2025年人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：雙曲線方程及其性質(zhì)（六大考點）

考點鞏固卷19雙曲線方程及其性質(zhì)（六大考點）

考點01：雙曲線的定義（妙用）

考點02:雙曲線的焦點三角形問題

考點03:雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

考點04:求雙曲線離心率及取值范圍

考點05:雙曲線的中點弦問題

考點06:直線與雙曲線的綜合問題

屋方維技巧及考點利依

考點01:雙曲線的定義（妙用）

（結(jié)論1：）歸用―伊司=2a雙曲線第一定義。

,、22

（結(jié)論2：）標準方程,-￡=1由定義即可得雙曲線標準方程。

（結(jié)論3：）個=e>1雙曲線第二定義。

22

雙曲線二—2r=1（a>0,b>o）的焦半徑公式：月（―c,0）,E（c,0）

ab

當(dāng)Af（Xo，%）在右支上時，|也明\=exQ+a,\MF2\=exQ-a.

當(dāng)加（七,%）在左支上時，|川耳|=一6九0-。，|〃4|=-ex0+a.

證明：由第二定義得：M在右支時，

\MF^=e\x0+—J=exa+6Z,|A￡E,|=e\x0——}=ex0-a

f2\<2、

M在左支時,\MF^e^-x-^~

0=—a-ex0,\MF2\=e———x0=a—ex。。

Ic

22

1.已知雙曲線C:二-匕=l（a>0）的左、右焦點分別為片,耳，直線2尤+3y+%=0（%eR）與c的一條漸近

a4

線平行，若點。在c的右支上，點B（JGI）,貝『。引+|。閶的最小值為（）

A.753-3B.6C.屈-6D.8

22

2.若點尸是雙曲線C：上-匕=1上一點，F(xiàn)t,F?分別為C的左、右焦點，貝「耳|=8"是尸園=16”的

169

()

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.充分不必要條件

f3

3.已知雙曲線C:——y2=i的右焦點為下，動點M在直線/：x=彳上,線段F70交C于尸點，過尸作/的垂

32

PR

線，垂足為R，則市的值為（）

A-TB-fC-TD-T

4.過雙曲線?一《=1的右支上一點P,分別向OC：（x+4）2+y2=3和OCz：（x-4）2+y2=i作切線，切點分

別為M,N,則（兩+兩）?兩■的最小值為（）

A.28B.29C.30D.32

5.已知NF2是雙曲線或橢圓的左、右焦點，若橢圓或雙曲線上存在點尸，使得點已國=2|尸閶，且存在

則稱此橢圓或雙曲線存在“阿圓點”，下列曲線中存在“阿圓點”的是（）

R…1

22D.*端=1

A.D.-----1-------=1C.x-y=l

36351615

丫22\PF\

6.己知％F?為雙曲線C:上-匕=1的左、右焦點，點尸是C的右支上的一點，則T的最小值為（

42\PF2\

A.16B.18C.8+4及D.9+”也

2

7.設(shè)點P是圓f+（y—3）2=l上的一動點，7（0,2）,5（0-2）,則|冏-|網(wǎng)的最小值為（）.

A.逑B.應(yīng)C.6D.12

55

22

8.已知雙曲線C：土一匕=1的左右焦點為耳，F(xiàn)2,點尸在雙曲線C的右支上，則|P瑪|-|尸蜀=（

169

A.-8B.8C.10D.-10

9.設(shè)片，尸2為雙曲線C：y2=i的左、右焦點，。為雙曲線右支上一點，點P（0,2）.當(dāng)|?！陓+歸。|取

最小值時，|。&|的值為（）

A.拜0B.6+&C.#-2D.76+2

22若I黑的最小值

10.已知耳工是雙曲線斗-斗■=1（〃>04>0）的左、右焦點,P為雙曲線左支上一點,

ablPFll

為8a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）

A.(1,3)B.(1,2)C.(1,3]D.(1,2]

考點02：雙曲線的焦點三角形問題

22

已知雙曲線方程為三一2r=1（4>03>。）.如圖，頂點2（公,%）在第一象限,

ab

/桃耳二%/咫工=，（?！?，）,//2工=7.對于雙曲線焦點三角形，有以下結(jié)論:

1.如圖，月、尸2是雙曲線的焦點，設(shè)尸為雙曲線上任意一點，記/月尸則的

及

面積S=...—?

