第8章　第1講　直線的傾斜角、斜率與直線的方程

第八章平面解析幾何考

情

探

究考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅰ，6；2023新課標(biāo)Ⅱ，15直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓相切、相交運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象2023新課標(biāo)Ⅰ、Ⅱ，5橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的焦點(diǎn)、離心率運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅰ，16雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的離心率運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算2023新課標(biāo)Ⅰ，22圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題求軌跡方程運(yùn)算求解邏輯思維綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅱ，21圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題證明點(diǎn)在定直線上運(yùn)算求解邏輯思維綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅰ，14；2022新高考Ⅱ，15；2021新高考Ⅰ，11；2021新高考Ⅱ，11直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系求切線方程、求參數(shù)范圍、判定直線與圓的位置關(guān)系運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅱ，10、16直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求直線的斜率、方程，求拋物線的準(zhǔn)線運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)抽象2021新高考Ⅱ，20圓錐曲線中的證明與探究性問(wèn)題證明問(wèn)題運(yùn)算求解邏輯思維綜合性直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算【命題規(guī)律與備考策略】本章內(nèi)容命題形式多樣，在選擇題、填空題中主要考查圓錐曲線的定義、方程和幾何性質(zhì)，解答題中主要考查直線、圓的方程及位置關(guān)系；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值和取值范圍等問(wèn)題，常與函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合考查．對(duì)于雙曲線的有關(guān)性質(zhì)考查多集中在雙曲線的漸近線和離心率上，關(guān)于拋物線的有關(guān)性質(zhì)考查多側(cè)重于拋物線定義在求解與距離相關(guān)的最值問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化．結(jié)合本章的命題特點(diǎn)，復(fù)習(xí)過(guò)程中需注意以下幾點(diǎn)：①求解直線與圓的問(wèn)題時(shí)，要注意圓的性質(zhì)的應(yīng)用，常采用幾何法求解，同時(shí)要注意與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題；②求解圓錐曲線方程時(shí)，需關(guān)注待定系數(shù)法與定義法的應(yīng)用；③求解有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，需關(guān)注點(diǎn)差法和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用；④求解定值、定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，需注意求解思路與轉(zhuǎn)化方法．第一講直線的傾斜角、斜率與直線的方程知識(shí)梳理·雙基自測(cè)名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究提能訓(xùn)練練案[48]知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角1．定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，把x軸________與直線l________方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為_(kāi)_______.2．傾斜角的取值范圍為_(kāi)_____________________.正向向上0°[0°，180°)知識(shí)點(diǎn)二直線的斜率1．定義：一條直線的傾斜角α的__________叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝______________，傾斜角是90°的直線斜率不存在．2．過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝__________.正切值tanα3．直線的方向向量與斜率的關(guān)系(1，k)知識(shí)點(diǎn)三直線方程的五種形式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b兩點(diǎn)式截距式過(guò)原點(diǎn)的A2＋B2≠0歸

納

拓

展1．直線的傾斜角α和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0且α越大，k就越大不存在k<0且α越大，k就越大口訣：斜率變化分兩段，直角便是分界線；小正大負(fù)皆遞增，分類討論記心中．2．特殊直線的方程(1)過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)垂直于x軸的直線方程為x＝x1；(2)過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)垂直于y軸的直線方程為y＝y(tǒng)1；(3)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為x＝my.3．謹(jǐn)記以下幾點(diǎn)(1)“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．求與截距有關(guān)的直線方程時(shí)應(yīng)注意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意．(2)當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為y＝kx＋b；當(dāng)不確定直線的斜率是否存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為x＝my＋b.(3)A，B，C三點(diǎn)共線?kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)．(4)直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個(gè)方向向量a＝(－B，A)．雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(

)(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．(

)(3)斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等．(

)(4)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示．(

)(6)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(

)××√××√題組二走進(jìn)教材B3．(選擇性必修1P67T7)過(guò)點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_(kāi)_________________________________.3x－2y＝0或x＋y－5＝0題組三走向高考4．(2022·北京高考真題)若直線2x＋y－1＝0是圓(x－a)2＋y2＝1的一條對(duì)稱軸，則a＝(

