2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列

第六章

數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念

［學(xué)習(xí)要求］1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表法、圖象法、公式法）.2.了

解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).3.能夠利用斯與8的關(guān)系求通項(xiàng)公式斯.4.掌

握利用遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式斯的方法.

自主梳理

［知識(shí)梳理］

知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念

1.

概念含義

飛列葭照確定的順序排列的二列數(shù)稱為藪列

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)

H八如果數(shù)列｛?！埃牡凇?xiàng)斯與它的序號(hào)廷之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來

［甬TmAx.

'表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

_數(shù)列｛&｝從第1項(xiàng)起到第〃項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列｛斯｝的前W項(xiàng)和，記作

刖九項(xiàng)和

Sn,即S”=----

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列有限多項(xiàng)

項(xiàng)數(shù)

無窮數(shù)列無限—多項(xiàng)

遞增數(shù)列a九_(tái)|_1>Qn

遞減數(shù)列a九十.￡Cln其中aGN

項(xiàng)與項(xiàng)間的大小

常數(shù)列_|_]〃八

關(guān)系

從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于

擺動(dòng)數(shù)列

它的前一項(xiàng)的數(shù)列

知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖象法把點(diǎn)（〃，詼）畫在平面直角坐標(biāo)系中

通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式法示的方法

公式法使用初始值和a“+i=f（斯）或的，“2和斯+1=/（斯，斯-1）等表示

遞推公式

數(shù)列的方法

［小題診斷］

1.已知數(shù)列1,2,V7,V10,V13,則2內(nèi)在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是（

A.16B.24

C.26D.28

答案：C

2.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為&,且&=/+〃，則〃2的值是（）

A.2B.4

C.5D.6

答案:B

解析：由題意，§2=22+2=6,Si=l+1=2,所以〃2=52—31=6—2=4.

3.（多選）已知數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為為=9+12%則在下列各數(shù)中，是｛為｝的項(xiàng)的是

（）

A.21B.33

C.152D.153

答案：ABD

解析：由數(shù)列的通項(xiàng)公式得，0=21,“2=33,02=153.

4.在數(shù)列｛斯｝中，〃i=3,斯+1=。〃+,1、,則〃2=，通項(xiàng)公式斯=.

n（n+1）------------------------------------

答案：%4-i

2n

學(xué)生用書［第128頁

，關(guān)鍵能力重點(diǎn)探究。

考點(diǎn)一用觀察法求通項(xiàng)公式

［例1］寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

1111

(1)1X2‘2X3’3X4‘4X5’

⑵|,2,￡8,25

2

(3)5,55,555,5555,

［解］（1）這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為

負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是斯=（-1）「、.

n（n+1）

（2）數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一變形為分?jǐn)?shù)再觀察.

即也??T-§，…，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為

（3）將原數(shù)列改寫為|X9,|X99,|X999,易知數(shù)列9,99,999,…的通項(xiàng)為100

—1,故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為斯=:.

I方法總結(jié)I

由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列）、聯(lián)想（聯(lián)想常見

的數(shù)列）等方法.

1.常用方法：觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化

2.具體策略：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相鄰項(xiàng)的變化特征；（3）拆項(xiàng)后的特

征；（4）各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；（5）化異為同，對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、

分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；(6)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用

*k+l*,

(-1)或(-1),左GN處理.

也跟蹤訓(xùn)組

1.根據(jù)下列數(shù)列的前5項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)LP??也…；

⑵1,四,1,四,1,....

2244

解：(1)數(shù)列可變形為a3aaa…，

(2)數(shù)列可變形為即22三工工...

1VFVTV4r通'底''

1

考點(diǎn)二由斯與S”的關(guān)系求通項(xiàng)公式

［例2］(1)已知數(shù)列｛四｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足S"=2"+2—3,則斯=.

(2)(2024?廣東湛江模擬)已知a為數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和,且S,+2斯=2(n￡N*),則

［解析］(1)根據(jù)題意，數(shù)列｛詼｝滿足5"=2"+2—3,

當(dāng)兒22時(shí)，有%=S”一S”T=(2"+2—3)—(2,,+1-3)=2"+1

5,TI—1,

｛2n+1,n>2.

