2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案1

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案考試時(shí)間120分鐘滿分150分第I卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.一個(gè)幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（） B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查俯視圖，根據(jù)俯視圖定義直接判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，的俯視圖是A選項(xiàng)圖形，故選：A．2.在中，，如果，，那么的正切值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，熟記三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3.如圖，兩條直線被三條平行線所截，若，，則為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由兩條直線被三條平行線所截，可得，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，熟練掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：兩條直線被三條平行線所截，，，，，，故選：B．4.如圖，小明同學(xué)利用相似三角形測(cè)量旗桿的高度，若測(cè)得木桿長，它的影長為，旗桿的影長為，則旗桿的高度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，根據(jù)“同一時(shí)刻物高與影長成正比”列式計(jì)算即可，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：同一時(shí)刻物高與影長成正比，，木桿長，它的影長為，旗桿的影長為，，，故選：D．5.已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先分別求出的值，再進(jìn)行比較即可，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，，故選：B．6.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色．一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)黑色棋子和1個(gè)白色棋子，每個(gè)棋子除顏色外都相同．從中隨機(jī)摸出一個(gè)棋子，記下顏色后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)棋子，則兩次摸到相同顏色的棋子的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率等知識(shí)點(diǎn)，先畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果，再找出兩次摸到相同顏色的棋子的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算，熟練掌握其畫圖或列表得出所有可能結(jié)果數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到相同顏色的棋子的結(jié)果數(shù)為5種，∴兩次摸到相同顏色的棋子的概率，故選：C．7.一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在象限可以判定的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)來確定直線所經(jīng)過的象限，逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、雙曲線經(jīng)過第一、三象限，則，則一次函數(shù)應(yīng)該經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；B、雙曲線經(jīng)過第一、三象限，則，則一次函數(shù)應(yīng)該經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；C、雙曲線經(jīng)過第二、四象限，則，則一次函數(shù)應(yīng)該經(jīng)過第一、三、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；D、雙曲線經(jīng)過第二、四象限，則，則一次函數(shù)應(yīng)該經(jīng)過第一、三、四象限，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．8.如圖，在邊長都為1的方格紙上，小明同學(xué)繪制了藝術(shù)字體“A”，已知點(diǎn)，都在格點(diǎn)上，點(diǎn)在格線上，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，作交于點(diǎn)，交于，由圖可得：，，，，則，從而得到，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交于點(diǎn)，交于，，由圖可得：，，，，，，即，，故選：D．9.如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處．若，則為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，利用銳角三角函數(shù)即可求解，此題考查了翻折的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，∴，∴，解得或（舍去），∴，故選：B10.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與點(diǎn)都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，連接，，則的面積為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與點(diǎn)都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，求出、的坐標(biāo)，從而得到直線的解析式，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，求出、的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與點(diǎn)都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)直線解析式為，將，代入解析式得：，解得：，直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，，故選：A．第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．）