CZ

tan—

2

證明：由余弦定理可知國閶2=\MF^\+\MF^-2\MF\-\MF^cos6.

由雙曲線定義知||訝|—|/月||=2a,可得|叫「+|沙「一2|崢卜|西|=44

2b之

所以4c2=2\MF^-\MF\+ACT-2\MF^-\MF^COSO^>\MF^\MF^=

1-cos^

/-2sin—cos一

22b23,

~e2

2sin一tan

22

2.如圖，有I"小歸周=一；，4=丁工

3.離心率6=生=工=sin?=sin(a+0.

2aasina-sin/?sinor-sinp

4.若|尸5=4歸段，則有心■糜="/（）2_02.

Vi-A

5.若|。目=2,則有SARPF、="J尤-M.

6.焦半徑公式：如圖，對于雙曲線，歸司=倏+名歸閭=做-a,對雙曲線，其焦半徑的范圍為

[c-m,+00).

7.雙曲線中，焦點三角形的內(nèi)心I的軌跡方程為x=a（-b<y<b,y^O）.

證明：設(shè)內(nèi)切圓與？月，尸月，月月的切點分別為”,N,T,則由切線長定理可得

憶網(wǎng)=1則，閨叫=|耳外,|取V|TET|，因為忸耳H尸與上國"H用MT電H取1=2,

閨聞=閨刀+后刀=2c,所以隹T|=c-a,所以點T的坐標為（。,0）,所以點/的橫坐標為定值a.

22

8.如圖，直線丁=原左力0）與雙曲線C:三-與=1（?！?〉0）交于4,3兩點，。的左右焦點記為”,歹，

ab~

則AbZb為平行四邊形.

結(jié)論9.已知具有公共焦點片,鳥的橢圓與雙曲線的離心率分別為02,P是它們的一個交點，且

=23,則有(地

ZFXPF2)2+(￡￡^)2=1.

6

證明：依題意，在公耳。鳥中，由余弦定理得閨閭2=戶用2+戶用2—z尸耳Hpq.cos2。

=|P^|2+|P^|2-2|P^|-|P^|.(cos2^-sin2^)=sin2冽尸用十|尸閭y+cos2現(xiàn)尸耳卜1尸閭y,

結(jié)論10.如圖，過焦點尸2的弦A5的長為7,則AA明的周長為4m+2人

11.已知雙曲線二-《=1（。>0,b>0）的左、右焦點分別為乙，F(xiàn)2,過尸2且斜率為與的直線與雙曲

ab7

線在第一象限的交點為4若山丹|=|4區(qū)],則此雙曲線的標準方程可能為（）

22

12.已知雙曲線C:[-2=im>0力>0）的左焦點為尸，過下的直線/交圓/+丫2="于A,3兩點，交C

ab

的右支于點。，若|即=|4?|=忸。，則C的離心率為（）

A2715口歷「3Mn質(zhì)

5555

22

13.已知雙曲線C：2=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,點/是雙曲線C右支上一點，直

ab

線片加交雙曲線C的左支于N點.若由N|=2,叵M=3,|MN|=4,且△叫工的外接圓交雙曲線C的一

條漸近線于點則|%|的值為（)