)AD考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究直線的傾斜角與斜率——自主練透1.(2024·重慶重點(diǎn)中學(xué)月考)設(shè)直線l的方程x＋ycosθ＋2＝0(θ∈R)，則直線的傾斜角α的取值范圍是(

)DB3．已知曲線f(x)＝lnx的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則此切線的斜率為(

)C解法二(數(shù)形結(jié)合法)：在同一坐標(biāo)系中作出曲線f(x)＝lnx及曲線f(x)＝lnx經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線，如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知，切線的斜率為正，且小于1，故選C.4．若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為_(kāi)___________.[解析]

正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖直角坐標(biāo)系，名師點(diǎn)撥：1.求傾斜角的取值范圍的一般步驟：①求出斜率k＝tanα的取值范圍，但需注意斜率不存在的情況；②利用正切函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓，數(shù)形結(jié)合確定傾斜角α的取值范圍．【變式訓(xùn)練】A．(0,2] B．(0,4)C．[2,4) D．(0,2)∪(2,4)B2．(2024·河南創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)P(1,1)作直線l，若直線l與連接A(2,3)，B(3，－1)兩點(diǎn)的線段總有交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為(

)A直線的方程——師生共研2．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為_(kāi)_____________________.x＋13y＋5＝03．與直線3x－4y－5＝0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線的方程為_(kāi)_____________________.3x＋4y＋5＝04．(多選題)(2024·陜西部分學(xué)校聯(lián)考)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，－2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線l的方程可能是(

)A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0BCD[引申]本例4中若去掉“絕對(duì)值”，則應(yīng)選________.BD名師點(diǎn)撥：1．求解直線方程的方法(1)直接法——根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出直線方程．(2)待定系數(shù)法——①設(shè)所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程．2．謹(jǐn)防3個(gè)失誤(1)選用點(diǎn)斜式和斜截式時(shí)，注意討論斜率是否存在．(2)選用截距式時(shí)，注意討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，截距是否存在、是否為0.(3)由一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時(shí)，要注意討論B是否為0.求直線方程時(shí)，如果沒(méi)有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax＋By＋C＝0，且A>0.【變式訓(xùn)練】1．(2024·江西豐城中學(xué)月考)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線l的方程是_______________________________.2x－y＝0和x＋2y－5＝0x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0直線方程的應(yīng)用——多維探究已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求：(1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程；(2)當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上截距之和取得最小值時(shí)，直線l的方程；(3)當(dāng)|MA|·|MB|取最小值時(shí)，直線l的方程；(4)當(dāng)|MA|2＋|MB|2取得最小值時(shí)，直線l的方程．名師點(diǎn)撥：求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題，考查函數(shù)思想，即利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)求解．或利用直線過(guò)已知點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線方程，借助基本不等式求解(注意取最值時(shí)等號(hào)成立的條件)．【變式訓(xùn)練】直線l過(guò)點(diǎn)M(1,2)，且分別與x，y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．求|OA|＋2|OB|的最小值及此時(shí)直線l的方程．名師講壇·素養(yǎng)提升定點(diǎn)問(wèn)題1.(2022·浙江模擬改編)已知直線l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．(1)直線l過(guò)定點(diǎn)________________.(2)若直線l不過(guò)第一象限，則k的取值范圍為_(kāi)______________.(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，則S△AOB最小時(shí)直線l的方程為_(kāi)___________________.(－3,1)x－3y＋6＝02．(多選題)(2024·江西豐城中學(xué)月考)已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(2,2)，直線l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝5，則直線l的傾斜角可能為(

)BD名師點(diǎn)撥：確定方程含參數(shù)的直線所過(guò)定點(diǎn)的方法1．將直線方程寫(xiě)成點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝f(λ)(x－x0)，從而確定定點(diǎn)(x0，y0)．2