11.已知點(diǎn)M（1，2）在反比例函數(shù)的圖象上，則k＝____．【答案】2【解析】【分析】把點(diǎn)M（1，2）代入反比例函數(shù)中求出k的值即可．【詳解】解：把點(diǎn)M（1，2）代入得：xy=1×2=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式．12.已知，若b+d≠0，則＝_____．【答案】【解析】【分析】分別設(shè)a=2m，c=2n，根據(jù)可用m、n表示出b、d，代入所給代數(shù)式即可得答案.【詳解】設(shè)a=2m，c=2n，∵，∴b=3m，d=3n，∴==，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比性質(zhì)的應(yīng)用，若，則=k，熟練掌握等比性質(zhì)是解題關(guān)鍵.13.為了估計(jì)魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中打撈條魚，在每一條魚身上做好記號(hào)后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈條魚．如果在這條魚中有條魚是有記號(hào)的，那么估計(jì)魚塘中魚的條數(shù)為______條．【答案】【解析】【分析】本題考查了統(tǒng)計(jì)中用樣本估計(jì)總體的思想，根據(jù)樣本中有記號(hào)的魚所占的比例等于魚塘中有記號(hào)的魚所占的比例，即可求得魚的總條數(shù)．【詳解】解：估計(jì)魚塘中魚的條數(shù)為（條），故答案為：．14.2023年第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”將自然奇觀與人文精神進(jìn)行巧妙融合，其中浪潮設(shè)計(jì)借助了黃金分割比以給人協(xié)調(diào)的美感．如圖，若點(diǎn)C可看做是線段的黃金分割點(diǎn)（），，則______．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】##【解析】【分析】本題考查了黃金分割，解題關(guān)鍵是根據(jù)黃金分割的定義列式計(jì)算，即可解答．【詳解】解：點(diǎn)可看作是線段的黃金分割點(diǎn)，，，故答案為：．15.如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過菱形的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)作軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得出是等邊三角形，從而表示點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征代入函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算即可求得菱形邊長，把代入解析式即可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)菱形的邊長為，，是等邊三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過菱形的頂點(diǎn)，，（負(fù)數(shù)舍去），菱形的邊長為2，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，把代入得，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．16.如圖，在矩形中，平分，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，以，為邊，作矩形，與相交于點(diǎn)．若，，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得到．首先證明，推導(dǎo)出，結(jié)合矩形，推導(dǎo)出四邊形為正方形，然后利用，，推導(dǎo)出，，進(jìn)而得到，代入數(shù)據(jù)得到．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，平分，，在中，，在和中，，，，在矩形中，，四邊形為正方形，，，，又，，，，，，故答案為：．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共86分．請(qǐng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）將特殊角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可；（2）將特殊角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【小問1詳解】解：【小問2詳解】解：18.如圖，小樹在路燈的照射下形成投影．（1）此光源下形成投影屬于______；（填“平行投影”或“中心投影”）（2）已知樹高為，樹影為，樹與路燈的水平距離為．求路燈的高度．【答案】（1）中心投影；（2）．【解析】【分析】本題考查了中心投影，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由中心投影的定義確定答案即可；（2）先判斷相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)求解．【小問1詳解】此光源屬于點(diǎn)光源，此光源下形成的投影屬于中心投影，故答案為：中心投影；【小問2詳解】，，，，，即：，解得：，路燈的高度為5米．19.如圖，相交于點(diǎn)，已知，，，，求證：．【答案】證明詳見解析【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)，，得出，結(jié)合即可證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求證，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵在和中，，，，，，，，，．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在原點(diǎn)O的同側(cè)作五邊形的位似圖形，使它與五邊形的相似比為．（2）寫出的坐標(biāo)______．（3）已知五邊形的面積為，則五邊形的面積為______．【答案】（1）圖見解析（2）（3）54【解析】【分析】本題主要考查了畫位似圖形，位似圖形的性質(zhì)，求位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，熟知位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)位似比為，把A、B、C、D的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到的坐標(biāo)，再順次連接即可；（2）根據(jù)（1）所求，寫出的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)位似圖形面積之比等于位似比的平方進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】解：如圖所示，五邊形即為所求；【小問2詳解】解：由題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：【小問3詳解】解：∵五邊形與五邊形關(guān)于原點(diǎn)位似，且位似比為，五邊形的面積為，∴五邊形的面積為，故答案為：．