(2),：Sn+2an=2(wGN*),

??。1=不S〃-1+2〃n-1=2(〃22),

=

Sn—Sn-1+2an~2an-10(及22),

??3斯=2斯-1(〃22),

=2(w22),.?.數(shù)列｛念｝是以2為首項(xiàng)，三為公比的等比數(shù)列，

a

n_1333

???『當(dāng)修廠】=(|廣

學(xué)生用書［第129頁

I方法總結(jié)I

1.已知S“求詼的3個(gè)步驟

(1)先利用的=N求出ai；

(2)用w—1替換S,中的“得到一個(gè)新的關(guān)系，利用斯=$0-&"-i)(心2)便可求出當(dāng)“

22時(shí)許的表達(dá)式；

(3)注意檢驗(yàn)n=l時(shí)的表達(dá)式是否可以與ri>2時(shí)的表達(dá)式合并.

2.8與斯關(guān)系問題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用斯=S「S(〃T)(〃22)轉(zhuǎn)化為只含s”S(”-1)的關(guān)系式，再求解；

3九3力—1一。九，

:_(〃23)轉(zhuǎn)化為只含斯，伙加1)的關(guān)系式，再求解.

(^n~l~^n~2~an-l

內(nèi)跟蹤訓(xùn)練

2

2.已知數(shù)列｛念｝的前〃項(xiàng)和Sn=2n—3n,則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式斯=.

答案：4〃一5

解析：〃i=Si=2—3=—1,

=2—

當(dāng)〃22時(shí)，anSn—Sn-i=(2層一3")一［2(n—1)3(n—1)］=4〃-5.

*.*a\=—\也適合上式，???斯=4〃-5.

3.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S〃滿足％+〃〃=—2,則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式期=.

?n-l

解析：當(dāng)〃=1時(shí)，Si+ai=2〃i=—2,解得〃i=-1;

由Si+斯=—2,可知當(dāng)〃22時(shí)，S〃-i+斯-1=—2,兩式相減，得2斯一斯—1=0,即斯

11/1\H—1

芥T(心2),所以數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為一1,公比為我等比數(shù)列，所以斯=一(以.

考點(diǎn)三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

［例3］(1)若數(shù)列｛斯｝滿足。1=1,且對(duì)于任意的〃￡N*都有斯+1=%+〃+1,貝!J斯=

()

■M2

A.M2B.—

2

2

C(n+i)口n(九+1)

.2.2

(2)在數(shù)列｛斯｝中,川=1,斯=?斯-1"22,〃dN*),則數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式

為.

［答案］(1)D(2)a—~

nn

［解析］(1)由斯+1—斯=〃+1知

42=2,

。3—。2=3,

—43=4,

〃八斯-1-九，

以上等式累加知an—。1=2+3+…+幾,

n(n+l)

2

(2),：a=—a-i(〃22),即WO,

nnn

?_n~l

,,,

an-i71

?Si-i—:一2an2n—3…一工

，，an-2n-19an-3n-2'，Qi2'

以上（n—1）個(gè)式子相乘得,

_11

an2nl

曲23nnf

?

?.斯-----.

nn

當(dāng)〃=1時(shí)，ai=l,符合上式，???斯=：.

I方法總結(jié)I

由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法

1.已知的,Aan-an_1=f(71)(幾之2),可用“累加法”求冊(cè).

2.已知由(%*0)*且色-=f(n)(n>2),可用“累乘法”求a”

an-i

也跟蹤訓(xùn)練

4.在數(shù)列｛a”｝中，的=2,。"+1=斯+111(1+J,則斯=()

A.2+lnnB.2+(n_1)Inn

C.2+nlnnD.l+n+lnn

套案.A

I=I■R

解析：因?yàn)槟?i—斯=ln生口=ln(n+1)—Inn,

n

所以政一〃i=ln2—In1,

。3—〃2=ln3—In2,

—〃3=ln4—In3,

an-an-\=lnn—In(〃—1)(〃22).