「3行

A.6B.逑D.3

22

22

14.如圖，已知G，8為雙曲線二-51的焦點,過F作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P,且NPFE=30。,

ab2

）

B.y=±\[lx

C.y=+\[?>xD.y=±2x

22

15.雙曲線c：0-斗=1的左、右頂點分別為A，劣，左、右焦點分別為與F2,過月作直線與雙曲線C的

ab

___.1___.1

左、右兩支分別交于N兩點.若且cosNGN8=z，則直線血4與跖的斜率之積為（）

A.-B.-C.-D.-

2323

22

16.已知雙曲線C:5-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)?.過F?作直線/與雙曲線C的右支交于

ab

A,B兩點,若的周長為106,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.1冬若B.冬也C.；,2D.[2,+功

22

17.已知雙曲線C：T-1r=1（。>02>0）的左，右焦點分別為耳耳，以月入為直徑的圓在第一象限與雙曲

線C交于一點P,且人尸耳耳的面積為4,若雙曲線上一點到兩條漸近線的距離之積為（，則該雙曲線的離心

率為（）

A.2A/2B.&C.73D.72

22

18.已知雙曲線-2=1（〃〉0/>0）的左焦點為尸，過坐標原點。的直線與雙曲線。交于",N兩點，

ab

且點M在第一象限，滿足OM=OP.若點P在雙曲線C上，且而=4而，則雙曲線C的離心率為（）

A好B.巫C.2后D.逐

22

22

19.已知￡,入分別是雙曲線=r-4y=1（“>0,6>0）的左、右焦點，過片作雙曲線C的漸近線丁=I）'了的垂線，

aba

垂足為尸，且與雙曲線C的左支交于點Q,若詼=2%（。為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）

A.V2+1B.&C,272D.孚

22

20.已知片、約為雙曲線L一當(dāng)=1（。>0,6>0）的兩個焦點，尸為雙曲線右支上的動點（非頂點），貝IUPKK

ab

的內(nèi)切圓恒過定點（）.

考點03:雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

雙曲線的幾何性質(zhì)

焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上

“2,y2“2

標準方程^2-^2=l（a>0?Z?0）/一"=l（a>0，》>0）

圖形

范圍或左一〃yW-a或定。

對稱性對稱軸：坐標軸;對稱中心：原點

性頂點坐標Ai（一。,0）,42（40）4（0,-a）,，2（0,a）

質(zhì)ba

漸近線y=±~x=±x

Jayi

離心率e=，，e@（l,+?）,其中c=\la2+b2

2.要點理解

（l）Bi（O,-Z＞）,B2（0,力不是雙曲線上的點，不能稱為頂點.

⑵雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小，e越大，開口越大.

⑶雙曲線的漸近線方程要注意焦點所在軸的位置.

（4）焦點到漸近線的距離為b.

3.等軸雙曲線：實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.為了便于研究，方程一般寫為如一爐二加的邦）.

21.下列選項中，所得到的結(jié)果為4的是（）

A.雙曲線的焦距

B.8cos-5。-4的值

C.函數(shù)y=tan］：x-：）的最小正周期

D.數(shù)據(jù)2,2,4,5,6,7,7,8,10,11,15,16的下四分位數(shù)