21.九年級(jí)組織“11·9全國消防日”消防安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，其中本次競(jìng)賽成績分為“優(yōu)秀”“良好”“一般”“較差”四個(gè)等級(jí)，為了解全體九年級(jí)同學(xué)的消防安全知識(shí)水平，隨機(jī)抽取了m個(gè)同學(xué)的競(jìng)賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，根據(jù)成績繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：請(qǐng)結(jié)合以上信息完成下列問題：（1）______；（2）如果九年級(jí)共有600名學(xué)生參加本次活動(dòng)，那么可估計(jì)競(jìng)賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生有______人；（3）此次活動(dòng)中有五名同學(xué)獲得滿分，其中有三名女生和兩名男生．現(xiàn)從這五名同學(xué)中隨機(jī)挑選兩名同學(xué)參加校外比賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求出選中的兩名同學(xué)恰好是一男一女的概率．【答案】（1）120；（2）120；（3）．【解析】【分析】本題主要考查了列表法與樹狀圖法，以及扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，樣本估計(jì)總體．（1）用“較差”人數(shù)和其所占百分百即可求解；（2）根據(jù)競(jìng)賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”學(xué)生的占比乘以600即可求解；（3）列出表格得可能出現(xiàn)的所有情況，再由概率公式即可得出答案．解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息．【小問1詳解】解：由題意可知：，故答案為：120；【小問2詳解】競(jìng)賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生有人，故答案為：120；【小問3詳解】將三名女生，分別記作“女1，女2，女3”兩名男生分別記作“男1，男2”，列表如下：女1女2女3男1男2女1（女1，女2）（女1，女3）（女1，男1）（女1，男2）女2（女2，女1）（女2，女3）（女2，男1）（女2，男2）女3（女3，女1）（女3，女2）（女3，男1）（女3，男2）男1（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）（男1，男2）男2（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）（男2，男1）總共有20種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩名同學(xué)恰好是一男一女的有12種，P（兩名同學(xué)恰好是一男一女）22.為確保身體健康，自來水最好燒開（加熱到）后再飲用．某款家用飲水機(jī)，具有加熱、保溫等功能．現(xiàn)將的自來水加入到飲水機(jī)中，先加熱到．此后停止加熱，水溫開始下降，達(dá)到設(shè)置的飲用溫度后開始保溫．比如事先設(shè)置飲用溫度為，則水溫下降到后不再改變，此時(shí)可以正常飲用．整個(gè)過程中，水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）水溫從加熱到，需要______；請(qǐng)直接寫出加熱過程中水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式：______；（2）觀察判斷：在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系是______函數(shù)，并嘗試求該函數(shù)的解析式；（3）已知沖泡奶粉的最佳溫度在左右，某家庭為了給嬰兒沖泡奶粉，將飲用溫度設(shè)置為．現(xiàn)將的自來水加入到飲水機(jī)中，此后開始正常加熱．則從加入自來水開始，需要等待多長時(shí)間才可以接水沖泡奶粉？【答案】（1）4；；（2）反，（3）14分鐘．【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確求出解析式是解此題的關(guān)鍵．（1）由圖可得水溫從加熱到，需要，設(shè)加熱過程中水溫與通電時(shí)間之間函數(shù)關(guān)系式為：，將，代入解析式得：，求出的值即可；（2）觀察判斷：在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系是反函數(shù)，設(shè)在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系為，將代入解析式得：，求出的值即可；（3）在中，當(dāng)時(shí)，，解得：，再由題意列式計(jì)算即可．【小問1詳解】解：由圖可得：水溫從加熱到，需要，設(shè)加熱過程中水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為：，將，代入解析式得：，解得：，加熱過程中水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為：，故答案為：4，；【小問2詳解】解：觀察判斷：在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系是反函數(shù)，設(shè)在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系為，將代入解析式得：，解得：，在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系為：，故答案為：反；【小問3詳解】解：由題意得：在中，當(dāng)時(shí)，，解得：，從加入自來水開始，需要等待的時(shí)間為：，則從加入自來水開始，需要等待14分鐘時(shí)間才可以接水沖泡奶粉．23.在“濟(jì)南天下第一泉”風(fēng)景區(qū)隨處可以看到歷代名人雅士留下的匾額和楹聯(lián)，它們豐富了園林的人文內(nèi)涵．如圖1，趵突泉公園南門上懸掛著的匾額，圖2中的線段AB就是這塊匾額的截面示意圖．已知米，．從水平地面點(diǎn)C處看點(diǎn)B，仰角，且視線經(jīng)過射線上的點(diǎn)D，從點(diǎn)E處看點(diǎn)A，，且米．（參考數(shù)據(jù)：）AI（1）求點(diǎn)B到水平距離；（2）求線段的長；（3）求匾額上點(diǎn)A到地面的距離的長．【答案】（1）米；（2）米；（3）米．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，．