把以上各式累加得斯一〃i=lnIn1,

則斯=2+ln〃（〃22）.因?yàn)椤╥=2滿足此式,

所以斯=2+lnn.

5.（2024?山東濰坊模擬）設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃，〃i=l,｛S〃+〃斯｝為常數(shù)列，則斯

)

B.---

n(n+1)

D.

?(n+l)(n+2)三

答案：B

解析：法一（累乘法）：因?yàn)閿?shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S〃且41=1,

所以Si+lX〃i=l+l=2.

因?yàn)椋鸖〃+〃斯｝為常數(shù)列，所以由題意知，

Sn+九4〃2.

當(dāng)〃》2時(shí)，（w+1）an=（n-1）an-i,從而強(qiáng)生生.….*-=U.….口,

。2a3an-l34n+1

所以斯=—^——（*）,當(dāng)〃=1時(shí)（*）式成立，

n（n+1）

法二(特值驗(yàn)證法)：由的=1,｛%+"斯｝為常數(shù)列，可得Si+lXm=l+l=2,

故S〃+M4〃=2.

當(dāng)〃=1時(shí)，4ii=l,排除C;當(dāng)九=2時(shí)，S2+2X〃2=2,

=

即。1+。2+2〃2=2,即3〃2=1,ci2~9A,B,D都滿足；

當(dāng)〃=3時(shí)，$3+3。3=2,即1+］+4的=2,

1

解得的=-6,排除A,D.

數(shù)列的函數(shù)特性

◎角度(一)數(shù)列的單調(diào)性

［例1］已知｛詼｝是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的“GN*都有出=〃2+筋恒成立，則實(shí)數(shù)％的取

值范圍是.

［答案］(-3,+°°)

2

［解析］由題意可知，an+\—an—("+1)+/l(M+1)—iv—%”=2w+l+Z

?.?｛。“｝是遞增數(shù)列，；.斯+1—斯>0,且當(dāng)〃=1時(shí)，斯+i—最小，

00

/.?,:+1——。1=3+義>0,；">一3,即實(shí)數(shù)2的取值范圍是(-3,+).

I方法總結(jié)I

解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法

根據(jù)a1-a的符號(hào)判斷數(shù)列｛a｝

作差比較法n+nn

是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

根據(jù)(a”>0或a”<0)與1的大

作商比較法un

小關(guān)系進(jìn)行判斷

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

學(xué)生用書［第130頁

位角度(二)數(shù)列的周期性

［例2］若數(shù)列｛〃“｝滿足的=2,即+1="也，"GN*,則02024的值為（）

11

11

A.2B.-3C~-D.-

23

［答案］D

_1_1

［解析］由題意知，6/1=2,。2=當(dāng)=-3,613=7-7=—<34=—1_f=1,。5=—141=2,。6=

1—21+3ZH■?—31——

23

-1_i_o1

——=一3,…，因此數(shù)列｛見｝是周期為4的周期數(shù)列，所以〃2024=〃506X4=。4=不

I方法總結(jié)I

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求值.

國(guó)跟蹤訓(xùn)練

1.（2024?甘肅白銀模擬）在數(shù)列｛a九｝中，若41=2,斯=1-.....（幾22）,則。2024=

an-l

（）

A.-lB.i

2

C.2D.l

答案二B

解析：由題意得〃1=2,。2=1———1—。3=1———1—2=—1,

a122a2

1

〃4=1一一=1+1=2,.......

a3

-1

故｛a九｝為周期數(shù)列，一個(gè)周期為3,故〃2024=〃674><3+2=。2=5.

2.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為廝=籌詈，“GN*,則數(shù)列｛斯｝前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)

分別為.

答案：3,-1

2n—192n—21+2.2

解析:a=-------=-----------=1當(dāng)心11時(shí)，春>°，且單調(diào)遞減；當(dāng)

n2n-212n—212n~21

1W〃W1O時(shí)，」一<0,且單調(diào)遞減.因此數(shù)列｛?！ǎ?0項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別為第

2n—21

11項(xiàng)，第10項(xiàng)，則411=3,aio=—l.

