2024-2025人教版九年級數(shù)學下點撥訓練第28章第05講應用舉例2

20242025人教版九年級數(shù)學下點撥*訓練第28章第05講應用舉例2學習目標：正確理解方向角、坡度的概念；能運用解直角三角形的知識解決方向角、坡度的問題，能夠融會貫通地運用相關數(shù)學知識，解決綜合性問題，進一步提高解直角三角形分析問題和解決問題能力。老師告訴你1.用解直角三角形解決實際問題的一般過程：（1）將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）；（2）根據(jù)問題中的條件，選擇恰當?shù)匿J角三角函數(shù)關系式，解直角三角形；（3）得到數(shù)學問題的答案；（4）得到實際問題的答案。一、知識點撥1.知識導航2.知識點梳理知識點1方向角問題以正南或正北方向為準，正南或正北方向線與目標方向線構成的小于90°的角，叫做方位角.【新知導學】例11．如圖,一艘輪船從點A處以的速度向正東方向航行,在A處測得燈塔C在北偏東方向上,繼續(xù)航行到達B處,這時測得燈塔C在北偏東方向上,已知在燈塔C的四周內(nèi)有暗礁,問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說明理由.(提示：,)例12．某海域內(nèi)一艘輪船從西向東航行到A處時發(fā)現(xiàn)正東方向有一處暗礁，輪船馬上調(diào)整方向，沿北偏東航行到點B處，然后沿南偏東航行海里到達C處，此時C恰好在A的正東方向.(1)求A，C兩地的距離；(結果保留根號)(2)求A，B兩地的距離(結果保留根號)【對應導練】1．海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為的圓形海域內(nèi)有暗礁.一輪船自西向東航行，它在A處時測得小島P位于北偏東方向上，且A，P之間的距離為.若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？請通過計算加以說明.如果有危險，輪船自A處開始沿南偏東多少度的方向航行，能安全通過這一海域？2．根據(jù)圖中標出的三角形區(qū)域的位置，計算三角形區(qū)域的面積（結果取整數(shù)）.（提示：它的面積等于一個梯形的面積減去兩個直角三角形的面積.）知識點2、坡度問題：坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距離l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可寫作：i=tan坡角）】【新知導學】例21．如圖所示,某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD,AE,DF為梯形的高,其中迎水坡AB的坡角,坡長米,背水坡CD的坡度,則背水坡的坡長CD為()米.A.20 B. C.10 D.例22．為方便行人橫過馬路，打算修建一座高的過街天橋.已知天橋的斜面坡度為，計算斜坡AB的長度（結果取整數(shù)）.【對應導練】1．某班兩個興趣小組計劃合作測量校園內(nèi)一斜坡(坡度為)旁路燈的高度,分工如下：小組甲：測量竹竿的長度,并將該竹竿豎立在地面上,測量其在地面上的影長.小組乙：在同一時刻,測量路燈在斜坡上的影長,及路燈與斜坡底端的距離.測量示意圖和測量數(shù)據(jù)如下：請你根據(jù)以上信息計算路燈的高度.(結果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：)小組甲乙圖示(點D,E,F,C在同一平面內(nèi))測量數(shù)據(jù),,2．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一建筑，在斜坡底P處測得該建筑頂點B的仰角為，然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了米到達坡頂，在坡頂A處又測得該建筑的頂點B的仰角為.（1）求坡頂A到地面的距離；（2）求該建筑的高度.（結果精確到米.參考數(shù)據(jù)：，，）二、題型訓練1.利用解直角三角形解決方向角問題1．木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標.某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示.航行記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處.記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處.記錄三：根據(jù)氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內(nèi)，會出現(xiàn)異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向.請你根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）填空：________°，________°，________海里；（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異?！眳^(qū)，請計算說明.（參考數(shù)據(jù)：，，）2．如圖,某公園有一條三角形健身步道,其中B在A的正東方,C在A東北方向,一天老王以每分鐘90米的速度從點A出發(fā)沿路線A→B→C→A開始散步,分鐘后到達步道的B處,此時他發(fā)現(xiàn)C在B的北偏西方向上.(A,B,C在同一平面內(nèi),參考數(shù)據(jù)：)(1)求健身步道的長；(結果保留根號)(2)為了讓市民養(yǎng)成全民運動、健康生活的良好習慣,改善健身環(huán)境,公園決定對健身步道進行擴建.計劃將步道段向正東方向延伸至P處,修建新步道,且在P處測得C在P的北偏西方向上.若修建步道的成本為每米80元,公園對擴建預算的費用為20萬元,請通過計算說明預算費用是否夠用？2.利用解直角三角形解決坡度問題3．為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，，求斜坡AB的長．（結果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：,,）4．