第6章　第3講　等比數(shù)列及其前n項和

第六章數(shù)列第三講等比數(shù)列及其前n項和知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究提能訓練練案[37]知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一等比數(shù)列的概念1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列____________________________________________________________，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，通常用字母______表示.符號語言：____________(n∈N*，q為非零常數(shù)).從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)公比q2．等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么______叫做a與b的等比中項.即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝________.注意：任意兩數(shù)的等差中項都唯一存在；但只有兩個數(shù)滿足ab>0時，a、b才有等比中項，且有互為相反數(shù)的兩個.Gab知識點二等比數(shù)列的有關公式1．通項公式：an＝________＝________.2．前n項和公式：a1qn－1amqn－mna1知識點三等比數(shù)列的主要性質(zhì)設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和.2．相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，

ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*).4．當q≠－1或q＝－1且k為奇數(shù)時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數(shù)列.當q＝－1且k為偶數(shù)時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數(shù)列.5．等比數(shù)列{an}的單調(diào)性(4)當q<0時，{an}為擺動數(shù)列.歸

納

拓

展等比數(shù)列的概念的理解(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.(2)等比數(shù)列中奇數(shù)項的符號相同，偶數(shù)項的符號相同.如{an}為等比數(shù)列，a3＝－1，a11＝－4則a7＝－2.(3)等比數(shù)列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).(4)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝kan＋b(k≠0，k≠1)，則數(shù)列{an}必為等比數(shù)列.(6)若{an}是等比數(shù)列，且an>0(n∈N*)，則{logaan}(a>0且a≠1)成等差數(shù)列，反之亦然.(7)若{an}是等差數(shù)列，則{aan}(a>0，a≠1)成等比數(shù)列，反之亦然.雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)等比數(shù)列{an}的公比q>1，則該數(shù)列單調(diào)遞增.()(2)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.()(3){an}為等比數(shù)列，若a3＝1，a9＝4，則a6＝2.()(4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列.()(6)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列.()××××××(2)若a＝b＝c＝0，則a，b，c不成等比.(4)an必須大于0.(5)討論a＝0,1和a≠0,1.(6)q＝－1時S4＝S8＝S12＝0.題組二走進教材D3．(選修2P34T1改編)如圖，將一個邊長為1的正三角形分成四個全等的正三角形，第一次挖去中間的一個小三角形，將剩下的三個小正三角形，再分別從中間挖去一個小三角形，保留它們的邊，重復操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基三角形.設An是第n次挖去的小三角形面積之和(如A1是第1次挖去的中間小三角形面積，A2是第2次挖去的三個小三角形面積之和)，則前10次挖去的所有小三角形面積之和的值為()B1題組三走向高考5．(2020·課標Ⅰ，10,5分)設{an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()A.12 B．24C．30 D．32D6．(2022·全國乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2－a5＝42，則a6＝()A.14 B．12C．6 D．3D7．(2023·新課標Ⅱ，8,5分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝()A.120 B．85C．－85 D．－120[解析]

解法一：設等比數(shù)列{an}的公比為q，C解法二：由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…為等比數(shù)列，可得S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…為等比數(shù)列，設等比數(shù)列{an}的公比為q，所以S4－S2＝－4，S6－S4＝－16，所以S8－S6＝－64.又因為S6＝－21，所以S8＝－85，故選C.考點突破·互動探究等比數(shù)列的基本運算——自主練透1.(多選題)已知單調(diào)遞增的正項等比數(shù)列{an}中，a5－a1＝30，a4－a2＝12，其公比為q，前n項和Sn，則下列選項中正確的有()A.q＝2 B．a(chǎn)8＝512C.Sn＝2an－1 D．Sn<an＋1ADC3．(2023·全國甲理，5,5分)設等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4＝()C[解析]

設數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意可知q≠1.∴q4－5q2＋4＝0，解得q2＝4或q2＝1，4．(2023·全國甲文，13,5分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若8S6＝7S3，則{an}的公比為_________.[解析]