學(xué)生用書I第348頁

J課時(shí)作業(yè)鞏固提升。

[A組基礎(chǔ)保分練]

1.（2024.山東青島模擬）寫出數(shù)列1,|,支p拳…的一個(gè)通項(xiàng)公式斯=（）

nn7n—1

A.^—B.--

2n—12n—1

onon—1

C.-----D.-----

2九+12n+l

答案：B

解析：數(shù)列1,I，I，三,素

則其分子為2“一I分母為2〃一i,則其通項(xiàng)公式為e二.

2n-l

2.（2024?甘肅酒泉模擬）己知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為斯=（-1）n-2n+a,且的=一

5,則實(shí)數(shù)。等于（）

A.lB.3

C.l1D.—3

答案：B

解析：因?yàn)樗?(-1)n-2n+a,〃3=—5,

所以一23+〃=-5,解得a=3.

3.已知數(shù)列｛a九｝的前〃項(xiàng)和為S〃=層+〃+1,則〃3=()

A.5B.6

C.7D.8

答案：B

解析：因?yàn)槎?層+〃+1,所以43=513—512=6.

4.在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛〃〃｝中，對(duì)任意的相，孔WN*,都有〃帆+〃=。"〃小若恁=64,則〃9

=()

A.256B.510

C.512D.1024

答案：C

解析：由題意可得。6=〃3%3=64..*.4/3=8,

??。9==64X8—512.

5.數(shù)列｛斯｝滿足0=4,即+1=打("CN*).若數(shù)列｛詼｝是常數(shù)列，則。=()

an+1

A.12B.—1

C.OD.(-1)〃

答案：A

解析：因?yàn)閿?shù)列｛斯｝是常數(shù)列，所以。=。2=%-二=^一即〃(〃+1)=層-2,得a=一

a1+la+1

2.

6.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足41=1,即+1=["九+3''為3烏：則“6=()

(2an+1,n為偶數(shù),

A.16B.25

C.28D.33

答案：C

解析：由題意得，當(dāng)〃=1時(shí)，念=1+3=4;當(dāng)〃=2時(shí)，的=2X4+1=9;當(dāng)〃=3時(shí)，外

=9+3=12;當(dāng)〃=4時(shí)，々5=2X12+1=25;當(dāng)〃=5時(shí)，恁=25+3=28.

7.數(shù)列｛斯｝滿足〃1=—3,斯=皿U，其前〃項(xiàng)積為G，則於024=()

an+1+l

A.iB.1

2

3

C.-D.-3

2

答案：B

解析：由斯=一+i:,得斯斯+1+?！?斯+1-1,即斯+1=土馬■.又〃1=-3,ai=—^,〃3=

an+i+11-?n2

-1

。4=2,。5=—3,「?數(shù)列｛。八｝是周期數(shù)列，周期為4,且。1〃2〃3〃4=1,二?"024=北乂506=

1.

8.(多選)已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為=929n+2("GN*),則下列結(jié)論正確的是

9nz—1

()

A.這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為If

B.2是該數(shù)列中的項(xiàng)

C.數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間[；,1)內(nèi)

D.數(shù)列｛斯｝是單調(diào)遞減數(shù)列

答案：BC

9n2—9n+2(3n—l)(3n—2)

解析：a

n9n2—1(3n—l)(3n+l)

_3n—2

3n+l'

令〃=10得故A錯(cuò)誤；

令的二=21得〃=33￡N*,

3n+l100

故里是數(shù)列中的項(xiàng)，故B正確；

100

GL3n—23n+l—3-3

因?yàn)閍=------=---------=1-------

n3九+13?1+13?1+1

又"GN*.

所以數(shù)列｛斯｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以工W斯<1,故C正確，D不正確.

4

9.設(shè)數(shù)列｛公｝的前〃項(xiàng)和為S〃，Sn=r^+n(〃￡N*),則斯=.

答案：2n

22

解析：當(dāng)〃=1時(shí)，4I=SI=2,當(dāng)〃22時(shí)，Sn_1=(n—1)+(n—1)=n—n,所以斯

=Sn~Sn_1=2n,〃i=2也符合上式，所以詼=2兒

10.(2024?上海模擬)數(shù)列｛時(shí)｝對(duì)任意正整數(shù)加滿足〃口2…斯=層，則數(shù)列的通項(xiàng)公

式an=.