22.過雙曲線C:￡-y2=l的右焦點尸作與其中一條漸近線垂直的直線分別與這兩條漸近線交于A,8兩

a

__.7__.1___

點，^OF=-OA+-OB,則該雙曲線的焦距為（）

A.2B.3C.273D.4

23.若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線Y—,2=2的右焦點，則加的值為（）

A.-4B.4C.-8D.8

24.若拋物線產(chǎn)=2如的準線經(jīng)過雙曲線——產(chǎn)=2的右焦點，則機的值為（）

A.4B.-2C.2D.-4

2

25.已知雙曲線（7:/+工=1（,”0）的一條漸近線方程為y=缶，則C的焦點坐標為（）

m

A.（±^,0）B.（0,±g）C.（±1,0）D.（0,±l）

26.已知雙曲線C：/一/=力。彳0）的焦點為（0,±2）,則c的方程為（）

A.x2-y2=1B.j2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2

27.等軸雙曲線經(jīng)過點（3,-1）,則其焦點到漸近線的距離為（）

A.20B.2C.4D.72

28.雙曲線:匯-￡=1和雙曲線口：《=1具有相同的（）

4242

A.焦點B.頂點C.漸近線D.離心率

2222

29.已知橢圓G：J+M=l（a>b>0）與雙曲線C2:j-與=1（加>0）有公共焦點，記G與G在無軸上方的

abmb

兩個交點為A,B,過G的右焦點作1軸的垂線交。2于M，N兩點，若|A同二殍則G的離心率為

（）

A.-B.-C.-D.蟲

7352

30.已知雙曲線L-匕=1（根>0,">0）與橢圓上+工=1有相同的焦點，則I+L的最小值為（）

mn43mn

A.6B.7C.8D.9

考點04:求雙曲線離心率及取值范圍

離心率

（1）離心率的意義：e越大，開口越大

22

在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度.在雙曲線二-與=1（?！?］〉0）中，雙曲線的“張口”

ab

大小是圖象的一個重要特征.因為e=￡=①把=/1+4,所以當(dāng)白的值越大，漸進線y=?x的

aa\a'-aa

斜率越大，雙曲線的“張口”越大，e也就越大，故e反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率越大,

它的“張口”越大.

⑵離心率的求法

①直接法：若可求得a,c,則直接利用e=§得解.

②齊次式法：若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程0。2+/碗+廣層=0⑦，q,r為常數(shù)，且°8），則轉(zhuǎn)化為關(guān)于

e的方程pe2+q-e+r=0求解.

22

31.過雙曲線C:J-2=l（a>0,b>0）的右焦點廠向雙曲線C的一條漸近線作垂線，垂足為￡>,線段陽

ab

與雙曲線C交于點E,過點E向另一條漸近線作垂線，垂足為G,若空加=!，則雙曲線c的離心率

為（）

A.73B?&C.空D.述

33

22

32.已知居，歹2分別為雙曲線C：'-斗=l（a>0,6>0）的左，右焦點，過歹2作C的兩條漸近線的平行線，

ab

與兩條漸近線分別交于4B兩點.若tan/p=g,則C的離心率為（）

A.3B.y/sC.73D.y/2

22

33.已知雙曲線C:=-1=1（。>0）>0）的左右焦點分別為4居，過點久且與漸近線垂直的直線與雙曲

ab

線C左右兩支分別交于A8兩點，若tan/G2g=W，則雙曲線的離心率為（）

A.叵B.至C.好D.72

552

22

34.己知雙曲線C:3-與=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為久，心，若C上存在點P,使得歸川=3|尸國，

ab

則C的離心率的取值范圍為（）

A.[夜,+8）B.（1,qC.[2,+oo）D.（1,2]

