l⊥αB.α⊥βC.l與m為相交直線或異面直線D.a在b上的投影向量的坐標(biāo)為(0,-35,66.已知直線l的方向向量為a=(-1,1,1),平面α的法向量為b=(2,x2+x,-x),若l∥α,則實(shí)數(shù)x=.7.已知AB→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z),若AB→⊥BC→,BP→=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則x=8.在正三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面邊長(zhǎng)為1,M為BC的中點(diǎn),C1N→=λNC→,且AB9.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為AB,B1C的中點(diǎn).(1)證明:平面A1BD∥平面B1CD1;(2)證明:MN⊥平面A1BD.10.在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD垂直且相交于點(diǎn)O,且OA=OB=OD=4,OC=3,將△BCD沿BD折到△BED的位置,使得二面角EBDA的大小為90°(如圖).已知Q為EO的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段AB上,且AP=2.證明:直線PQ∥平面ADE.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】11.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(1,1,1) B.(23,2C.(22,22,1) D.(2412.如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且EF⊥A1E.若AB=2,AD=1,AA1=3,則B1F的最小值為.13.如圖,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面A1B1BA;(2)求證:平面AEA1⊥平面BCB1.14.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,設(shè)E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面PAD;(2)求證:平面PAB⊥平面PDC.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練】15.(多選題)在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=1,點(diǎn)P滿足BP→=λBC→+μBBA.當(dāng)λ=1時(shí),△AB1P的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)μ=1時(shí),三棱錐PA1BC的體積為定值C.當(dāng)λ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1D.當(dāng)μ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1B⊥平面AB1參考答案【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.解析:因?yàn)関2=-2v1,即v2與v1共線,所以兩條不重合直線l1和l2的位置關(guān)系是平行.故選A.解析:因?yàn)棣痢挺?所以a⊥b,所以a·b=-2-8-2k=0,解得k=-5.故選D.3.解析:因?yàn)棣痢桅?所以u(píng)1∥u2,故存在實(shí)數(shù)λ,使得u1=λu2,即(-3,y,2)=λ(6,-2,z),故6λ=-4.解析:因?yàn)橹本€a的方向向量為a,平面α的法向量為n,若a∥n,則a⊥α,故A錯(cuò)誤,C正確;若a⊥n,則a∥α或a?α,故B,D錯(cuò)誤.故選C.5.解析:因?yàn)閍·n1=0,所以l∥α或l?α,所以A錯(cuò)誤;因?yàn)閚1·n2=0,所以α⊥β,所以B正確;因?yàn)?1≠2a在b向量上的投影向量為a·b|b|2·b=-6.解析:因?yàn)閘∥α,則a⊥b,而a=(-1,1,1),b=(2,x2+x,-x),因此a·b=-2+(x2+x)+(-x)=x2-2=0,解得x=±2.答案:±27.解析:由條件得3+5解得x=407,y=-15答案:407-158.解析:如圖所示,取B1C1的中點(diǎn)P,連接MP,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),MC→,MAMP→的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,所以A(0,32,0),B1(-12C1(12,0,2),M(0,0,0),因?yàn)镃1N→=λNC→,所以N(1(-12,-32,2),MN→=(12,0,21+λ).又因?yàn)锳B1⊥MN,所以AB答案:159.證明:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),A(2,0,0).設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),因?yàn)镈ADB→=(2,2,0),所以取x=-1,得m=(-1,1,1).同理可得平面B1CD1的一個(gè)法向量為n=(-1,1,1).因?yàn)閙∥n,所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)因?yàn)镸,N分別為AB,B1C的中點(diǎn),所以M(2,1,0),N(1,2,1),則MN→(-1,1,1),因?yàn)镸N→∥m,所以MN⊥平面A110.在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD垂直且相交于點(diǎn)O,且OA=OB=OD=4,OC=3,將△BCD沿BD折到△BED的位置,使得二面角EBDA的大小為90°(如圖).