解析：當(dāng)n=l時(shí)，“1=1;

2

當(dāng)〃22時(shí)，由…層可得…恁-1=(九一1)，

21,72=1,

兩式作商可得斯=712,又不符合上式，所以斯=4n2

1)[[7,n>2.

1(九一1)

11.已知數(shù)列｛斯｝滿足〃1=1,且斯=〃(斯+1—斯)(〃￡N*),則。3=，an

答案：3n

解析：由…(…)，可得誓=乎，則當(dāng)心2時(shí),T*一紅=

nn—1n—2727t

-----X-----X-----X???X-X1=n??〃3=3.?=1〉兩Cln=〃，??Cln~~Tl.

n—1n~2n—31

12.已知數(shù)列｛5｝滿足：詼+1=/"小(nCN*).若內(nèi)=3,則0=______.

La九+2,ctn<^2]

答案:2

解析：由題意，當(dāng)斯V〃i時(shí)，an+i—an=2f數(shù)列｛〃〃｝為公差d=2的等差數(shù)列，則俏=〃1+

2X2=3,。1=一1,此時(shí)不滿足詼故不符合題意；當(dāng)〃〃》的時(shí)，數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)

列，此時(shí)公比鄉(xiāng)二久生;？，則〃3=?！?2=3,解得。1=三，滿足斯三〃1,所以。1=々

an44

學(xué)生用書1第349頁

[B組能力提升練]

13.(多選)已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=(”+2).6)"，則下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛〃“｝的最小項(xiàng)是a\

B.數(shù)列｛.〃｝的最大項(xiàng)是?4

C.數(shù)列｛詼｝的最大項(xiàng)是恁

D.當(dāng)時(shí),數(shù)列｛〃“｝遞減

答案：BCD

解析：假設(shè)第〃項(xiàng)為｛斯｝的最大項(xiàng)，貝^

0rlN。九+1'

J…(廣，

nn+1

bn+2)-g)>(n+3)-g),

所以『一S'又〃￡N*,所以〃=4或〃=5,故在數(shù)列｛斯｝中，〃4與〃5均為最大項(xiàng)，且〃4=

In>4,

〃5=6，當(dāng)〃三5時(shí)，數(shù)列｛斯｝遞減.

14.已知數(shù)列｛廝｝滿足41=33,血芝芳=2,則詈的最小值為()

A.10.5B.10

C.9D,8

答案二A

—

解析：由"+；工=2得〃〃+1-斯=2%6zn=(a2-?-￡)+(a3—a2)+(a4a3)d-----F^an—

。打_1)+。1=2+4+6+…+2(〃-1)—1)；+、~~—+33=n2—〃+33,

?_；+33=孔+11~~1(TI￡N*).當(dāng)(0,333)時(shí)，瓷單調(diào)遞減；當(dāng)ne(V^3,+

8)時(shí)，塞單調(diào)遞增.又〃￡N*,經(jīng)驗(yàn)證，〃=6時(shí)，詈最小值為10.5.

15.在數(shù)列｛〃〃｝中，若對(duì)任意的幾￡N'均有〃〃+〃八+1+詼+2為定值，且〃i=2,“9=3,硒8=

4,則數(shù)列｛?！ǎ那?00項(xiàng)的和Sioo=()

A.132B.299

C.68D.99

答案：B

解析：因?yàn)閷?duì)任意的〃￡N*均有。八+斯+1+念+2為定值，所以外+。八+1+。八+2=斯+1+?！?2+

斯+3,所以斯+3=斯，所以數(shù)列｛斯｝是周期數(shù)列，且周期為3,故。2=〃98=4,的=。9=3,

。100=。1=2,所以Sioo=33(〃1+。2+的)+〃ioo=299.