22

35.雙曲線C：，-方=1（。>0,6>0）的左、右焦點為耳，F(xiàn)2,直線/過點F?且平行于C的一條漸近線，

交C于點尸，若西質(zhì)=0,則C的離心率為（）

A.6B.2C.75D.3

22

36.己知雙曲線。:=-2=1（4>0）>0）的左、右焦點分別為用，鳥，尸是雙曲線C的一條漸近線上的點,

ab

3

且線段尸片的中點N在另一條漸近線上.若cos/PBK=g,則雙曲線。的離心率為（）

55l

A.-B.—C.2D.布

34

22

37.已知雙曲線C:J—J=l（a>0,b>0）,直線y=。與雙曲線C交于M,N兩點，直線y=-匕與雙

曲線C交于尸，。兩點，若|MN|=&|PQ|，則雙曲線C的離心率等于（）

A.若B.VsC.正D.好

33

22

38.已知與，F(xiàn)?分別為雙曲線,-==1（。>0,6>0）的左、右焦點，。為坐標原點，點2是雙曲線上位于

第二象限的點.直線明與雙曲線交于另一點A,2|0理=由同，2AB=-M.則雙曲線的離心率為（）

A.V13B.2&C.V1TD.正

22

39.如圖，已知M為雙曲線E:=-1=l（a>0/>0）上一動點，過河作雙曲線E的切線交無軸于點A,過

ab

22

40.設(shè)雙曲線C：——當(dāng)=1（。>02>0）的左、右焦點分別為月，F(xiàn)2,過坐標原點。的直線與雙曲線C交

ab

于A,8兩點，忻可=2閨⑷，亭.孽=2〃,則C的離心率為（）

A.gB.76C.y/5D.2

考點05:雙曲線的中點弦問題

雙曲線的中點弦斜率公式

AB

（1）若M（x0,y0）為雙曲線5一3=1弦力B（不平行曠軸）的中點，貝J

b22

心3.k.=滔=e—1

（2）若M（xo.yo）為雙曲線'一卷=1弦AB（AB不平行y軸）的中點，貝!）

a21

kAB-kOM=廬=e2-1

在雙曲線總一3=1中，以P（q，y。）為中點的弦所在直線的斜率fc=g；

22

41.已知雙曲線C：亍-方=1（。>0力>0）,過其右焦點廠作一條直線分別交兩條漸近線于A3兩點，若A

為線段BP的中點，且。4,2尸，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±2xB.y=±y/3x

C.y=±A/5XD.y=~~^x

22

42.已知雙曲線0：^—5=1（〃〉0乃>0）的左焦點為小圓O:x2+y2=".若過目的直線分別交。的左、

ab

右兩支于兩點，且圓。與耳5相切于點則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.若6=耳，則直線了=-氐與C沒有交點

B.若“為線段耳8的中點，則離心率e=J^

C.Af不可能為線段A3的中點

32

D.若C的離心率為3,寫到C的漸近線的距離為2e，貝l|A四=半

22

43.在平面直角坐標系g中，過點P（-3,0）的直線/與雙曲線C:‘方=1（"0,6>0）的兩條漸近線相交

于A,8兩點，若線段AB的中點是M（l,3）,則C的離心率為（）

A…B.1C.aD.巫

222

22

44.已知雙曲線C:f-]=l（a>0,b>0）,耳（-c,0）、居（c,0）分別為左、右焦點，若雙曲線右支上有一點

ab

....ULlLtULU1

尸使得線段尸耳與y軸交于點區(qū)忸。卜|尸閶，線段EK的中點H滿足用/.尸8=0,則雙曲線的離心率為（）

A.3拒+屈B.3叵一曬c7+3指D.7-36

22

22

45.在平面直角坐標系尤Oy中，已知直線/與雙曲線C:二-2=1（。>0,6>0）的左右兩支分別交于M,N兩

ab

點，E是線段"N的中點，尸是》軸上一點（非原點），且1PMl=|PN|,3麗?胡=5^,則C的離心率為（）

A.41B.73C.2D.3

22

46.已知F是雙曲線E：A-2=1（a>0,b>0）的右焦點，。是坐標原點，尸是。尸的中點，雙曲線E

ab

上有且僅有一個動點與點尸之間的距離最近，則E的離心率的取值范圍為（）

A.|>+00]B.[2,+oo）C.（1,2]D.[3,+oo）

22

47.已知雙曲線C：二-斗=1（。>0,6>0）的右焦點為兄2為虛軸上端點.M是砥中點，。為坐標原點，

ab

0M交雙曲線右支于N,若FN垂直于x軸，則雙曲線C的離心率為（）

A.五B.2C.舊D.這

3

48.在圓錐PO中，已知高P0=2,底面圓的半徑為4,M為母線PB的中點，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列