設等比數(shù)列{an}的公比為q，q≠1，∴8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，名師點撥：等比數(shù)列基本量的求法等比數(shù)列的計算涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根據(jù)條件列出關于a1，q的方程組求解，體現(xiàn)了方程思想的應用.特別提醒：在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，q的值除非題目中給出，否則要根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式.等比數(shù)列性質(zhì)的應用——多維探究角度1等比數(shù)列項的性質(zhì)的應用B2．(2023·洛陽統(tǒng)考)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a8a13＝64，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝________.[解析]

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a10a11＝a8a13，所以a10a11＋a8a13＝2a10a11＝64，所以a10a11＝32，所以log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝log2(a1·a2·a3·…·a20)＝log2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)·…·(a10·a11)]＝log2(a10·a11)10＝log23210＝50.50[引申]

在本例1中若將a3，a15改為a2，a16，其他不變，該題應選()[解析]

a2＋a16＝－6，a2a16＝2，D名師點撥：1．在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度.2．在應用相應性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此外，解題時注意設而不求思想的運用.角度2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)1.已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝______.2[解析]

解法一：設等比數(shù)列的公比為q，顯然q≠1，∴S12＝15S3＝150.故選A.解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故選A.解法三：由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比數(shù)列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故選A.解法四：設等比數(shù)列前n項和為Sn＝A－Aqn，解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.∴S12＝－10(1－24)＝150.故選A.[引申]本例2中若去掉條件“各項都是正數(shù)”，結果如何？[解析]

由本例解法一知q3＝2或－3，當q3＝2時，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；當q3＝－3時，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故選C.名師點撥：1．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)主要是：若Sn≠0，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列.2．利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以減少運算量，提高解題速度.解題時，根據(jù)題目條件，分析具體的變化特征，即可找到解決問題的突破口.4．S2n＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn(1＋qn＋q2n)，….【變式訓練】1．(角度1)(2023·全國乙理，15,5分)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝________.[解析]

由等比數(shù)列的性質(zhì)得a4a5＝a3a6≠0，∵a2a4a5＝a3a6，∴a2＝1.∴q15＝－8，∴(q5)3＝－8，∴q5＝－2，∴a7＝a2q5＝1×(－2)＝－2.－216C[解析]

解法一：不妨設S4＝1，則S12＝7，∵S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列，∴(S8－1)2＝7－S8，解得S8＝3或－2，等比數(shù)列的判定與證明——師生共研[解析]

(1)當n＝1時，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，當n＝2時，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，當n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假設{an＋λ}是等比數(shù)列，則(a2＋λ)2＝(a1＋λ)·(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.下面證明{an＋3)為等比數(shù)列，因為Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3n－3，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，又a1＋3＝6≠0，所以存在λ＝3，使得數(shù)列{an＋3}是首項為a1＋3＝6，公比為2的等比數(shù)列，所以an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1).名師點撥：等比數(shù)列的判定方法3．通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列.提醒：前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中.【變式訓練】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項公式.所以an＋1－bn＋1＝an－bn＋2，又a1－b1＝1，所以數(shù)列{an－bn}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)可知，名師講壇·素養(yǎng)提升數(shù)列中的數(shù)學文化縱觀近幾年高考，以數(shù)學文化為背景的數(shù)列問題層出不窮，讓人耳目一新，同時它也使考生受困于背景陌生，無處著手.本專題就數(shù)列中的數(shù)學文化試題通過典型分析，讓學生提高審題能力，增強對數(shù)學文化的認識，進而加深對數(shù)學文化的理解.1.(2020·全國Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699塊 B．3474塊C.3402塊 D．3339塊C2．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產(chǎn)生了深遠的影響.十二平均律的數(shù)學意義是在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應為()D名師點撥：以數(shù)學文化為背景的等差(比)數(shù)列問題的求解關鍵是：①會脫去數(shù)學文化的背景，讀懂題意；②構建模型，即由題意構建等差(比)數(shù)列的模型；③解模，即把文字語言轉化為求等差(比)數(shù)列的相關問題，如求指定項、公差或項數(shù)、通項公式或前n項和等.【變式訓練】1．(多選題)我國天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益