16.在數(shù)列｛斯｝中，ai=l,a=(n,an)，b=(an+1，〃+l),且°_1/，則〃ioo等于

()

.100c100

A.—B.——

9999

C.100D.-100

答案：D

解析：因?yàn)?=(n,即)，b—(an+1,n+1),且所以〃即+i+(H+1)?！?0,

所以皿=—匕1,所以藝=—2也=—三，…皿=—129.以上各式左右分別相乘，得2

annar1a22a9999ar

=—100,因?yàn)閙=l,所以4ioo=1100.

17.(多選)在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩

項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，將數(shù)列1,2

進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；第MTIGN*)次得

到數(shù)列I,Xl，X2，X3，…，,玄，2.記。"=1+XI+X2H-----\-Xk+2,數(shù)列｛即｝的前”項(xiàng)和為

s,?則()

A.A-+1=2H

B.a?+i=3斯-3

2

C.cin=|(n+3n)

DS=|(3"+i+2n-3)

答案：ABD

解析：由有3項(xiàng)，〃2有5項(xiàng)，方有9項(xiàng)，〃4有17項(xiàng)，…，故〃〃有2"+1項(xiàng)，所以％+2

=2〃+1,即％+1=2",故A正確；由“1=3+3,〃2=3+3+9,的=3+3+9+27,.=3

+3+9+27+81,…，??=3+3'+32+3^-----H3"=3+也二型=之土，故C錯(cuò)誤；由斯

1—32

=--可得―=3<7/；-3,故B正確；由S"=41+〃2+…+〃"=/(32+33+

9()

34+...+3n+1)+y=jx^f+y=|(3n+1+2n-3),故D正確.

18.(2024.廣東惠州調(diào)研)已知數(shù)列｛斯｝滿足m=l,即+1—2斯=2"("GN*),則數(shù)列｛斯｝

的通項(xiàng)公式an=.

答案：〃2門

解析：斯+i—2奧=2"兩邊同時(shí)除以2"+1可得鴕一愛=/又發(fā)；?數(shù)列｛"是以涉首

項(xiàng)，押公差的等差數(shù)列，.費(fèi)=升(〃一1)x|=^,

；?斯=兒2〃-1.

19.已知數(shù)列滿足41=3且詼+1=3,則數(shù)列。"=.

解析：由1，^兩邊取倒數(shù)可得上=三+3,即上一三=3,所以數(shù)列[三]是等差數(shù)

aaa

3an+1^n+lnn+ln

列，且首項(xiàng)為2,公差為3,所以三=3〃一1,所以詼=^.

an3n-l

20.已知印表示不超過X的最大整數(shù)，例如：[2.3]=2,[-1.7]=—2.在數(shù)列｛斯｝中，斯=[lg

n\,記Sn為數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和，則42024=；S2024=.

答案：34965

解析：V?n=[lgn],

，當(dāng)時(shí)，斯=[坨5=0;

當(dāng)10W〃W99時(shí)，斯=[lgm=1;

當(dāng)100W〃W999時(shí)，〃〃=[lg5=2;

當(dāng)1000W〃W9999時(shí)，a?=[lgn]=3,

?■.a2024=[lg2

024]=3,S2024=9X0+90X1+900X2+1025X3=4965.

學(xué)生用書I第130頁

第二節(jié)等差數(shù)列

［學(xué)習(xí)要求］1.能夠利用公式求等差數(shù)列中的指定項(xiàng)、前〃項(xiàng)和.2.會(huì)利用等差數(shù)列的定

義、等差中項(xiàng)證明數(shù)列是等差數(shù)列.3.掌握利用等差數(shù)列的性質(zhì)求等差數(shù)列指定項(xiàng)(或其

項(xiàng)數(shù))、公差；利用等差數(shù)列的單調(diào)性求前w項(xiàng)和的最值.

■必備知識(shí)自主梳理。

［知識(shí)梳理］

知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的有關(guān)概念

1.定義

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這

個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

2.等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)a,A,6組成的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做，與6的等差中項(xiàng),根據(jù)等差數(shù)列的

定義可知，24=a+6.

知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列的有關(guān)公式

1.通項(xiàng)公式

an=ai+(n—1)d=nd+(的一］)=當(dāng)dWO時(shí)，a”是關(guān)于〃的一次函數(shù).