（1）過點(diǎn)B作，垂足為H，由米，，結(jié)合即可求解；（2）在中，可得米，由，可得，易知米，結(jié)合即可求解；（3）在中，可得，在中，，可得，易知，結(jié)合即可求解．掌握作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：過點(diǎn)B作，垂足為H，如圖所示：在中，米，，米，答：點(diǎn)B到的水平距離是米；【小問2詳解】在中，米，，米．，，，，米，米，答：的長為米．【小問3詳解】在中，，則，．在中，，∴．，，解得米，答：匾額上點(diǎn)A到地面的距離約為3.8米．24.如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，其中．（1）求的值；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集；（3）若點(diǎn)在軸上，且的面積為16，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）或；（3）或．【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握面積的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求的值即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可直接寫出不等式的解集；（3）設(shè)，利用，求出的值即可得到答案．【小問1詳解】解：將代入，得，解得，將代入，得，解得，，；【小問2詳解】解：由反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由圖象可得：不等式的解集為或；【小問3詳解】解：由反比例函數(shù)圖像的中心對(duì)稱性知點(diǎn)，設(shè)，則，解得，或．25.【問題情境】如圖1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得頂點(diǎn)E、F、G分別落在、、上，你發(fā)現(xiàn)線段與有什么數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論：______（不用證明）．【變式探究】如圖2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得頂點(diǎn)E、F、G分別在邊上，若，，求的長．【拓展應(yīng)用】如圖3，小明把三角形放置到平行四邊形中，使得頂點(diǎn)E、F、G分別落在邊上，若，，，求出的值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】問題情境：先根據(jù)特殊角三角函數(shù)得出，再證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得；變式探究：過點(diǎn)F作，同（1）可證，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，求出，再證四邊形是矩形，即可求解；拓展應(yīng)用：過點(diǎn)F作交的延長線于點(diǎn)M，交于點(diǎn)K．則，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，證明，再證，推出，再證，，代入可得的值．【詳解】解：問題情境：三角板中，，．四邊形是矩形，，，由題意知，，，又，，，．故答案為：．變式探究：如圖，過點(diǎn)F作，垂足為H，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．拓展應(yīng)用：如圖，過點(diǎn)F作交的延長線于點(diǎn)M，交于點(diǎn)K．，，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，即，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等，通過添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．26.小靜發(fā)現(xiàn)希臘數(shù)學(xué)家曾利用反比例函數(shù)圖象將一個(gè)角三等分，具體方法如下：第一步：建立平面直角坐標(biāo)系，將已知銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的一邊與軸正方向重合．在平面直角坐標(biāo)系里，繪制函數(shù)的圖象，圖象與已知角的另一邊交于點(diǎn)．第二步：以為圓心、以為半徑作弧，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)．第三步：分別過點(diǎn)和作軸和軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)，連接，得到（如圖1）．這時(shí)．為什么？小靜想要證明這個(gè)結(jié)論卻沒有思路，便詢問老師．老師進(jìn)行了指導(dǎo)：分別過點(diǎn)和作軸和軸的平行線，兩線交于點(diǎn)（如圖2），解答這道題的關(guān)鍵就是證明三點(diǎn)共線，在平面直角坐標(biāo)系中，證明三點(diǎn)共線最直接的做法是先用兩點(diǎn)確定一條直線的表達(dá)式，再證明第三點(diǎn)在這條直線上．老師指導(dǎo)后，小靜若有所思．請(qǐng)你和小靜一起，完成下列問題．（1）已知，，，請(qǐng)說明三點(diǎn)共線；（2）在“三等分角”的作圖中（如圖2），請(qǐng)證明三點(diǎn)共線；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，請(qǐng)證明．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式判斷即可；（2）設(shè)，，則，待定系數(shù)法求出的解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式判斷即可；（3）設(shè)交于點(diǎn)，由題意得四邊形為矩形，從而得到，由外角定理，，再結(jié)合矩形的性質(zhì)可得，即可得證．【小問1詳解】解：設(shè)直線解析式為，將，代入得，，解得，，將代入得，，在直線上，三點(diǎn)共線；【小問2詳解】解：軸，軸，設(shè)，，，設(shè)的解析式為，，，直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)在直線上；【小問3詳解】解：設(shè)交于點(diǎn)，，∵過作軸的平行線，四邊形為矩形，，由外角定理，，，，，又四邊形為矩形，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解此題的關(guān)鍵．2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案考試時(shí)間120分鐘滿分150分第I卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.一個(gè)幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（） B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查俯視圖，根據(jù)俯視圖定義直接判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，的俯視圖是A選項(xiàng)圖形，故選：A．