四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個命題，正確的個數(shù)為（）

①圓的面積為4兀；

②橢圓的長軸長為歷；

3

③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為：；

④拋物線的焦點到準線的距離為疲

5

A.1個B.2個C.3個D.4個

22

49.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:5-2=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為片，K,過片的

ab

直線與雙曲線C的右支相交于點P,過點Q月作ONLPGBML尸片，垂足分別為且M為線段PN

的中點，|ON|=a,則雙曲線C的離心率為（）

A9RA/^+10A/3+1nV13

222

22

50.已知雙曲線C：L-2L=1右支上的一點p,經(jīng)過點尸的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A,B

45

兩點.若點42分別位于第一、四象限，。為坐標原點.當(dāng)點P為A2的中點時，|國，礪卜（）

81279

A.—B.9C.—D.—

842

考點06:直線與雙曲線的綜合問題

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為（％,為）,（.％）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或y）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為王+3、%%（或"+%、％%）的形式；

（5）代入韋達定理求解.

22

51.已知雙曲線C:1—==l（a>0,6>0）,月，外分別是C的左、右焦點.若C的離心率e=2,且點（4,6）在

ab

c±.

（I）求C的方程;

(2)若過點外的直線/與C的左、右兩支分別交于48兩點，與拋物線V=16x交于P,。兩點，試問是否存在

12

常數(shù)2,使得西一網(wǎng)為定值？若存在，求出常數(shù)4的值；若不存在，請說明理由.

52.已知雙曲線的中心為坐標原點。，點尸(2,-0)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.

(1)求雙曲線的標準方程；

(2)若過點。(0,2)的直線/與雙曲線交于E,尸兩點，AOEF的面積為2后，求直線/的方程.

53.如圖，已知雙曲線C：5-￡=l(a>0,b>0)的離心率為2,點］竽,2］在C上，A,B為雙曲線的左、

右頂點，尸為右支上的動點，直線AP和直線x=l交于點N,直線NB交C的右支于點。.

yfx=i

⑴求c的方程；

(2)探究直線尸。是否過定點，若過定點，求出該定點坐標，請說明理由；

(3)設(shè)S/,S2分別為"BN和ANP。的外接圓面積，求居的取值范圍.

22_

54.已知雙曲線C:=-1=l(a>0力>0)的虛軸長為2后，點尸(3,-2)在C上.設(shè)直線/與C交于4,8兩點(異

ab

于點P),直線A尸與BP的斜率之積為g.

⑴求C的方程；

(2)證明：直線/的斜率存在，且直線/過定點.

22

55.已知橢圓C：L+匕=1的左右焦點分別是不鳥，雙曲線E的頂點恰好是F、、F”且一條漸近線是V=%.

(1)求E的方程:

⑵若E上任意一點H(異于頂點)，作直線期交C于AB,作直線得交C于P,Q,求|的+4儼。|的最小

值.

22

56.己知雙曲線C：，-斗=l(a>0,b>0)的實軸長為2,設(shè)歹為C的右焦點，T為C的左頂點，過尸的直

ab

線交C于A,B兩點，當(dāng)直線A3斜率不存在時，的面積為9.

⑴求C的方程；

(2)當(dāng)直線AB斜率存在且不為。時，連接7A,分別交直線％于P,。兩點，設(shè)M為線段的中點，

證明：AB1FM.

22

57.已知雙曲線C芯-方=1(。>0,6>0)的一條漸近線方程為x+0y=O,點網(wǎng)2后6)在C上.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵過雙曲線C的左焦點R作互相垂直的兩條直線〃4,且4與C交于A,B兩點，4與C交于9E兩點，M為

線段的中點，N為線段DE的中點，證明：直線過定點.

22

58.設(shè)雙曲線C：三-1=1(a>0，b>0)的一條漸近線為x-3y=0,焦點到漸近線的距離為1.A，

ab

4分別為雙曲線C的左、右頂點，直線/過點7(2,0)交雙曲線于點M,N,記直線以&，N4的斜率為左,

k?.

⑴求雙曲線。的方程；

(2)求證》為定值.