2.前〃項(xiàng)和公式

+(n—l)d

n(Gi+a)n(n—1)

Sn=nS—HCli

2n2

”的二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項(xiàng).

知識(shí)點(diǎn)三等差數(shù)列的常用性質(zhì)

1.通項(xiàng)公式的推廣：詼=而+(n—m)d(mm￡N*).

2.若｛〃〃｝為等差數(shù)列，且左+/=機(jī)+〃(k,I,m,〃￡N"),則。化+〃/=斯"~斯.

3.若｛斯｝是等差數(shù)列，公差為d,則%ak+m，ak+2m，…Qk,m^N*)是公差為md的

等差數(shù)列.

4.數(shù)歹！JSmfs2m—Sm,S3m—S2",…也是等差數(shù)列.

5.S2〃T=(2n—1)an.

6.等差數(shù)列｛跖,｝的前n項(xiàng)和為S",｛手｝為等差數(shù)列.

學(xué)生用書I第131頁

［小題診斷］

1.在等差數(shù)列｛斯｝中，已知〃5=11，。8=5,則。10等于()

A.-2B.-1

C.lD.2

答案：C

解析：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為“，由題意得產(chǎn)="】+4/解得卜=1%

(5=的+7d,(d=-2,

=

an—2〃+21,

???〃K)=—2X10+21=1.

2.在等差數(shù)列｛斯｝中，已知〃3+。5+〃7=15,則該數(shù)列前9項(xiàng)和S9=()

A.18B.27

C.36D.45

答案：D

解析：在等差數(shù)列｛斯｝中，〃3+〃5+。7=3〃5=15,所以〃5=5,所以59=%必乂9=等*9

=9^5=9X5=45.

3.(2021.上海卷)已知等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為3,公差為2,則〃io=.

答案：21

解析：設(shè)公差為d,則aio=ai+9d=21.

4.等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”.若的=2,8=12,則°6=.

答案：12

解析：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,則S3=3ai+3d,所以12=3X2+3%解得d=2,所以

06=01+51=2+5X2=12.

幅關(guān)鍵能力重點(diǎn)探究。

考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的計(jì)算

［例1］(2020?全國(guó)II卷)記S”為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若防=-2,痣+。6=2,則Sio

［答案］25

［解析］法一:設(shè)等差數(shù)列｛a〃｝的公差為d,則由°2+。6=2,得的+/+(71+5d=2,即一4

+6d=2,解得d=l,所以No=lO義(-2)+等-1A上yQ義1=25.

法二：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,因?yàn)椤?+。6=2〃4=2,所以〃4=1,所以d=&二生=

號(hào)之=1,所以No=lOX(-2)+等Xl=25.

口方法總結(jié)口

解答等差數(shù)列運(yùn)算問題的通法

L等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)的和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式

轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及的,an,d,n,5在五個(gè)量，知其中三個(gè)就

能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想.

由跟蹤訓(xùn)練

1?數(shù)列｛高｝是等差數(shù)列，且0=1，俏一土那么42024

死案,—1011

口木.1012

解析：設(shè)等差數(shù)列｛W的公差為d,因?yàn)椤?=1,。3=一右所以mI=L所以3

77?

=1+2(7,解得d=l,所以---=l+n—l=n,所以斯=一一1,所以〃2024=---------1=一

a九十1712024

20221011

20241012,

考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明

[例2](2021?全國(guó)甲卷)已知數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記a為｛斯｝的前〃項(xiàng)和，從下面

①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列；②數(shù)列｛圖｝是等差數(shù)列；

③〃2=3。1.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

[解]選①②作為條件，證明③.

設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,因?yàn)椋模堑炔顢?shù)列，所以2J豆=店+房，即

2J2cli+d=y/^+J3cli+3d,兩邊平方，得4(2〃i+d)=〃i+3〃i+3d+

2^1ar(3ai+3d),整理得4〃i+d=2jai(3ai+3d),兩邊平方，得16於+8〃11+心=

4(3青+3〃id),化簡(jiǎn)得4諼一4〃14+法=0,即(2〃1一〃)2=0,所以d=2〃i,則〃2=。1+

d=3〃i.

