第3章0102歐拉方法

第三章常微分方程的差分方法3.1歐拉方法3.2改進的歐拉方法3.3龍格-庫塔方法3.4亞當姆斯方法3.5收斂性與穩(wěn)定性3.6方程組和高階方程的情形3.7邊值問題2021/6/271微分方程:

包含自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程常微分方程:未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程偏微分方程:未知函數(shù)為多元函數(shù),從而含有多元函數(shù)偏導數(shù)的微分方程一階常微分方程:微分方程中各階導數(shù)的最高階數(shù)為一階的2021/6/272定解條件：

初值問題----給出積分曲線在初始時刻的狀態(tài)

邊值問題----給出積分曲線在首末兩端的狀態(tài)2021/6/273定理：常微分方程初值問題設x0∈[a,b],f(x,y)對x連續(xù)且關于y滿足李普希茲條件，則上述初值問題在[a,b]上有唯一解。李普希茲(Lipshitz)條件：存在常數(shù)L,使

對所有x∈[a,b]及任何實數(shù)y1、y2均成立。2021/6/274數(shù)值解法定解問題:數(shù)值解法：給定點a=x0<x1<…<xn=b,將初值問題離散化為差分方程,求出解函數(shù)(積分曲線)y(x)

在這些點的近似值y1,y2,…,yn。所求得的近似值y1,y2,…,yn稱為微分方程的數(shù)值解。2021/6/275差分方法(差分格式)2021/6/2763.1歐拉方法

3.1.1歐拉(Euler)格式2021/6/2772021/6/2782021/6/2792021/6/27103歐拉法數(shù)值微分推導

用向前差商代替導數(shù)

設等距，步長

令x=xn,x+h=xn+1,

y(xn)≈yn

，y(xn+1)≈yn+1,初值問題離散化為初值問題(歐拉公式)

2021/6/27112021/6/2712，

2021/6/2713

局部截斷誤差和階：數(shù)值公式的精度

定義局部截斷誤差：假設第n步是準確的，即y(xn)=yn，將y(xn+1)-yn+1定義為數(shù)值方法的局部截斷誤差。

由于實際上yn不是準確值，因此它的誤差會傳播下去。實際計算時，每一步都可能產(chǎn)生舍入誤差。

定義若局部截斷誤差為O(hp+1),p為正整數(shù)，則稱數(shù)值公式是p階公式,精度是p階。

2021/6/2714

局部截斷誤差的主項系數(shù)：若局部截斷誤差的主項可以表示為則稱該格式是p階的，系數(shù)C稱為局部截斷誤差的主項系數(shù)。

2021/6/2715

歐拉公式的截斷誤差是O(h2)，公式是1階的，局部截斷誤差的主項系數(shù)為1。二階泰勒公式

兩式相減，由設yn=y(xn)，有

歐拉公式的局部截斷誤差和階2021/6/27162021/6/27173.1.2隱式歐拉格式2021/6/27183.1.3兩步歐拉格式2021/6/27192021/6/27203.2改進的歐拉方法對微分方程y′=f(x,y)兩邊求xn到xn+1的定積分，有選用不同的方法計算積分，就會得到不同的差分格式.

將y(xn)

、y(xn+1)分別用yn、yn+1

代替，構(gòu)造數(shù)值公式3.2.1.梯形格式利用梯形公式計算積分，有

2021/6/27212021/6/27223.2.2改進的歐拉格式

歐拉方法，顯式，計算量小，精度低。梯形方法是隱式公式,計算量大，精度高。實際計算時，將二者綜合之，先用歐拉公式計算出yn+1作為初始值,初始值精度不高，取作預報值，代入梯形公式，得到校正值yn+1。寫成預報-校正公式

2021/6/2723預報-校正公式又常常寫成一步嵌套顯式形式或?qū)懗善骄问筋A報-校正公式的局部截斷誤差y(xn+1)-yn+1=O(h3)2021/6/2724預報-校正公式的局部截斷誤差假設yi=y(xi),解函數(shù)在x=xi處的泰勒公式為在改進的歐拉公式中，設則有求出在h=0處的泰勒公式，整理后得上式h和h2項的乘數(shù)應為零，于是2021/6/2725因而改進的歐拉法是二階