第4章　第4講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第四章第四章三角函數(shù)、解三角形第四講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)梳理·雙基自測(cè)名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究提能訓(xùn)練練案[26]知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一周期函數(shù)的定義及周期的概念1．對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做____________.非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的________.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小__________.2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，_______________________都是它們的周期，最小正周期是________.周期函數(shù)周期正周期2kπ(k∈Z，k≠0)2π知識(shí)點(diǎn)二正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì){y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R[(2k－1)π，2kπ][2kπ，(2k＋1)π]函數(shù)性質(zhì)y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值

x＝__________________時(shí)，ymax＝1；

x＝__________________時(shí)，ymin＝－1x＝_______________時(shí)，ymax＝1；x＝_______________時(shí)，ymin＝－1無(wú)最值奇偶性__________________2kπ(k∈Z)π＋2kπ(k∈Z)奇偶奇函數(shù)性質(zhì)y＝sinxy＝cosxy＝tanx對(duì)稱性對(duì)稱中心_______________

_________________

_______________對(duì)稱軸

______________________________無(wú)對(duì)稱軸最小正周期______________________(kπ，0)，k∈Zx＝kπ，k∈Z2π2ππ歸

納

拓

展1．關(guān)于周期性(3)正切曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期．2．關(guān)于奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則：(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．3．關(guān)于單調(diào)性雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)y＝sinx在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增．(

)(2)正切函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)．(

)(3)余弦函數(shù)y＝cosx的對(duì)稱軸是y軸．(

)(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1．(

)(5)y＝|sinx|與y＝sin|x|都是周期為π的偶函數(shù)．(

)×××××(3)余弦函數(shù)y＝cosx的對(duì)稱軸有無(wú)窮多條，y軸只是其中的一條．(4)當(dāng)k>0時(shí)，ymax＝k＋1；當(dāng)k<0時(shí)，ymax＝－k＋1.(5)y＝sin|x|是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)．題組二走進(jìn)教材C3．(必修1P207T3改編)下列關(guān)于函數(shù)y＝4sinx，x∈[－π，π]的單調(diào)性的敘述，正確的是(

)A．在[－π，0]上是增函數(shù)，在[0，π]上是減函數(shù)B5題組三走向高考5．(2022·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝cos2

x－sin2x，則(

)CC考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究三角函數(shù)的定義域、值域——自主練透名師點(diǎn)撥：三角函數(shù)定義域、值域的求解策略1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解．2．求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目：(1)形如y＝asinωx＋bcosωx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).三角函數(shù)的單調(diào)性——師生共研1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：名師點(diǎn)撥：三角函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的解題策略1．求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法：(1)代換法：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則，將解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)．化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．(2)圖解法：若函數(shù)的圖象能夠容易畫出，可利用圖象直觀迅速求解．如某些含絕對(duì)值的三角函數(shù)．注：正、余弦型單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度為半周期．2．已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)．先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解．C2．若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值是(

)C三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性——多維探究角度1周期性求下列函數(shù)的最小正周期：(3)畫出y＝|tanx|的圖象．如圖所示．由圖象易知T＝π.∴y＝|tanx|的最小正周期與y＝tanx的最小正周期相同.角度2奇偶性A2．(多選題)已知f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)為奇函數(shù)，則φ的一個(gè)取值可以是(

)CD角度3對(duì)稱性A3．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為解方程問(wèn)題．(1)∵y＝sinx的對(duì)稱中心是(kπ，0)(k∈Z)，(3)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A≠0)圖象的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷．【變式訓(xùn)練】A．①②③

B．①③④C．②④

D．①③B③由函數(shù)圖象知y＝|sinx|的最小正周期為π；④y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期為π.故選B．2．(角度2)(2022·威海三模)已知函數(shù)f(x)＝sinxcos(2x＋φ)(φ∈[0，π])為偶函數(shù)，則φ＝(

)CA．最小正周期為πB．最大值為1，最小值為－1C．函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱C名師講壇·素養(yǎng)提升三角函數(shù)的值域與最值A(chǔ)名師點(diǎn)撥：求三角函數(shù)值域或最值的方法1．y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的值域?yàn)閇－|a|＋b，|a|＋