選①③作為條件，證明②.

設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d.

因?yàn)椤?=3的，即〃i+d=3m,所以d=2〃i.

所以等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，⑺2°d=nai+?(\=n2^.

又〃i>0,所以，￡=小河.

貝qjs,+i-(〃+i)外向所以數(shù)列｛、廊｝是公差為的等差數(shù)列?

選②③作為條件，證明①.

設(shè)等差數(shù)列｛、/￡｝的公差為d,因?yàn)?/端，+3a1=2夜7,所以

d=，豆—/豆=2夜?一7^7=7^?,則等差數(shù)列｛的通項(xiàng)公式為(n—1)

=12

4a[=ny[a[,所以S〃=層0，當(dāng)〃22時(shí)，anSn~Sn-\—ria\—(九一1)a\=(2九一1)a\,

且當(dāng)〃=1時(shí)，上式也成立，所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為斯=(2n—1)a\,則斯+1—?！?

(2〃+1)a\~(2n—1)ai=2ai,所以數(shù)列｛斯｝是公差為2內(nèi)的等差數(shù)列.

□方法總結(jié)口

等差數(shù)列的判定與證明的方法

方法解讀適合題型

對(duì)于數(shù)列｛%｝,“—a”T(〃)2,

定義法〃GN*)為同一常數(shù)㈡(斯｝是等

解答題

差數(shù)列

中的證

a

對(duì)于數(shù)列{an},2aLi=n+

等差明問題

a2(〃23,7?eN*)成立㈡{%}

中項(xiàng)法n

是等差數(shù)列

a?=pn+q(p.q為常數(shù))對(duì)任意

通項(xiàng)

的正整數(shù)〃都成立㈡｛斯｝是等

公式法

差數(shù)列填空題

前n驗(yàn)證S?=AM2-FBW(A,B為常中的判

項(xiàng)和數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)〃都成立Q定問題

公式再｛6｝是等差數(shù)列

學(xué)生用書I第132頁

也跟蹉訓(xùn)空

2.(2021?全國(guó)乙卷)記S”為數(shù)列｛詼｝的前w項(xiàng)和，兒為數(shù)列｛SJ的前〃項(xiàng)積，已知

Sn%

2.

(1)證明：數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列；

(2)求｛為｝的通項(xiàng)公式.

(1)證明：由幻=S-S2可得，

瓦，71=1,

S'=J4，n>2.

、％-1

由三+工=2知，

Sn%

71?1a91

當(dāng)”=1時(shí)，怖+5=2,即：+三=2,所以"=Si=I當(dāng)“22時(shí)，備+；=2,即2與=

bn-l

2"i+l,

即為―6“一i=|,故數(shù)列｛兒｝是首項(xiàng)為|,公差為綱等差數(shù)列.

(2)解：由(1)知，6〃=|+(?—1)

故當(dāng)時(shí)，S〃=4="1,Si也符合該式，

bn-ln+1

即S,=W(〃GN*),從而的=邑=三，

n+129

當(dāng)時(shí)，a=S-S-i=^~—=-—1―,m不符合該式，

nnnn+1nn(n+1)

(31

5,n=1,

所以斯=〈i

------,n>2.

、n(n+1)

考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

⑧角度(一)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

[例3](1)在等差數(shù)列｛斯｝中，.+3a8+的5=120,則2a9一的0的值是()

A.20B.22

C.24D.-8

(2)已知數(shù)列｛斯｝,都是等差數(shù)列,且m=2,bi=-3,47—3=17,則(72024—62024

的值為.

［答案］(1)C(2)4051

［解析］(1),.,(71+348+415=548=120,

??(78=24,??2。9—410=。1。+。8—6/10=^8=24.

(2)令C"=a"一b",因?yàn)椋梗?｛6“｝都是等差數(shù)列,所以｛c“｝也是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛0｝的公

差為d,由已知，得ci=0—bi=5,C7=17,則5+6d=17,解得1=2,故02024—62024=

C2024=5+2023X2=4051.

口方法總結(jié)口

已知為等差數(shù)列，d為公差：

L通項(xiàng)公式的推廣：an