22

59.設(shè)雙曲線E:二-2=1(。>0力>0)的左、右頂點分別為A,B,左、右焦點分別為《，F(xiàn)2,\F^\=2y[5,

且E的漸近線方程為y=±gx,直線/交雙曲線E于P,。兩點.

(1)求雙曲線E的方程；

(2)當(dāng)直線/過點(4,0)時，求衣.雙的取值范圍.

60.已知雙曲線uryFm〉。)的左、右焦點分別為4,且，點尸為雙曲線上一點，且囪日明卜4

(1)求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；

⑵已知直線K：，=辰+1與雙曲線c交于M,N兩點，且凡"，其中。為坐標原點，求％的值.

參考答案與試題解析

考點鞏固卷19雙曲線方程及其性質(zhì)（六大考點）

考點01：雙曲線的定義（妙用）

考點02:雙曲線的焦點三角形問題

考點03:雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

考點04:求雙曲線離心率及取值范圍

考點05:雙曲線的中點弦問題

考點06:直線與雙曲線的綜合問題

春龍桀技巧5次點刮珠

考點01:雙曲線的定義（妙用）

（結(jié)論1：）歸用―/司=2。雙曲線第一定義。

,、22

（結(jié)論2：）標準方程營=1由定義即可得雙曲線標準方程。

（結(jié)論3：）個=e>1雙曲線第二定義。

22

雙曲線j—2r=1（a>0,b>o）的焦半徑公式：耳（―c,0）,F2（C,0）

ab

當(dāng)M5,%）在右支上時，|MF}\=ex0+a,\MF?|=ex0-a.

當(dāng)M（%,%）在左支上時，|MF；|=-ex。一a,|Mg|=-ex。+a.

證明：由第二定義得：M在右支時，

Q

M在左支時,|A/fJ|=X-----=-a—€XQ,||=e-------x0—ci-cx0°

22

1.已知雙曲線C:=-匕=l（a＞0）的左、右焦點分別為G，B，直線2尤+3y+m=0（加eR）與c的一條漸近

a4

線平行，若點。在c的右支上，點3（JGI）,貝”。引+|。閶的最小值為（）

A.后一3B.6C.753-6D.8

【答案】C

【分析】由直線2x+3y+m=0（meR）與C的一條漸近線平行，可求得a=3,從而可求出c,則可求出片,入

的坐標，結(jié)合圖形可知|。句+|%RZ）3|+|必|-2aN忸耳|-2a,從而可求得答案.

fV22

【詳解】因為雙曲線C：J-匕=1（。＞0）,所以雙曲線的漸近線方程為y=±-X,

a4a

因為直線2%+3y+機=0（機wR）與C的一條漸近線平行，

所以2'=2得。=3,

a3

所以。2=〃2+/=9+4=13,

所以月（—瓦,0）,耳（屈,0）,

因為8（屈,1）,所以忸司=J（2可＞+儼=后,

因為點。在C的右支上，

所以|D31+|盟|=|081+|。國-2a2忸耳|-2a=屈-6,

所以||+|*|的最小值為屈一6,

故選：C

22

2.若點尸是雙曲線C：三-乙=1上一點，片,F?分別為C的左、右焦點，貝臚|丹;|=8"是“忸囚=16”的

169

()

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.充分不必要條件

【答案】D

【分析】首先求得焦半徑的最小值,然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.

【詳解】a=4,b=3,c=>/42+32=5,

當(dāng)點尸在左支時，1PF/的最小值為c-a=l,

當(dāng)點尸在右支時，IPF/的最小值為a+c=9,

因為耳|=8,則點P在雙曲線的左支上，

由雙曲線的定義|尸閭-|尸司=|尸閭-8=2a=8,解得|正名=16；

當(dāng)I?詞=16,點P在左支時，|母;|=8；在右支時，|/蜀=24；推不出忸耳|=8；

故為充分不必要條件，

故選：D.

丫2