南水北調(diào)中線工程有一段堤壩如圖所示，其橫斷面為梯形ABCD，高米，斜坡CD的坡度，但是為了建設高鐵線路，電力部門要在堤壩的正上方建一組高壓線，且高壓線的最低點P與點D，H在同一條直線上（），.（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求斜坡CD的坡角.（2）電力部門要求此處高壓線離堤面AD的安全距離不低于18米，則此段大壩是否達到了安全要求？3.利用解直角三角形解決綜合問題5．如圖,為了美化環(huán)境,提高民眾的生活質(zhì)量,市政府在公園一角處修建一個四邊形人工湖泊,并沿湖泊四邊修建了人行步道(即,,,).花園的兩邊與垂直,米,米,,,.(1)求點D到的距離；(2)求的長.(參考數(shù)據(jù)：,,)6．圖1是一個活動宣傳欄,圖2是活動宣傳欄側面的抽象示意圖,其中點B,D,A,F在同一直線上,支桿可繞點A活動,是可伸縮橫桿.已知,,.(1)求活動宣傳欄板與地面的夾角的度數(shù)；(2)如圖3,小明站在活動宣傳欄板前的點H處看宣傳欄時(點H,B,C在同一直線上),若視線垂直宣傳欄板于點A,此時測得,求小明的眼睛G離地面的距離.(參考數(shù)據(jù)：,,,,,,結果精確到0.1)三、課堂達標一、單選題（每小題4分，共32分）1．如圖，海中有一小島A，在B處測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B處出發(fā)由西向東航行10海里到達C處，在C處測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為()海里.A. B. C.20 D.2．如圖，若坡角，則斜坡的坡度為()A. B. C. D.23．河堤的橫斷面如圖，堤高BC是，迎水斜坡AB的長是，那么斜坡AB的坡度是()A.1：2 B.1： C.1：1.5 D.1：34．如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程師乘坐熱氣球從B地出發(fā)，垂直上升到達A處，在A處觀察C地的俯角為，則BC兩地之間的距離為()A. B. C. D.5．如圖是某區(qū)域的平面示意圖,碼頭A在觀測站B的正東方向,碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C,小島C在觀測站B的北偏西15°方向上,碼頭A到小島C的距離AC為海里.觀測站B到AC的距離BP是()A. B.1 C.2 D.6．如圖，一斜坡的坡度，小明同學沿斜坡的坡面從點A向上走了100米到達點B處，則小明上升的高度為()A.米 B.20米 C.米 D.米7．如圖，坡角為的斜坡上有一棵大樹（垂直于水平地面），當太陽光線與水平線成角沿斜坡照下時，在斜坡上樹影的長為30米，則大樹的高為()A.15米 B.米 C.米 D.米8．某區(qū)域平面示意圖如圖，點O在河的一側，和表示兩條互相垂直的公路.甲偵測員在處測得點位于北偏東，乙勘測員在處測得點位于南偏西，測得，，請求出點到的距離().（參考數(shù)據(jù)，，）A.140 B.340 C.360 D.480二、填空題（每小題4分，共20分）9．一漁船在海上A處測得燈塔C在它北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．10．如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬是米，壩高為米，斜坡的坡度為，斜坡的坡度為，則壩底寬的長為______米.11．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開展植樹造林活動.如圖，在坡度的山坡上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離為米，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為_________________米.12．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得，，則竹竿AB與AD的長度之比為__________.13．科技改變生活，導航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達A地后導航顯示車輛應沿北偏西方向行駛至B地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，B，C兩地的距離是________________km三、解答題（每小題8分，共48分）14．如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路l上由北向南行駛，在A處測得橋頭C在南偏東方向上，繼續(xù)行駛米后到達B處，測得橋頭C在南偏東方向上，橋頭D在南偏東方向上，求大橋的長度.（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）15．如圖是成都市某街道的一座人行天橋的示意圖,天橋的高是10米,坡面的傾斜角為.為了方便行人推車過天橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面的坡度為,若新坡角下需留3米的人行道,問離原坡面點A處10米的建筑物是否需要拆除？(參考數(shù)據(jù)：,)16．圖1是一種淋浴噴頭,圖2是圖1的示意圖,若用支架把噴頭固定在點A處,手柄長,與墻壁的夾角,噴出的水流與形成的夾角,現(xiàn)在住戶要求：當人站在E處淋浴時,水流正好噴灑在人體的C處,且使,問：安裝師傅應將支架固定在離地面多高的位置？(參考數(shù)據(jù)：,,,,,,,,).17．某海域內(nèi)一艘輪船從西向東航行到A處時發(fā)現(xiàn)正東方向有一處暗礁，輪船馬上調(diào)整方向，沿北偏東航行到點B處，然后沿南偏東航行海里到達C處，此時C恰好在A的正東方向.(1)求A，C兩地的距離；(結果保留根號)(2)求A，B兩地的距離(結果保留根號)18．高架塔式滑雪臺已經(jīng)成為滑雪大跳臺項目的重要訓練場所，如下圖所示，滑道分為，兩段，已知，，米，米，圖中所有點均在同一平面內(nèi)（計算結果均四合五人至整數(shù)）.坡角坡度初級道：中級道：高級道：(1)根據(jù)表格判斷段滑道屬于______（填“初級道”“中級道”或“高級道”）；(