2.在中，，如果，，那么的正切值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，熟記三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3.如圖，兩條直線被三條平行線所截，若，，則為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由兩條直線被三條平行線所截，可得，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，熟練掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：兩條直線被三條平行線所截，，，，，，故選：B．4.如圖，小明同學(xué)利用相似三角形測(cè)量旗桿的高度，若測(cè)得木桿長，它的影長為，旗桿的影長為，則旗桿的高度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，根據(jù)“同一時(shí)刻物高與影長成正比”列式計(jì)算即可，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：同一時(shí)刻物高與影長成正比，，木桿長，它的影長為，旗桿的影長為，，，故選：D．5.已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先分別求出的值，再進(jìn)行比較即可，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，，故選：B．6.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色．一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)黑色棋子和1個(gè)白色棋子，每個(gè)棋子除顏色外都相同．從中隨機(jī)摸出一個(gè)棋子，記下顏色后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)棋子，則兩次摸到相同顏色的棋子的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率等知識(shí)點(diǎn)，先畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果，再找出兩次摸到相同顏色的棋子的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算，熟練掌握其畫圖或列表得出所有可能結(jié)果數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到相同顏色的棋子的結(jié)果數(shù)為5種，∴兩次摸到相同顏色的棋子的概率，故選：C．7.一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在象限可以判定的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)來確定直線所經(jīng)過的象限，逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、雙曲線經(jīng)過第一、三象限，則，則一次函數(shù)應(yīng)該經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；B、雙曲線經(jīng)過第一、三象限，則，則一次函數(shù)應(yīng)該經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；C、雙曲線經(jīng)過第二、四象限，則，則一次函數(shù)應(yīng)該經(jīng)過第一、三、四象限，故本選項(xiàng)不符合題意；D、雙曲線經(jīng)過第二、四象限，則，則一次函數(shù)應(yīng)該經(jīng)過第一、三、四象限，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．8.如圖，在邊長都為1的方格紙上，小明同學(xué)繪制了藝術(shù)字體“A”，已知點(diǎn)，都在格點(diǎn)上，點(diǎn)在格線上，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，作交于點(diǎn)，交于，由圖可得：，，，，則，從而得到，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交于點(diǎn)，交于，，由圖可得：，，，，，，即，，故選：D．9.如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處．若，則為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，利用銳角三角函數(shù)即可求解，此題考查了翻折的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，∴，∴，解得或（舍去），∴，故選：B10.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與點(diǎn)都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，連接，，則的面積為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與點(diǎn)都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，求出、的坐標(biāo)，從而得到直線的解析式，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，求出、的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與點(diǎn)都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)直線解析式為，將，代入解析式得：，解得：，直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，，故選：A．第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．）11.已知點(diǎn)M（1，2）在反比例函數(shù)的圖象上，則k＝____．【答案】2【解析】【分析】把點(diǎn)M（1，2）代入反比例函數(shù)中求出k的值即可．【詳解】解：把點(diǎn)M（1，2）代入得：xy=1×2=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式．12.已知，若b+d≠0，則＝_____．【答案】【解析】【分析】分別設(shè)a=2m，c=2n，根據(jù)可用m、n表示出b、d，代入所給代數(shù)式即可得答案.