數(shù)學(xué)-湖北省荊州市沙市中學(xué)2024-2025學(xué)年2025屆高三上學(xué)期12月月考試題和答案

試卷第1頁，共5頁2024—2025學(xué)年度上學(xué)期2022級(jí).12月月考數(shù)學(xué)試卷命題人：郭松審題人：冷勁松考試時(shí)間：2024年12月26日一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位則z=()2．用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的線性回歸方程為=2x+3，若A．11B．133．已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為，若則()5．已知函數(shù)=sin的圖象向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小6．記拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A(4,m)為拋物線上一點(diǎn)，AF=6，直線AF與拋物線另一交點(diǎn)為試卷第2頁，共5頁 BC，Q為A1C1上一點(diǎn)，A1Q=A1C1，則經(jīng)過A，P，Q三點(diǎn)的平面截此三棱柱所成截面的面積是()8．若函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(2x+1)為偶函數(shù)，f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,3)成中心對(duì)稱，則f(1)+f(2)+…+f(23)的值是()二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是()A．已知點(diǎn)A,B,C是直線l上三個(gè)不同的點(diǎn)，O為直線l外一點(diǎn)，且+0.4則B．已知向量=(1,2),=(1,1)，且與+10．如圖所示，若長(zhǎng)方體AC的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4．E是BB．三棱錐C1-B1CE的體積為BDD．三棱錐C1-B1CD1的外接球的表面積為24π交于P,Q兩點(diǎn)，若PQ丄PF2，且4PQ=3PF2，則()試卷第3頁，共5頁C．雙曲線C的漸近線方程為D．直線PQ的斜率為4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a=.（用數(shù)字填寫答案）點(diǎn)E在棱BD上，且BD=4BE，過點(diǎn)E作四面體ABCD的外接球O的截面，則所得截面圓的面積最小值與球O的表面積之比為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15.△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bcosC+csinB=a.（1）求B；（2）若a2+c2=2，求b的取值范圍.16．已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-3x.函數(shù)f(x)在x=處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)a；（2）對(duì)于任意x1，x2∈[1,2]，當(dāng)x1<x2時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、Q分別為棱C1D1、BB1、試卷第4頁，共5頁AB1的中點(diǎn).（1）求證：A1N丄平面AMQ；（2）求二面角N-AM-Q的余弦.x1x218．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)，過F1點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不平行的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，△MNF2的周長(zhǎng)等于16.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)P(-8,0)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線AF1，BF1的斜率分別為k1，k2.（i）求證：k1+k2為定值；（ii）求△ABF1面積的最大值.19．給定正整數(shù)n≥2，設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個(gè)排列，對(duì)i∈{1,2,…,n},xi表示以ai為首項(xiàng)的遞增子列的最大長(zhǎng)度（數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的長(zhǎng)度yi表示以ai為首項(xiàng)的遞減子列的最大長(zhǎng)度.我們規(guī)定：當(dāng)ai后面的項(xiàng)沒有比ai大時(shí)，xi=0，當(dāng)ai后面的項(xiàng)沒有y122,y2和xi-yi求xi-yi的最值.試卷第5頁，共5頁高三年級(jí)12月月考數(shù)學(xué)答案12)(1)由正弦定理及bcosC+csinB=a可得sinBcosC+sinCsinB=sinA，又B+C=π-A，(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=2-ac，因?yàn)?ac≤a2+c2=2，ac≤1，所以b2≥1，當(dāng)且僅當(dāng)16.(1)a=1(2)(-∞,-6]+2ax-3=因?yàn)樘幦〉脴O值，故2a×2-3×解得a=1.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx+x2-3x故f(x)在x=處導(dǎo)函數(shù)為0，且在 左右導(dǎo)函數(shù)異號(hào)，滿足極值點(diǎn)條件，故a=1→f構(gòu)造函數(shù)恒成立，所以函數(shù)g(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞減，即g,+2x-3+在設(shè)h(x)=-2x3+3x2-x→h,(x)=-6x2+6x-1=-6(x-)2+，因?yàn)閤∈[1,2]，12所以-13≤h,(x)≤-1，所以函數(shù)h(x)=-2x3+3x2-x單調(diào)遞減，.故h(x)min=h(2)=-6，因此m≤-6，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-6]17.（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明：正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，Q分別為棱C1D1，A1B1的中點(diǎn)，所以N，所以QM丄A1N，正方形ABB1A1中，N為B1B的中點(diǎn)，Q A1N丄AQ；又AQ、QM平面AMQ，AQ∩QM=Q，所以A1N丄 平面AMQ.（2）如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，M，N，Q分別為棱C1D1，BB1，AB(0,2,-1)是平面AQM的一個(gè)法向量，設(shè)=(x2,y2,z2)是平面ANM的法向量，則22所以所以二面角N-AM-Q的余弦值為，證明見解析ii）△ABF1面積的最大值為3.22【小問2詳解】（i）證明：由題意可知直線斜率存在，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，顯然k1=k2=0，所以2=0；當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為x=my-8，3設(shè)A(X1,y1,BX2,y2，則y1y2=,y1+y2=所以k122為定值0.所以S△ABFS△PA-S△PBy1-y2，2=時(shí)等號(hào)成立， 所以△ABF1面積的最大值為33.x3,y2=2，xi-yi證明見解析；（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)xi-yi的最小值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)xi-yi的最小值為；【小問1詳解】以a1為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞增子列是a1,a3,a4，所以x1=3，因?yàn)閍2后面的項(xiàng)都比a2小，所以x2=0，以a3為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞增子列是a3,a4，所以x3=2，因?yàn)閍4后面沒有項(xiàng)，所以x4=0；因?yàn)閍1后面的項(xiàng)都比a1大，所以y1=0，以a2為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞減子列是a2,a3或者a2,a4，所以y2=2；因?yàn)閍3后面的項(xiàng)都比a3大，所以y3=0，因?yàn)閍4后面沒有項(xiàng)，所以y4=0；2=2，xi-yi4i+1，則每個(gè)以ai+1為首項(xiàng)的遞增子列都可以在前面加一個(gè)ai，得到一個(gè)以ai為首項(xiàng)的更長(zhǎng)的遞增子列，所以xi>xi+1，而每個(gè)以ai為首項(xiàng)的遞減子列都不包含ai+1，且ai<ai+1，故可將ai替換為ai+1，得到一個(gè)長(zhǎng)度相同的遞減子列，所以yi≤yi+1，這意味著xi-yi>xi+1-yi+1；總之xi-yi≠xi+1-yi+1，且xi-yi和xi+1-yi+1不能同時(shí)為零，【小問3詳解】由（2）可知xi-yi和xi+1-yi+1不能同時(shí)為零，故xi-yi+xi+1-yi+1≥1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k，一方面有x