已知Q為EO的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段AB上,且AP=2.證明:直線PQ∥平面ADE.證明:由題易得OE⊥BD,OA⊥BD,OE?平面EBD,OA?平面ABD,且二面角EBDA的大小為90°,所以∠AOE=90°,故OA,OB,OE兩兩垂直,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,4,0),E(0,0,3),D(0,-4,0),A(4,0,0),由題知|AB→|=42+42=42又AB→=(-4,4,0),故AP又Q(0,0,32),故PQ→=(-3,-1,設(shè)平面ADE的法向量為n=(x,y,z),易得DA→=(4,4,0),DE由n·DA取x=3,得y=-3,z=4,所以n=(3,-3,4),因?yàn)閚·PQ→=0,故n⊥PQ又PQ?平面ADE,所以直線PQ∥平面ADE.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級(jí)能力提升】11.解析:設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,如圖,連接OE,由AM∥平面BDE,且AM?平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,所以AM∥OE,又O是正方形ABCD對(duì)角線交點(diǎn),所以M為線段EF的中點(diǎn).在空間坐標(biāo)系中,E(0,0,1),F(2,2,1).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(22,212.解析:以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn),C1D1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,1,0),設(shè)E(2,0,m),F(0,1,n),3≥m≥0,3≥n≥0,則A1E→因?yàn)镋F⊥A1E,所以A1E→·EF當(dāng)0<m≤3時(shí),n=1m+m≥21當(dāng)且僅當(dāng)1m故B1F的最小值為2.答案:213.證明:因?yàn)锳B=AC,E為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.因?yàn)锳A1⊥平面ABC,AA1∥BB1,所以過(guò)E作平行于BB1的垂線為z軸,EC,EA所在直線分別為x軸,y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳B=3,BE=5,所以AE=2,所以E(0,0,0),C(5,0,0),A(0,2,0),B(-5,0,0),B1(-5,0,27),A1(0,2,7),則F(52,1,7(1)EF→=(52,1,72),AB→=(-5,-2,0),設(shè)平面AA1B1B的法向量為n=(x,y,z),則n所以-5x所以n=(-2,5,0).因?yàn)镋F→·n=52×(-2)+1×5+7所以EF→又EF?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(2)由題易知EC⊥平面AEA1,所以EC→=(5,0,0)為平面AEA1又EA⊥平面BCB1,所以EA→=(0,2,0)為平面BCB1因?yàn)镋C→·EA→=0,所以EC→⊥EA→,故平面AEA14.證明:(1)如圖,取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OF.因?yàn)镻A=PD,所以PO⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.又O,F分別為AD,BD的中點(diǎn),所以O(shè)F∥AB.又四邊形ABCD是正方形,所以O(shè)F⊥AD.因?yàn)镻A=PD=22所以PA⊥PD,OP=OA=a2以O(shè)為原點(diǎn),OA,OF,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(a2,0,0),F(0,a2,0),D(-a2,0,0),P(0,0,a2),B(因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),所以E(-a4,a2,易知平面PAD的一個(gè)法向量為OF→=(0,a因?yàn)镋F→=(a4,0,-所以O(shè)F→·EF→=(0,a2,0)·(a又因?yàn)镋F?平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)因?yàn)镻A→=(a2,0,-a2所以PA→·CD→=(a2,0,-a所以PA→⊥CD又PA⊥PD,PD∩CD=D,PD,CD?平面PDC,所以PA⊥平面PDC.又PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PDC.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練】15.解析:BP→=λBC→+μBB對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)P在棱CC1上運(yùn)動(dòng),如圖(1)所示,此時(shí)△AB1P的周長(zhǎng)為AB1+AP+PB1=2+1+μ2+1+(1-2-對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)μ=1時(shí),點(diǎn)P在棱B1C1上運(yùn)動(dòng),如圖(2)所示,則VP?A1BC=VA1?PBC=13S△PBC×32=36S對(duì)于選項(xiàng)C,取BC的中點(diǎn)D,B1C1的中點(diǎn)D1(圖略),連接DD1,A1B,則當(dāng)λ=12時(shí),點(diǎn)P在線段DD1上運(yùn)動(dòng),假設(shè)A1P⊥BP,則A1P2+BP2=A1B2,即(32)(1-μ)2+(12)2+μ2=2,解得μ=0或μ=1,所以點(diǎn)P與點(diǎn)D或D1A1P⊥BP,故C錯(cuò)誤;法一對(duì)于選項(xiàng)D,易知四邊形ABB1A1為正方形,所以A1B⊥AB1,設(shè)AB1與A1