【詳解】設(shè)a=2m，c=2n，∵，∴b=3m，d=3n，∴==，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比性質(zhì)的應(yīng)用，若，則=k，熟練掌握等比性質(zhì)是解題關(guān)鍵.13.為了估計(jì)魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中打撈條魚，在每一條魚身上做好記號(hào)后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈條魚．如果在這條魚中有條魚是有記號(hào)的，那么估計(jì)魚塘中魚的條數(shù)為______條．【答案】【解析】【分析】本題考查了統(tǒng)計(jì)中用樣本估計(jì)總體的思想，根據(jù)樣本中有記號(hào)的魚所占的比例等于魚塘中有記號(hào)的魚所占的比例，即可求得魚的總條數(shù)．【詳解】解：估計(jì)魚塘中魚的條數(shù)為（條），故答案為：．14.2023年第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽“潮涌”將自然奇觀與人文精神進(jìn)行巧妙融合，其中浪潮設(shè)計(jì)借助了黃金分割比以給人協(xié)調(diào)的美感．如圖，若點(diǎn)C可看做是線段的黃金分割點(diǎn)（），，則______．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】##【解析】【分析】本題考查了黃金分割，解題關(guān)鍵是根據(jù)黃金分割的定義列式計(jì)算，即可解答．【詳解】解：點(diǎn)可看作是線段的黃金分割點(diǎn)，，，故答案為：．15.如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過菱形的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)作軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得出是等邊三角形，從而表示點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征代入函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算即可求得菱形邊長，把代入解析式即可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)菱形的邊長為，，是等邊三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過菱形的頂點(diǎn)，，（負(fù)數(shù)舍去），菱形的邊長為2，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，把代入得，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．16.如圖，在矩形中，平分，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，以，為邊，作矩形，與相交于點(diǎn)．若，，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得到．首先證明，推導(dǎo)出，結(jié)合矩形，推導(dǎo)出四邊形為正方形，然后利用，，推導(dǎo)出，，進(jìn)而得到，代入數(shù)據(jù)得到．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，平分，，在中，，在和中，，，，在矩形中，，四邊形為正方形，，，，又，，，，，，故答案為：．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共86分．請(qǐng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）將特殊角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可；（2）將特殊角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【小問1詳解】解：【小問2詳解】解：18.如圖，小樹在路燈的照射下形成投影．（1）此光源下形成投影屬于______；（填“平行投影”或“中心投影”）（2）已知樹高為，樹影為，樹與路燈的水平距離為．求路燈的高度．【答案】（1）中心投影；（2）．【解析】【分析】本題考查了中心投影，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由中心投影的定義確定答案即可；（2）先判斷相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)求解．【小問1詳解】此光源屬于點(diǎn)光源，此光源下形成的投影屬于中心投影，故答案為：中心投影；【小問2詳解】，，，，，即：，解得：，路燈的高度為5米．19.如圖，相交于點(diǎn)，已知，，，，求證：．【答案】證明詳見解析【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)，，得出，結(jié)合即可證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求證，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵在和中，，，，，，，，，．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在原點(diǎn)O的同側(cè)作五邊形的位似圖形，使它與五邊形的相似比為．（2）寫出的坐標(biāo)______．（3）已知五邊形的面積為，則五邊形的面積為______．【答案】（1）圖見解析（2）（3）54【解析】【分析】本題主要考查了畫位似圖形，位似圖形的性質(zhì)，求位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，熟知位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)位似比為，把A、B、C、D的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到的坐標(biāo)，再順次連接即可；（2）根據(jù)（1）所求，寫出的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)位似圖形面積之比等于位似比的平方進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】解：如圖所示，五邊形即為所求；【小問2詳解】解：由題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：【小問3詳解】解：∵五邊形與五邊形關(guān)于原點(diǎn)位似，且位似比為，五邊形的面積為，∴五邊形的面積為，故答案為：．21.九年級(jí)組織“11·9全國消防日”消防安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，其中本次競(jìng)賽成績分為“優(yōu)秀”“良好”“一般”“較差”四個(gè)等級(jí)，為了解全體九年級(jí)同學(xué)的消防安全知識(shí)水平，隨機(jī)抽取了m個(gè)同學(xué)的競(jìng)賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，根據(jù)成績繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：請(qǐng)結(jié)合以上信息完成下列問題：（1）______；（2）如果九年級(jí)共有600名學(xué)生參加本次活動(dòng)，那么可估計(jì)競(jìng)賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生有______人；（3）此次活動(dòng)中有五名同學(xué)獲得滿分，其中有三名女生和兩名男生．現(xiàn)從這五名同學(xué)中隨機(jī)挑選兩名同學(xué)參加校外比賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求出選中的兩名同學(xué)恰好是一男一女的概率．【答案】（1）120；（2）120；（3）．【解析】【分析】本題主要考查了列表法與樹狀圖法，以及扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，樣本估計(jì)總體．（1）用“較差”人數(shù)和其所占百分百即可求解；（2）根據(jù)競(jìng)賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”學(xué)生的占比乘以600即可求解；（3）列出表格得可能出現(xiàn)的所有情況，再由概率公式即可得出答案．解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息．【小問1詳解】解：由題意可知：，故答案為：120；【小問2詳解】競(jìng)賽成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生有人，故答案為：120；【小問3詳解】將三名女生，分別記作“女1，女2，女3”兩名男生分別記作“男1，男2”，列表如下：女1女2女3男1男2女1（女1，女2）（女1，女3）（女1，男1）（女1，男2）女2（女2，女1）（女2，女3）（女2，男1）（女2，男2）女3（女3，女1）（女3，女2）（女3，男1）（女3，男2）男1（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）（男1，男2）男2（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）（男2，男1）總共有20種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩名同學(xué)恰好是一男一女的有12種，P（兩名同學(xué)恰好是一男一女）22.為確保身體健康，自來水最好燒開（加熱到）后再飲用．某款家用飲水機(jī)，具有加熱、保溫等功能．現(xiàn)將的自來水加入到飲水機(jī)中，先加熱到．此后停止加熱，水溫開始下降，達(dá)到設(shè)置的飲用溫度后開始保溫．比如事先設(shè)置飲用溫度為，則水溫下降到后不再改變，此時(shí)可以正常飲用．整個(gè)過程中，水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）水溫從加熱到，需要______；請(qǐng)直接寫出加熱過程中水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式：______；（2）觀察判斷：在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系是______函數(shù)，并嘗試求該函數(shù)的解析式；（3）已知沖泡奶粉的最佳溫度在左右，某家庭為了給嬰兒沖泡奶粉，將飲用溫度設(shè)置為．現(xiàn)將的自來水加入到飲水機(jī)中，此后開始正常加熱．則從加入自來水開始，需要等待多長時(shí)間才可以接水沖泡奶粉？【答案】（1）4；；（2）反，（3）14分鐘．【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確求出解析式是解此題的關(guān)鍵．（1）由圖可得水溫從加熱到，需要，設(shè)加熱過程中水溫與通電時(shí)間之間函數(shù)關(guān)系式為：，將，代入解析式得：，求出的值即可；（2）觀察判斷：在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系是反函數(shù)，設(shè)在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系為，將代入解析式得：，求出的值即可；（3）在中，當(dāng)時(shí)，，解得：，再由題意列式計(jì)算即可．【小問1詳解】解：由圖可得：水溫從加熱到，需要，設(shè)加熱過程中水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為：，將，代入解析式得：，解得：，加熱過程中水溫與通電時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為：，故答案為：4，；【小問2詳解】解：觀察判斷：在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系是反函數(shù)，設(shè)在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系為，將代入解析式得：，解得：，在水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系為：，故答案為：反；【小問3詳解】解：由題意得：在中，當(dāng)時(shí)，，解得：，從加入自來水開始，需要等待的時(shí)間為：，則從加入自來水開始，需要等待14分鐘時(shí)間才可以接水沖泡奶粉．23.在“濟(jì)南天下第一泉”風(fēng)景區(qū)隨處可以看到歷代名人雅士留下的匾額和楹聯(lián)，它們豐富了園林的人文內(nèi)涵．如圖1，趵突泉公園南門上懸掛著的匾額，圖2中的線段AB就是這塊匾額的截面示意圖．已知米，．從水平地面點(diǎn)C處看點(diǎn)B，仰角，且視線經(jīng)過射線上的點(diǎn)D，從點(diǎn)E處看點(diǎn)A，，且米．（參考數(shù)據(jù)：）AI（1）求點(diǎn)B到水平距離；（2）求線段的長；（3）求匾額上點(diǎn)A到地面的距離的長．【答案】（1）米；（2）米；（3）米．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，．（1）過點(diǎn)B作，垂足為H，由米，，結(jié)合即可求解；（2）在中，可得米，由，可得，易知米，結(jié)合即可求解；（3）在中，可得，在中，，可得，易知，結(jié)合即可求解．掌握作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：過點(diǎn)B作，垂足為H，如圖所示：在中，米，，米，答：點(diǎn)B到的水平距離是米；【小問2詳解】在中，米，，米．，，，，米，米，答：的長為米．【小問3詳解】在中，，則，．在中，，∴．，，解得米，答：匾額上點(diǎn)A到地面的距離約為3.8米．24.如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于